Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Đổi biến trong tích phân bội ba

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA ( , , ) ( , , ) u y w u v w u v w x x x D x y z J y y y D u v w z z z           f(x,y,z) xác định trong , đặt x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) (x,y,z)    (u,v,w)  ’ ( , , ) ( , , ) | |f x y z dxdydz g u v w J dudvdw     Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của  1 ( , , ) 2 ( , , ) f x y z dxdydz f x y z dxdydz      Nếu  gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau qua mp z = 0 1.f chẵn theo z : 2.f lẻ theo z : ( , , ) 0f x y z dxdydz   Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x) TỌA ĐỘ TRỤ  2 2r x y  z r x y M z cố định z M’ x = rcos, y = rsin, z = z đổi sang tọa độ trụ  hình chiếu D đổi sang tọa độ cực. Điều kiện giới hạn: 1.r  0 2. [0, 2] hay  [- , ] ( , , ) ( cos , sin , )f x y z dxdydz f r r drdr dzz       x = rcos, y = rsin, z = z J = r TỌA ĐỘ TRỤ TỌA ĐỘ CẦU x y M z    x = sincos, y = sinsin, z = cos J = 2 sin Điều kiện giới hạn: 1.  0 2. [0, 2] hay  [- , ] 3.  [0, ] Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu. Lưu ý: 2 2 2 2 2 sin x y z x y         Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu 2 2 2 2x y z R   0 0 0 2 R              R 2 2 2 2x y z R   2 2 2 2 cos 2 0 2 0 2 R x y z Rz                  2 2 1tan z x y a a     2 2 2 sin R x y R       Nón trên. Trụ tròn. VÍ DỤ 24 4 2 0 0 0 x x I dx dy xzdz      : Oxy D hc  1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 2 0 4 0 4 x y x x       x = rcos, y = rsin, z = z  2 2 : 0  r  4cos, 0    /2, 0  z  2 20 d   y =0 z = 2 x2 + y2 = 4x z = 024 4 2 0 0 0 x x I dx dy xzdz      cos . . zr z rd 2 0  4cos 0 dr   2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 2 2 2 4 0 0 0 4 y x y I dy dx xzdz         22 2 2 4 0 0 0 4 y x y I dy dx xzdz         2 0 d   x = rcos, y = rsin, z = z cos . . zr z rd 2 0 4 r   2 0 drI  22 2 2 4 0 0 0 4 y x y I dy dx xzdz         2sin cos . co s. is n d      2 0  2 d    2 0 d  I  I zdxdydz    3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu:  Là miền bên trong nón 2 2z x y  và bị chắn bởi mặt cầu 2 2 2 2x y z   x = rcos, y = rsin, z = z J = r 2 2z x y 2 2 2 2,x y z    1 .z rdz 22 r r   1 0 dr 2 0 d   2  I zdxdydz    1 Giao tuyến: 2 2 1x y  1z  1I  x = sincos, y = sinsin, z = cos. J = 2 sin 2 sc ios n d    2 0  4 0 d   2 0 d   2 2 ,z x y  2 2 2 2x y z   I zdxdydz    4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: : 2 2 ,z x y  2 2 2 2x y z z   2 2 ,z x y  2 2 2 2x y z z   Giao tuyến của mặt cầu và trụ 2 2 22 2 z x y z z      2 2 1 1 z x y      1 4  1 1 4  x = sincos, y = sinsin, z = cos. J = 2 sin 2 2 ,z x y  2 2 2 2x y z z   2 2 2 2x y z z   1 2cos   2 sc ios n d    2cos 0  2 4 d    2 0 d  zdxdydz   I zdxdydz    6   2 2 2cos 2 0 4 0 cos sind d d              2 2cos sin sin 2cos ( cos 0)                 0 2cos (0 / 2) tan 1              0 2cos 4 2 0 2                 Biểu diễn lại : 2 2cos sin sin 2cos              2 2 ,z x y  2 2 2 2x y z z  : Cách 2: I xdxdydz    5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: : 2 2 2 2 22 4,x y z x y z      x = cos, y = sincos, z = sinsin J = 2 sin 1 2 3 2 4         2 2 2 2 22 4,x y z x y z      2 4 2 2 0 0 2 cos sinI xdxdydz d d d               : 2 2 2 cos sin sin (0 ) 2 4                  tan 1 2 2        0 4 2 2          Cách 2: 2 2 2 2 22 4,x y z x y z      0  2 2 2 2 2 1 1 4 2 2 2 1 01 y x y y I dy dx x y z dz            6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu: 2 2 2 2 0 4 : 1 z x y x y          2 2 2 22 2 34 11 zz x y x yx y             Giao tuyến: 6  6 1 0 2 : 0 6 0 2               2 1 0 sin : 6 2 0 2                    2 2 2 2 0 cos 4 sin sin 1              0 2, cos 0 0 2 1 0 sin                     2 2 2 2 0 4 : 1 z x y x y          1 2 sin 6      vì nên  được chia làm 2 miền: 1 0 2 : 0 6 0 2               2 1 0 sin : 6 2 0 2                    1 2 2 2 2 2 2 2I x y z dxdydz x y z dxdydz          2 6 2 2 2 1 sin 3 3 0 0 0 0 6 0 sin sind d d d d d                       Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: 2 2 2 , 2, 2 2x y y z y y z       rdz 2 2 2 2sin sin 1r      2sin 0 dr  0 d   V dxdydz    2 2 2 1 22 y y x y y dz dxdy               Dùng tọa độ trụ 2z y  2 2y z  Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid  : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2  R2 Đổi biến: x = a +sincos , y = b + sinsin, z = c + cos J = 2 sin 0 : 0 0 2 R               là ellipsoid: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    Đổi biến: x = a sincos, y = b sinsin, z = c cos J = abc2sin 0 1 : 0 0 2               VÍ DỤ Tính thể tích vật thể giới hạn bên trong mặt nón và mặt ellipsoid: 2 2 2 2 2, 1 3 3 x x z y y z    