Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Đạo hàm và vi phân (Phần 3)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 (khai triển Taylor) KHAI TRIỂN TAYLOR 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ! kn n k d f x y f x y f x y R k    0 0 0 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ! kn n k f x y f x y x y f x y R k x y              Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có: Cụ thể: 1 0 0 1 ( , ) ( 1)! n nR d x x y y n     Phần dư Lagrange Có thể thay Rn bởi o( n) (Peano) (là VCB bậc cao hơn n khi  0), 2 2 , ( ) nx y o     Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin 1.Thông thường chỉ sử dụng pd Peano. 2.Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến. 3.Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0) 1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy 2( 1) ,yxxf y y x    (1,1) 0.df x y   1, lny yx yf yx f x x    2 2 2(1,1) 0. 2. 0.d f x x y y       1 1 ln ,y yxyf x yx x     2lnyyyf x x  Ví dụ 2 2(1,1( , ) ( ) 1! ) (1,1) (1,1) 2! z f df x y o d f f      221 ( ) 1! 2! x x y z o         21 ( 1) ( 1)( 1) ( )x x y o        (1,1) 0.df x y    2 2 2(1,1) 0. 2. 0.d f x x y y       2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho 1 ( , ) 1 z f x y x y xy      Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 2 21 1 ( ) 1 z u u o u u       2 21 ( ) ( ) ( )x y xy x y xy o u        2 2 21 3 ( )x y x xy y o        Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho 2 ( , ) x xyz f x y e   Đặt X = x, Y = y – 1, 2X X XYz e   2 2 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 6 X X XY X X XY X X XY o             Ví dụ 2 3 2 33 71 ( ) 2 6 X X XY X X Y o        2 2 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 6 z X X XY X X XY X X XY o             2 3 2 33 71 ( 1) ( 1) ( ) 2 6 z x x x y x x y o          Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành ( 1)sinz X Y  3 3( 1) ( ) 6 Y X Y o Y         3 3( ) 6 Y Y XY o     4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho ( , ) sin( 2).z f x y x y   Suy ra f”xy(1, 2) 3 3( 2)( 2) ( 1)( 2) ( ) 6 y y x y o          Ví dụ 2 (1,2) ( 1)( 2) 2! d f x y x y dxdy       2 2(1,2) 2 (1,2) (1,2) 2 xx xy yyf x f x y f y x y              f”xy(1, 2) = 1 3 3( 2)( , ) ( 2) ( 1)( 2) ( ) 6 y f x y y x y o         