Bài giảng Giải tích - Chương 2: Hàm liên tục - Phan Trung Hiếu

9/16/2019 1 LOG O Chương 2: Hàm liên tục GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §2. Tính chất của hàm liên tục 2 §1. Khái niệm I. Hàm số liên tục tại một điểm: 3 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trong một khoảng chứa x0. Ta nói: (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu 0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   4 (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0lim ( ) ( ).x x f x f x  Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều sau:  f(x) xác định tại x0.  tồn tại.  0 lim ( ) x x f x  0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   5 Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:  f(x) không xác định tại x0.  f(x) xác định tại x0, nhưng 0 lim ( ) x x f x  không tồn tại hoặc 0 lim ( ) x x f x  không tồn tại hoặc 0 0 lim ( ) lim ( ). x x x x f x f x      f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 0 lim ( ) x x f x  0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   6 Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì cũng liên tục tại x0., . , ( 0) ff g f g g g   Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau sin 3 khi 0 ) ( ) 3 khi 0       x x a f x x x tại 0 0.x  2 2 1 khi 1 ) ( ) khi 1 2           x x b f x x x tại 0 1.x   9/16/2019 2 7 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 3 2 2 1 khi 0 ( ) ln(1 ) 1 khi 0         xe x f x x m x liên tục tại 0 0.x Ví dụ 1.2: Cho hàm số tan( ) , 2 ( ). 1 cos     x xf x x k k x Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại 0 0.x 8 Ví dụ 1.4: Tìm m và n để hàm số 2 3 khi 3, ( ) khi 3, khi 3. mx x f x x n x x x         liên tục tại 0 3.x II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 9 Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên [a,b]      f(x) liên tục trên (a,b) lim ( ) ( ) x a f x f a   lim ( ) ( ) x b f x f b   10 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. Liên tục Không liên tục a b a b 11 Ví dụ 1.5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định 2 2 3 khi 0 ( ) 1 khi 0 . 3 khi 0         x x f x x x x 12 Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số 2 3 2 khi 2 ( ) khi 2        mx x x f x x mx x liên tục trên . Ví dụ 1.7: Tìm m và n để hàm số 1 khi 1 1( ) khi 1 2 1 1khi 2              x x f x mx n x x x liên tục trên . 9/16/2019 3 13 §2. Tính chất của hàm số liên tục 14 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. 15 Định lý 2.6 (Định lý giá trị trung gian): f(x) liên tục trên [a,b]  ( ), ( )N f a f b ( , ) : ( ) .  c a b f c N( ) ( )f a f b 16 Hệ quả 2.6: f(x) liên tục trên [a,b] ( ). ( ) 0f a f b  ( , ) : ( ) 0.c a b f c   Ví dụ 2.1: Cho phương trình a) Chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1). b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình. 3cos .x x Bài tập Giải tích Chương 2 4 Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước 1) 2arcsin( 2 ) khi 0( ) 3 2 / 3 khi 0        x x xf x x x tại 0 0x . 2) 2 2 2 ln(1 4 ) khi 0 ( ) 1 2 khi 0         x x x f x e x tại 0 0x . Bài 2: Cho hàm số ln ln 2( ) , 2. 2     xf x x x Tìm f(2) để hàm số liên tục tại 2.x Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm 0 0x 1) 4 2 ln(2 cos( )) khi 0 ( ) 2 khi 0       mx x f x x x m x . 2) 2 23 tan sin khi 0( ) .2 khi 0        x x xf x x m x Bài 4: Tìm m và n để hàm số   sin 2 khi 0, ( ) 2 khi 0, 2 1 1 khi 0            m x x x f x x n x x x liên tục tại điểm 0 0.x Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định 1) sin( ) khi 1 ( ) 1 khi 1         x x f x x x . 2) cos khi 1 2( ) 1 khi 1        x x f x x x . Bài 6: Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định 1) 5 2 cos khi 0 ( ) 4 khi 0         mxe x x f x x m x . 2) 5 5 3 (1 cos( )).( ) khi 0( ) 3 1 khi 0          x xmx e e xf x x x m x . Bài 7: Cho phương trình ln 3 2 x x . a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực. b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình.