Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Tích phân bội ba

TÍCH PHÂN BỘI BA ĐỊNH NGHĨA Cho  đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z) xác định trong . Phân hoạch  thành những miền con k với thể tích V(k), d là đường kính phân hoạch. Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là 1 ( ) ( ) n n k k k S f M V    1( ) ( ) n n k k k S f M V    gọi là tp bội ba của f trên . 0 ( , , ) lim n d f x y z dxdydz S    1/ ( )1 V dxdydz     Tính chất hàm khả tích 2 / . . , ( )c f c f f g f g              Cho  là miền đóng và bị chận 1 2 1 2 1 2 1 23 / , vaø khoâng daãm nhau f f f                 (thể tích ) Cách tính tích phân bội ba •Giả sử  là vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z = z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. •Hình chiếu của  lên Oxy là D. 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z x y D z x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy             Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D 1.Biến tính trước được chọn tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa . 2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích. VÍ DỤ I ydxdydz    2, 1, 0y x z y z    : Oxy D hc  1/ Tính:  Là miền ghạn bởi : 2,1 0y x y   Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z (z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0). ydxdydz   -1 1 1 2: ,1 0D y x y   1 , 0 z y z   (1 ) D y y dxdy  2 1 1 1 (1 ) x dx y y dy     1 4 6 0 1 8 2 6 2 3 35 x x dx           1 0 y D ydz dxdy           Lưu ý: có thể viết dưới dạng tp lặp -1 1 1 1 0 y D ydxdydz ydz dxdy              2 1 1 1 1 0 y x dx dy ydz       Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y 2: , 1, 0y x z y z     2, 1 y x y z   x 1 -1 1 : Oxz D hc  20,1z z x   2 1 z D x ydxdydz ydy dxdz             21 z D x ydy dxdz             21 1 2 4 1 0 1 (1 ) 2 x dx z x dz       1 6 4 1 1 1 2 8 2 3 3 35 x x dx            z x 1 -1 1 1y z  2y x 0z  : Oxy D hc  : Oxz D hc  ( ) ,I x y dxdydz    3, 3 3, 3 2 6, 0, 0 x y z x y x y y z         2/ Tính:  gh bởi: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z : z = 3 – y – x và z = 0 : Oxy D hc  3 3,3 2 6, 0, (3 0) x y x y y x y         30 ( ) x y D x y dz dxdy             2 23 3 0 1 3 11 ( )(3 ) 4 y y dy x y x y dx         ( ) ,I x y dxdydz    3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau: 2 2 4 0 0 0 x I dx dy zdz    sau đó viết lại I theo thứ tự :I dy dz zdx    Mặt trên: z = 4, mặt dưới: z = 0 (các hàm xác định trên R2 và 2 mặt không có giao tuyến) Hình chiếu lên Oxy của miền :0  x  2, 0  y  x/2 Hình chiếu lên Oxy của miền :0  x  2, 0  y  x/2 2 Vậy miền lấy tp gh bởi các mặt sau: z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 1 4 2 0 0 2y I dy dz zdx    z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 : 0, 1, 0, 4 Oyz D hc y y z z       I dy dz zdx    ,I zdxdydz   3/ Tính:  Là miền nằm trong paraboloid. 22 2 2 2 2 2: 3 2 2Oxy x y D hc x y x y              : x2 + y2  2z, x2 + y2 + z2  3 I zdxdydz      22 22 2 21 3 2 2 D x y x y dxdy                2 2 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 x y x y x y D zdz                    Mặt trên: 2 23z x y   2 2 2 x y z  Mặt dưới: 2 2 4 2 0 0 5 3 4 3 r I d r rdr                 22 22 2 21 3 2 2 D x y x y dxdy               2 2 cos , sinx r y r   ,I xdxdydz   4/ Tính: : y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0 2: 1 , 5,(3 0) Oxy D hc y x y x      1 3 0 x D I xdz dxdy           1 5 2-2 D1D2 2 0 3D x xdz dxdy           : y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0