ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN
Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi
phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm
phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1).
Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo
hàm của F.
Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến
G = F(x, y) = 0, với y = y(x)
G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0
44 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 308 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Đạo hàm và vi phân (Phần 2), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 2
Nội dung
1.Đạo hàm và vi phân hàm hợp.
2.Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP
. .v v vx yz xf f y
Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến
Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x,
y khả vi:
. . ,u ux y uz x f yf
u vdz z du z dv
( ) ( )
x y
x u v y u v
dz f dx f dy
f x du x dv f y du y dv
Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến)
Trường hợp riêng 1
u vdz z du z dv
( ) ( )( )u vdz f x dx f x x du x dv
( ) ,u uf xz x ( )v vxfz x
Trường hợp riêng 2:
z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến)
( ) . ( ) . ( )x yz t x tf y tf
. ( ) . ( )x y x ydz f dx f dy f x t dt f y t dt
( )dz z t dt
z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến)
Trường hợp riêng 3:
Löu yù: khi tính ñaïo haøm haøm hôïp, luoân baét
ñaàu töø ñaïo haøm cuûa f theo bieán chính. Sau
ñoù, tuøy thuoäc vaøo yeâu caàu, nhaân theâm
ñaïo haøm cuûa bieán chính vaøo caïnh ñaïo haøm
cuûa f.
( ) . ( )x yf fz x y x
( )dz z x dx
VÍ DỤ
2( , ) , ,xyz f x y e x u y u v
vz
(u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2)
1/ Cho:
tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1).
z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v
uz .2u
xyxe .1
xyye
.0 xyxe .1
xyye
2 2 2
2
(1,1) 2. .2 1. .1 5
(1,1)
u
v
z e e e
z e
2 2(1,1) (1,1) (1,1) 5u vdz z du z dv e du e dv
2/ Cho: 2( ) sin( ), arctan
u
z f x x x x
v
Tính z’u, z’v tại (0, 1)
z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v
2(1 2 )cos( )u x x xz
2(1 2 )cos( )v x x xz
x(0, 1) = 0
(0,1) 1
(0,1) 0
u
v
z
z
2
2
1 1
1
v u
v
2 2
2
1
1
u
v u
v
3/ Cho:
( , ) sin( ),
arctan , t
z f x y xy
x t y e
Tính dz(t) tại t = 0
Cách 1: với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t),
( )z t
(0)dz dt
dz = z’(t)dt,
2
1
1 t
cos( )x xy tecos( )y xy
0 0, 1t x y
Cách 2:
cos( ) cos( )dz y xy dx x xy dy
. ( ) . ( )x yx ydz f f x t dt f y t dy tdx f d
( , ) sin( ),
arctan , t
z f x y xy
x t y e
2
cos( ) cos( )
1
tdty xy x xy e dt
t
(0)dz dt
4/ Cho:
2
2
ln( 1)
( , ) .
y
z f x y
x
a/ Tính z’x tại (1,0).
b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1
b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x)
2
3
ln( 1)
2
y
x
2
3
ln( 1)
/ 2x x
z y
a z f
x x
ln(1)
(1,0) 2 0
1x
z
2 2
2
( 1)
y
y x
xe
2
2
2
1
2
(0) 2ln( 1)
1
x y e
e
z e
e
2
3
ln
' )
1)
2(
(y
z
x
x
2 2
2
( 1)
y
y x
xe
5/ Cho: ( , ),z f x y xy
Tính z’x, z’y
với f là hàm khả vi
Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v)
(u, v là biến chính của f)
.1u vf f y
.( 1)u vf f x
. .x x xu vz uf f v
. .y y yu vz uf f v
6/ Cho:
2
x
z xf
y
Chứng minh đẳng thức:
với f là hàm khả vi
2 2x yxz yz z
Đặt :
2
x
u
y
z = x.f(u)
( ) . ( ). xf u x f u u 2
1
( ) . ( ).f u x f u
y
( ) . ( )x xz f u x f u
32
( ). . ( ).y
x
xf u u x f u
y
2 x yxz yz
2z
. ( )y yz x f u
2
1
2 ( ) . ( ).x f u x f u
y
3
2
. ( ).
x
yx f u
y
2 ( )xf u
2
x
z xf
y
7/ Cho: 2 2,z f x y xy
Tính dz theo dx, dy.
với f là hàm khả vi
Đặt: u = x2 – y , v = xy2 z = f(u, v)
•Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với
. .x x xu vz uf f v
. .y y yu vz uf f v
2.2 .u vf x f y
.( 1) .2u vf f xy
2.2 . .2u v u vdz f x f y dx f f xy dy
• Cách khác:
dz = f’udu + f’vdv
= f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy)
= f’u(2xdx – dy) + f’v(y
2dx + 2xydy)
= (2xf’u + y
2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy
Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp
Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự.
Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)
. .
. . . .
uu u u u
x u x uu y u y uuu
x
u
yz x y
f x f x f y f
f f
y
. .
. . . .
uv u u v
x u x uv y u y uvv
x
v
yz x y
f x f x f y f
f f
y
Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo
hàm hợp.
. .
. . . .
vv v v v
x u x uv y u y vvv
x
v
yz x y
f x f x f y f
f f
y
Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập)
Để đơn giản, viết d2z theo du, dv
2 2 22uu uv vvd z z du z dudv z dv
Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)
2 ( )x y x ydz f dx f dy d z d dz d f dx f dy
Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng
2 22 x y yxd z dx fd f d x d ddy ff y
Lưu ý:
• d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp.
• d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường.
Vi phân cấp 2 tính theo hàm hợp
VÍ DỤ
22u u uz xy x x y
22uu uz xy x
z”uu(1, 1) = 8
,x u v y u v 1/ Cho:
2( , ) ,z f x y x y
Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0)
2 22 1 1 2xy x xy x
2 2u u ux y xy xx
2( ) 2 4 2y x x x y
22uv vz xy x
22uz xy x
z”uv (1, 1) = 0
2 2v v vx y xy xx
2( ) 2 2y x x y
,x u v y u v
VÍ DỤ
22 1 2xy x u
22u u uz xy x x y
22 .uu
u
z xy u x
z”uu(1, 1) = 26
2,x u v y u 1/ Cho:
2( , ) ,z f x y x y
Tính z”uutại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 1)
2 u ux y xy
22 ( .2 ) 2 .1y x u x ux
2(x .2 . )uu x x
2, lnx t y t 2/ Cho:
2( , ) ,z f x y x y
Tính d2z theo dt tại t = 1
với
2 2( )d z z t dt (t là biến độc lập)
( ) . ( ) . ( )x yz t f x t f y t
2 12 .2 .xy t x
t
3 34 .lnt t t
2 2 2( ) 12 .ln 4 3z t t t t t
2 2(1) 7d z dt
3/ Cho: 2( )z f x y
Tính z”xx, z”xy, z”yy
với f là hàm khả vi cấp 2.
Đặt u = x2 - y z = f(u)
( ) ( ).2 ,x xz f u u f u x
( ).2xx x x xz z f u x
2 ( ) ( ). xf u xf u u
( ).( 1) yz f u
2 ( ) ( ) xf u x f u
22 ( ) 2 ( )f u x f u
( ).2xy x y yz z f u x
2 ( ). yxf u u 2 ( )xf u 2 ( ) yx f u
( ) yf u u ( )yy y yyz z f u
( )f u
( ).( 1)yz f u
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN
Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi
phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm
phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1).
Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo
hàm của F.
Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến
G = F(x, y) = 0, với y = y(x)
G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0
( ) x
y
F
y x
F
Xem x, y là 2 biến độc lập
khi lấy đh của F.
Đạo hàm của hàm ẩn 1 biến y = y(x)
Xét hàm ẩn 2 biến z = z(x, y) xác định từ phương
trình:
F(x, y, z) = 0 (1).
, yxx y
z z
FF
z z
F F
x, y, z là các biến độc
lập khi tính F’x, F’y, F’z.
Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x:
0 .1 .0 . 0x x y z xG G F F F z
x
x
z
F
z
F
0 .0 .1 . 0y x y z yG G F F F z
y
y
z
F
z
F
Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là
Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn
dz tìm bằng giải pt hoặc từ dz = z’xdx + z’ydy
0 . . . 0x y zG dG dF F dx F dy F dz Giải pt tìm dz
Cách tìm vi phân cấp 1:
Đạo hàm và vi phân cấp 2 của hàm ẩn:
Cách 1: tính z”xx, z”xy, z”yy và d
2z từ z’x, z’y và dz
Cách 2: giải các pt
(a) G”xx = 0 tìm z”xx
(b) G”xy = 0 tìm z”xy
(c) G”xy = 0 tìm z”yy
(d) d2G = d2F = 0 tìm d2z
VÍ DỤ
0ye xy e
0yy e y xy
(0) 1 0 0y e
Cách 1: học kỳ 1
Lấy đạo hàm pt đã cho:
x = 0, (1) y = 1,
Cho y = y(x) xác định từ pt:
Tìm y’(0).
(1)
(2)
(2)
1(0)y e
Cách 2: F(x, y) = ey + xy – e
(1) F(x, y) = 0
( ) x
y
F
y x
F
y
y
e x
11(0)
0
y e
e
1/ Cho z = z(x, y), thỏa pt:
/( , , ) 0x zF x y z z ye
Tìm z’x, z’y tại (x, y) = (0, 1).
(1)
từ (1) ta có: (x, y) = (0, 1) z = 1
/
/
2
1
x z
x
x
x zz
y
eF zz
yxF e
z
1
(0,1) 1
1 0x
z
Ví dụ
//
2
1
x z
y
y
x zz
F e
z
yxF e
z
1
(0,1) 1
1 0
yz
/( , , ) 0x zF x y z z ye
2/ Cho z = z(x, y), thỏa pt:
( , , ) ( ) 0F x y z xy sh x y z
Tìm z’’xx, z’’xy tại (x, y) = (1, 0).
(1)
( )
( )
x
x
z
F y ch x y z
z
F ch x y z
( )
( )
y
y
z
F x ch x y z
z
F ch x y z
Ví dụ
( , ) (1,0) 1x y z
(1,0) 1,
(1,0) 0
x
y
z
z
( )
( )
xx x x
x
y ch x y z
z z
ch x y z
2
(1 ) (.) (.) (.) (1 ) (.)
( )
x xz sh ch y ch z sh
ch x y z
( )
( )
x
x
z
F y ch x y z
z
F ch x y z
2
c (.) . (.) (.) . (.)
(.)
x x
y h ch ch y ch
ch
2
(1 ) (.) (.) (.) (1 ) (.)
( )
x x
xx
z sh ch y ch z sh
z
ch x y z
(1 1).0.1 (0 1)(1 1).0
(1,0) 0
1xx
z
(1,0) 1,
(1,0) 0
x
y
z
z
( )
( )
xy x y
y
y ch x y z
z z
ch x y z
2
1 (1 ) (.) (.) (.) (1 ) (.)
( )
y yz sh ch y ch z sh
ch x y z
1 (1 0).0 .1 (0 1)(1 0).0
(1,0) 1
1
xyz
( )
( )
x
x
z
F y ch x y z
z
F ch x y z
(1,0) 1,
(1,0) 0
x
y
z
z
3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt:
3 2( , , ) 4 4 0F x y z z xz y
Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) nếu z(1, -2) = 2
(1)
Lấy vi phân pt (1):
23 4 4 2 0dF z dz zdx xdz ydy (2)
Thay x = 1, y = - 2, z = 2 vào (2):
12 (1, 2) 8 4 (1, 2) 4 0dz dx dz dy
1
(1, 2)
2
dz dx dy
Ví dụ
Lấy vi phân pt (2):
2 23 4 4 2 0d F d z dz zdx xdz ydy
2 2 2 23 2d F zdz z d z
(Vì x, y là biến độc lập nên dx = dy = hằng)
(3)
Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy
vào (3)
2 2 21 5(1, 2)
2 8
d z dx dxdy dy
4dzdx
24 dxdz xd z 22dy 0
4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: ( , ) 0F f x z y
Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy
(1)
với f là hàm khả vi cấp 2.
Đặt u = x+ z, v = y F(x, y, z) = f(u, v) = 0
. . ,x u x v x uF f u f v f . .y u y v y vF f u f v f
. .z u z v z uF f u f v f
1, u vx y
u u
f f
z z
f f
Ví dụ
0xxz
v
y
u
f
z
f
u = x+ z, v = y
v
yy
u y
f
z
f
2
. . . . . .vu y vv y u uu y uv y vy y
u
f u f v f f u f v f
f
2
. . . .vu y vv u uu y uv v
u
f z f f f z f f
f
2
. . . .v vvu vv u uu uv v
u u
yy
u
f f
f f f f f f
f f
z
f
v
y
u
f
z
f
2
. . . .vu y vv u uu y uv v
yy
u
f z f f f z f f
z
f