Bài giảng Giải tích - Chương 1: Giới hạn - Phan Trung Hiếu

9/4/2019 1 LOG O GIẢI TÍCH GV. Phan Trung Hiếu 60 tiết 2 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. Chỉ được vắng 1 ngày có phép. -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 3 -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không trừ điểm). Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 4 -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. Khi không có SV xung phong lên làm thì GV sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần. Tải bài giảng và xem thông tin môn học: 5 sites.google.com/site/sgupth 6 Nội dung: Chương 1: Giới hạn. Chương 2: Hàm liên tục. Chương 3: Hàm khả vi. Chương 4: Tích phân. Chương 5: Ứng dụng của tích phân. Chương 6: Tích phân suy rộng. Chương 7: Lý thuyết chuỗi. 9/4/2019 2 7 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng trên lớp. [2] Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp tập 2 Phép tính giải tích hàm một biến, NXB Giáo dục. [3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán cao cấp (tập 2), NXB Giáo dục. Các tài liệu tham khảo khác. 8 Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus. LOG O Chương 1: Giới hạn GV. Phan Trung Hiếu §1. Giới hạn của dãy số §2. Giới hạn của hàm số §3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số 10 §1. Giới hạn của dãy số 11 I. Các định nghĩa về dãy số thực: Định nghĩa 1.1. Dãy số thực (dãy số) là ánh xạ *: ( ) .n f n f n x      Kí hiệu: 1 2{ } { , ,..., ,...},n nx x x x trong đó: 1 2, ,..., ,...nx x x là các số hạng, nx là số hạng tổng quát của dãy số. Nhận xét 1.2. Dãy số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. 12 Ví dụ 1.1: Dãy số , với{ }nx 1 . 1n x n   Khi đó 1 1 , 2 x  2 1 , 3 x  3 1 ,... 4 x  Ví dụ 1.2: Dãy số , với{ }nx 1 . !n x n n   Khi đó 3 1 , 3 x  4 1 , 20 x  5 1 ,... 115 x  9/4/2019 3 13 Ví dụ 1.3: Dãy số , với{ }nx 1 2 3 ... .nx n     Tính 1 1,x  2 1 2 3,x    3 1 2 3 6,...x     1 2 3, , .x x x Giải 14 Ví dụ 1.4: Dãy số , với{ }nx 2 2 2 1 1 11 1 ... 1 2 3n x n                  3 2 2 1 1 21 1 . 2 3 3 x            Tính 3.x Giải 15 Ví dụ 1.5: Dãy số , với{ }nx 1 2 1 2 1 1 , 3          n n n x x n x x x Khi đó 3 2 1 2,  x x x (Dãy Fibonacci) 4 3 2 2 1 3,    x x x 5 4 3 3 2 5,    x x x 6 5 4 5 3 8,...    x x x  { } 1,1,2,3,5,8,13,21,...nx 16 Chú ý: Một dãy số có thể được minh họa bằng cách vẽ các số hạng của nó trên một trục số, hoặc vẽ đồ thị của nó. Ví dụ, xét dãy số , với { }nx 1  n nx n 17 18 Định nghĩa 1.6 Số được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếua 0 00, : , .nn x a n n         Ký hiệu haylim nn x a  . n nx a  9/4/2019 4 19 Chú ý 1.7: -Nếu a là một con số hữu hạn thì ta nói dãy {xn} hội tụ đến a. -Nếu a không tồn tại hoặc thì ta nói dãy {xn} phân kỳ. a   20 Một số kết quả giới hạn cần nhớ: 1) lim ( ). n k k k    12) lim 0, 0;    n n 1lim 0, 1.    nn 0 khi 1, 4) lim khi 1. n n a a a       3) lim 0, ( 0); !    n n p p n lim 0, ( , 1).       nn n p p 21 5) lim 1, 0.n n a a     7) lim 1 ( ).           n a n a e a n 6) lim 1.n n n   8) lim lim( ) 0.n nn nx a x a     9) lim 0 lim 0.n nn nx x    10) lim lim , 0.    n n nn n x x x 22 II. Các phép toán về giới hạn của dãy số: Định lý 2.1 ▪Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. ▪Nếu một dãy số hội tụ thì nó bị chặn. ▪Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. ▪ Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. 23 Định lý 2.2. Nếu các dãy số {xn} và {yn} đều có giới hạn thì ) lim( ) lim limn n n nn n ni x y x y     ) lim( . ) lim .limn n n nn n nii x y x y   lim ) lim (lim 0). lim nn n nn n n nn xxiii y y y       24 Định lý 2.3 (Định lý kẹp): Cho 3 dãy số {xn}, {yn}, {zn}. Nếu *, , lim lim n n n n nn n y x z n y z a            thì lim .nn x a  9/4/2019 5 25 Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với : ( ) ( ) ,a a       ( ) ( ) ,a a       , 0, .( ) ( ). , 0, a a a a           , 0, .( ) ( ). , 0. a a a a          26 ( ) ( ) ,     ( ).( ) ( ).( ) ,       ( ) ( ) ,     ( ).( ) ( ).( ) .        ta có*,n  ( ) ,n    0.a    neáu chaün, ( ) neáu leû. n n n      27 : 0 a     a > 0 và mẫu > 0 a < 0 và mẫu < 0 a > 0 và mẫu < 0 a 0 , , , . 28 §2. Giới hạn của hàm số I. Hàm số: 29 1.1. Định nghĩa: Một hàm số f xác định trên một tập hợp là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số thực y xác định duy nhất D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f. x: biến độc lập (biến số). y: biến phụ thuộc (hàm). f(x): giá trị của hàm số f tại x. : ( )     f D x y f x  D x D ( ) { ( ), }:    f D y y f x x D Tập giá trị (TGT) của hàm số f. 30  ( , ( )) : G x f x x D Đồ thị của hàm số f. 9/4/2019 6 31 Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa đêm). a) Mức tiêu thụ điện vào lúc 6h sáng và 6h tối là bao nhiêu? b) Hãy cho biết tập xác định và tập giá trị của hàm số P(t). c) Mức tiêu thụ điện khi nào là thấp nhất? Cao nhất? Thời gian đó có hợp lý không? 32 1.2. Các phương pháp biểu diễn hàm số:  Biểu diễn hàm số bằng biểu thức: Ví dụ 2.2: Diện tích S của một hình tròn phụ thuộc vào bán kính R của hình tròn đó. Ta có 2 ( 0). S R R Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu: Ví dụ 2.3: Dân số thế giới P phụ thuộc vào thời gian t 33 a) Tìm dân số thế giới vào năm 1950? P(1950) = 2560 (triệu) b) Tìm t sao cho P(t) = 4450? 34 Biểu diễn hàm số bằng lời, bằng đồ thị: Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ nước (T) trong bình phụ thuộc vào thời gian đun (t). Ta có đồ thị nhiệt độ nước trong bình như sau Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu của nước gần với nhiệt độ trong phòng. Khi ta bật công tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng. Khi ta ngắt công tắc điện, nhiệt độ bình giảm không đáng kể. Khi ta tháo nước ra khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ của nước ban đầu. 35 Hàm số xác định từng khúc: Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các công thức khác nhau trong từng khúc khác nhau của tập xác định của nó. 36 Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá 3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100 km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và C(x) là chi phí thuê xe. Viết hàm số C(x). 9/4/2019 7 II. Các hàm số cơ bản: 37 Hàm lũy thừa: ( ).y x   Hàm mũ: (0 1).xy a a   Hàm logarit: log (0 1).ay x a   Hàm lượng giác: sin , cos , tan , cot .   y x y x y x y x Hàm lượng giác ngược: arcsin , arccos , arctan , arccot   y x y x y x y x Hàm hằng: .y C 2.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản: 38 Chú ý: sin(arcsin ) ( 1 1).x x x    arcsin(sin )x x .2 2x        cos(arccos ) ( 1 1).x x x    arccos(cos )x x (0 ).x   tan(arctan ) ( ).x x x  arctan(tan )x x . 2 2 x       cot(arccot ) ( ).x x x  arccot(cot )x x (0 ).x   39 2.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản. Ví dụ 2.6: Ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấp sau 1 1 0... . n n n ny a x a x a      Hàm đa thức (hàm nguyên): Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): P(x) và Q(x) là các đa thức. ( ) ( )  P xy Q x 40 Định nghĩa 2.3: ▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm chẵn nếu ▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm lẻ nếu ( ) ( ), .f x f x x D    ( ) ( ), .f x f x x D     41 Định nghĩa 2.4. Giả sử y=f(u) là hàm số của biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến số x. Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký hiệu  ( )( ) ( ) .f g x f g x Ví dụ 2.7: Cho hàm số Tìm và 2( ) , ( ) 3.  f x x g x x f g .g f III. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: 42 Ví dụ 2.8: Xét hàm số khi các giá trị của x gần 2. Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2 2( ) 2  f x x x 9/4/2019 8 43 Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập D và hoặc Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L khi ký hiệu là Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x) gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ gần nhưng không được bằng Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu khi đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về 0x D 0 .x D 0x x 0 lim ( ) x x f x L   ( ) f x L 0x x 0x 0.x 0.x Ví dụ 2.9: Dự đoán giá trị của  8 4 4) lim 2 .xb x x x   21 1) lim . 1x xa x   44 Định nghĩa 3.2 (Giới hạn một phía): ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu 0x x 0x x 0 lim ( ) . x x f x L   0x x 0x x 0 lim ( ) . x x f x L   Định lý 3.3: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất. 45 Chú ý: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L           và  và   0 0.x x x x   0 0x x x x    0.x x 0 0x x x x    0.x x 0 0 0 1 2 1 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x L f x L L              không tồn tại. 46 Ví dụ 2.10: Một bệnh nhân cứ mỗi 4 giờ đồng hồ phải tiêm một mũi thuốc 150 mg. Đồ thị cho thấy lượng thuốc f(t) trong máu bệnh nhân sau t giờ. Tìm và và giải thích ý nghĩa của các giới hạn đó. 12 lim ( ) t f t 12 lim ( ) t f t 47 Định nghĩa 3.4 (Giới hạn vô cùng): ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi thì ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi thì 0x x 0 lim ( ) .    x x f x 0x x 0 lim ( ) .    x x f x Ví dụ 2.11: 20 1lim .    x x 48 Định nghĩa 3.5 (Giới hạn tại vô cùng): ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x tăng không bị chặn với các giá trị dương thì ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x giảm không bị chặn với các giá trị âm thì lim ( ) .   x f x L lim ( ) 3.   x f x lim ( ) 7.   x f x lim ( ) .   x f x L Ví dụ 2.12: 9/4/2019 9 49 ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng không bị chặn với các giá trị dương thì ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x giảm không bị chặn với các giá trị âm thì lim ( ) .    x f x lim ( ) .    x f x Ví dụ 2.13: n lẻ: lim .   n x x lim .   n x x 50 ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x tăng không bị chặn với các giá trị dương thì ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm không bị chặn với các giá trị âm thì lim ( ) .    x f x lim ( ) .    x f x Ví dụ 2.14: n chẵn: lim .   n x x lim .   n x x IV. Định nghĩa chính xác về giới hạn: 51 Định nghĩa 4.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập D và hoặc Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L khi (L, x0 hữu hạn), ký hiệu là 0x D 0 .x D 0x x 0 lim ( ) x x f x L   00, 0 : , 0 ( ) .x D x x f x L               52 Ví dụ 2.15: Sử dụng đồ thị f đã cho để tìm một số sao cho nếu thì  1x   ( ) 1 0,2.f x   V. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 53 5.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc TXĐ của nó được tính theo công thức 0x 0 0lim ( ) ( ).   x x f x f x Ví dụ 2.16: Tính các giới hạn sau 2 1 ) lim( 2).    x a x x 0 sin 3) lim . cos  x xb x 2 ) lim 2.   x c x 54 Ví dụ 2.17: Cho 21 khi 1, ( ) 2, khi 1.       x x f x x Tìm 11 1 lim ( ), lim ( ), lim ( ). xx x f x f x f x     Ví dụ 2.18: Tìm m để hàm số sau có giới hạn khi 2x  2 2 1 khi 2 ( ) . 2 1 khi 2         x mx x f x x x x 9/4/2019 10 V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ: 55 Xem Bảng 1. 5.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản: VI. Một số định lý về giới hạn hàm số: 56 0 lim ( ). x x k k k   ĐL 6.1: ĐL 6.2: Giả sử Khi đó: 0 0 lim ( ) , lim ( ) . x x x x f x A g x B       0 ) lim ( ) ( ) . x x ii f x g x A B       0 ) lim ( ). ( ) . . x x iii f x g x A B   0 ( )) lim ( 0). ( )x x f x Aiv B g x B          0 0 ) lim . ( ) . lim ( ) ( ). x x x x i k f x k f x k       0 ( )) lim ( ) (0 1).g x B x x v f x A A     57 Nếu thì 0 0 ) lim ( ) 0 lim ( ) 0. x x x x i f x f x      )ii 0 0 0 0( ) ( ) ( ), ( , ), lim ( ) lim ( ) x x x x g x f x h x x x x g x h x L               0 lim ( ) . x x f x L   ĐL 6.3: 58 Chú ý 6.4: Trong tính toán về giới hạn hàm số, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng vô định: Khi đó, ta không thể dùng định lý 6.2, mà phải dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô định đó. 0 00 , , 0. , , 0 , ,1 . 0       VII. Vô cùng bé (VCB): 59 Định nghĩa 7.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng bé khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 0 lim ( ) 0. x x f x   Ví dụ 2.19: 3) 3sin 2b x x 0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi 0.x là VCB khi ) cos , cotc x x . 2 x là VCB khi 2 1) 2 xd x   .x là VCB khi 60 Tính chất 7.3 1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB. 2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 3) Thương của hai VCB chưa chắc là một VCB. Định lý 7.2. 0 lim ( ) ( ) ( )      x x f x L x f x L là một VCB khi 0.x x 9/4/2019 11 61 -Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x). Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x). 0k   ( ) ( )f x o g x ( ) 0f x  -Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).k   -Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu: 0,k k   Định nghĩa 7.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi Xét 0.x x 0 ( )lim . ( )x x f x k g x  1k ( ) ( ).f x g x Một số vô cùng bé tương đương thường gặp (Xem Bảng 1).  ( ) ( ) .f x O g x VIII. Vô cùng lớn (VCL): 62 Định nghĩa 8.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng lớn khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 0 lim ( ) . x x f x    Ví dụ 2.20: 0.x 1 1) , , cot sin a x x x là VCL khi 2) , 2 1b x x  .x là VCL khi 63 -Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x). Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x). 0k   ( ) ( )f x o g x ( )f x -Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).k   -Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu: 0,k k   Định nghĩa 8.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi Xét 0.x x 0 ( )lim . ( )x x f x k g x  1k ( ) ( ).f x g x  ( ) ( ) .f x O g x 64 Tính chất 8.3: Quan hệ trong VI và VII là quan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau 1) ( ) ( ).f x f x 2) ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x ( ) ( ) 3) ( ) ( ). ( ) ( )       f x g x f x h x g x h x ~ 65 §3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số Phương pháp tính 66 0 lim ( ) : x x f x  Thế vào f(x)0x con số cụ thể  biện luận xem ? vô định khử 0 00, , 0. , , 0 , ,1 . 0      9/4/2019 12 67 3.1. Khử dạng và : 0 0 Giả sử là các VCB (hoặc VCL) khi . Khi đó       ( ) ( ) 3) ( ) ( ) . ( ) 0 k kf x g x f x g x g x      0x x         0 0 0 ( ) ( ) 1) lim ( ) lim ( ).lim ( ) x x x x x x f x g x f x g xg x tonà taiï 1 1 1 1 1 1 ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 2) .( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x f x f xf x g x g x g x g x          1 1( ), ( ), ( ), ( )f x f x g x g x 14)Trong3) : khi ( ) ( ).n nk f x g x n    68 Chú ý 3.2: 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x g x f x g x g x g x f x g x f x g x             69 Ví dụ 3.1: Cho và Tính: a) b) 2( ) 5f x x  2( ) 3.g x x   ( )lim . ( )x f x g x  lim ( ) ( ) . x f x g x   Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau 2 30 2) lim . 3  x x xa x x 2 2 ( 2)( 5 1)) lim . ( 2)    x x x xc x x 2 3 2 3) lim 2 1    x x xb x x 22 3 5) lim . 5 1   x x xd x 70 0 sin 2) lim . x xe x 20 7arctan 4)lim . 1 xx x h e 30 ln(1 2 )) lim . 1   xx xj e 20 1 cos3)lim .   x xg x 2 0 ) lim . arcsin 3x xf x 20 ln(cos )) lim . x xk x 0 1 2 1) lim . tan 3   x xi x 2 1 cos) lim . ( )   x xl x 71 Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao): Nếu đều là tổng của các VCB khác cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp bé nhất trong 0x x ( ), ( ) x x ( ) ( )   x x ( ), ( ). x x 72 Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi sao cho Khi đó: 0x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx  Nếu thì ta không thể viết, 0  m n a b neáu ( ) ( ) neáu ( ) neáu , 0 m n m ax m n f x g x bx m n a b x m n a b            ( ) ( ) 0. f x g x 9/4/2019 13 73 Ví dụ 3.3: 2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x     4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x      Ví dụ 3.4: Tính 2 3 3 80 3sin 4sin) lim . 5x x x xa x x x     30 tan sin) lim .   x x xc x 3 5 0 ) lim .  x x x e eb x 74 Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp): Nếu đều là tổng của các VCL khác cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp lớn nhất trong 0x x ( ), ( ) x x ( ) ( )   x x ( ), ( ). x x 75 Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi sao cho Khi đó: x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx  Nếu thì ta không thể viết neáu ( ) ( ) neáu ( ) neáu , 0 m n m ax m n f x g x bx m n a b x m n a b            , 0  m n a b ( ) ( ) 0. f x g x 76 Ví dụ 3.5: Tính 2 2 4 2 3lim . 4     x x x x x x 3.2. Khử dạng :    Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 0 0 .   Ví dụ 3.6: Tính các giới hạn sau 3 2 2) lim .3 4 3 2      x x xa x x   2) lim 1 . x b x x x     hoặc 77 3.3. Dạng : 0 . 00 hoặc .   biến đổi đưa về dạng 1 1) limsin tan . 2 2        x x xb Ví dụ 3.7: Tính các giới hạn sau 3 2 1) lim ( 1) . 2    x xa x x x 3.4. Dạng :   0 ( )lim ( ) g x x x f x  0 00 , ,1 Giới hạn có dạng Đặt   0 ( )lim ( )   g x x x a f x   0 ( )ln lim ln ( )    g x x x a f x Ví dụ 3.8: Tính 1 0 ) lim(1 ) .   x x a x 3) lim 1 .       x x b x 0 ln lim ( ) ln ( )     x x a g x f x b .  ba e 78 3.5. Định lý: Nếu và thì lim ( )   x f x L ( )  nf n x lim .  nn x L Ví dụ 3.9: Tính 2 23 1 2 1) lim . 4 3    n n nb n 2 (3 1)(2 2)( 1)) lim . (2 )(2 1)      n n n na n n n 15 4 1) lim . 2.5 6      n n n nn c 12 2) lim ln . 9 4      n nd n 31 3) lim cos . 2 6 1    n ne n n n Bài tập Giải tích Chương 1 14 Một số