TỌA ĐỘ CỰC TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC Tổng tích phân Công thức đổi biến sang tọa độ cực Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT Áp dụng đổi biến tổng quát
28 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 342 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 2 - Phần 2 : Đổi biến trong tích phân kép, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP
TỌA ĐỘ CỰC
M
y
r
x
[0,2 ] [ , ] ha y
cos , sin x r y r
2 2 0r x y
TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC
D
Dij
j
1j
* *,i jr
:
a r b
D
Tổng tích phân
* * * * *
,
( cos , sin )n i j i j i
i j
S f r r r r
0
( , ) lim n
d
D
f x y dxdy S
0
lim ( cos , sin )n
d
D
S f r r rdrd
Công thức đổi biến sang tọa độ cực
( , ) ( cos , sin )
D D
dxdy drdrf x y f r r
cos , sin x r y
Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực
2 2 2x y R
r R
cos , sin x r y r
2 2 2
0
0 2
r R
x y R
R
R
-R D
-R R
R
2 2 2x y Rx 2 2 2x y Rx
R 2R
2 cosr R 0 2 cos
2 2
r R
2 2 2x y Ry
0 2 sin
0
r R
R
2R
2 sinr R
2 2 2x y Ry
1( )r r
2( )r r
D 1 2( ) ( ):
r r r
D
(0 2 )
( cos , sin )
D
f r r rdrd
2
1
( )
( )
( cos , sin )
r
r
d f r r rdr
VÍ DỤ
2 2
D
I x y dxdy
cos , sin x r y r
2 2 1
:
0
x y
D
y
1/ Tính: với
1-1
r = 1
0 1
0
:
r
D
1
2
0 0
.
D
I r rdrd d r dr
0
1
3 3
d
r = 2
r = 1
1 2
3
4 4
:
r
D
cos , sin x r y r
( )
D
I x y dxdy
2 21 4
:
,
x y
D
y x y x
2/ Tính:
( cos sin ).
D
r r rdrd
3
24
2
1
4
(cos sin )d r dr
( )
D
I x y dxdy
3
4
4
8 1
(cos sin )
3 3
d
7
2
3
1 2
3
4 4
:
r
D
0 2sin
: 3
4
r
D
r = 2sin
2sin
2
3 0
4
cos cos
D
I r rdrd d r rdr
1
6
cos , sin x r y r
D
I xdxdy
2 2 2
:
x y y
D
y x
3/ Tính: với
2 2 2 24 , 2 , , 0x y x x y x y x y
4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
cos , sin x r y r r = 4cos
r = 2cos
2cos 4cosr
0
4
D
( ) 1
D
S D dxdy
D
rdrd
4cos4
0 2cos
d rdr
3 3
4 2
2cos 4cosr
0
4
D
DI xydxdy
2 2
:
3 0
x y x
D
x y
5/ Tính: với
r = - cos
3y x
0 cosr
4
0
3
ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT
( , ) ( , )x y D u v D
D
x
y
x = x(u,v), y= y(u,v)
Công thức đổi biến
1
( , )
( , )
J
D u v
D x y
( , ) ( ( , ), ( , ))
D D
f x y dxdy f x u v y vv J dudu
( , )
( , )
u v
u v
x xD x y
J
y yD u v
Áp dụng đổi biến tổng quát
cos , sin x r y r
cos sin
sin cos
r
r
x x r
J r
y y r
( , ) ( cos , sin )
D D
f x y dxdy f r r rdrd
Tọa độ cực:
2 2 2
( , ) ( , ).1
D u v R
f x y dxdy g u v dudv
cos , sinu r v r
b
u
D: (x – a)2 + (y – b)2 R2
Dời gốc tọa độ đến tâm
x = u + a, y = v + b
Đổi tiếp sang
tọa độ cực:
a x
y
1 0
1
0 1
u v
u v
x x
J
y y
Hình tròn tâm tùy ý:
v
a
b
x
y
u
v
D: (x – a)2 + (y – b)2 R2
x = a + rcos, y = b + rsin
J = r
Tóm tắt:
r
0
:
0 2
r R
D
( , ) ( cos , sin )
D D
f x y dxdy f a r b dr r rd
Đổi biến trong ellippse
2 2
2 2
: 1
x y
D
a b
D
a
b
x = arcos, y = brsin
J = abr
( , ) ( cos , sin )
D D
f x y dxdy f ar br drdabr
0
:
0
1
2
r
D
2 2
2
2 2
x y
r
a b
x = 2 + rcos, y = -1 + rsin
J = r
(2 cos )( 1 sin )
D
I r r rdrd
0 3
:
0
r
D
u
v
D
I xydxdy 1/ Tính:
hình tròn: (x – 2)2 + (y + 1)2 9
với D là nửa trên của
(2 cos )( 1 sin )
D
I r r rdrd
3
2
0 0
( 2 cos 2 sin sin cos )d r r r rdr
9 18
Ví dụ
2 1
3 cos 0,2 sin 0
r
r r
2 2
, : 1; 0; 0
9 4
D
x y
I xydxdy D y x 2/ Tính:
3
2
x = 3rcos, y = 2rsin
J = 3.2.r = 6r
Miền D được viết lại:
12
0 0
3 cos .2 sin .6
D
xydxdy d r r rdr
9
2
0 1
:
0
2
r
D
0 1
cos 0,sin 0
r
2 1
3 cos 0,2 sin 0
r
r r
3/ Tính diện tích miền giới hạn bởi
2
2 1, 0, , 0
3
x
ellipse y y y x x
3 cos , sinx r y r
Miền D được viết lại:
2
2 1, 0
3
x
y y x
0 1,
0 sin 3 cos
r
r r
3J r
0 1,
sin
0 tan 3
cos
r
0 1,
0 sin 3 cos
r
r r
0 1
0
3
r
13
0 0
( ) 3
D
S D dxdy d rdr
Tính đối xứng của miền D trong tính tp kép
D D1
D đối xứng qua oy
D1 = D
{(x,y)/ x 0}
f(x,y) chẵn theo x:
1
( , ) 2 ( , )
D D
f x y dxdy f x y dxdy
f(x,y) lẻ theo x: ( , ) 0
D
f x y dxdy