Bài giảng Giải tích - Chương 3: Hàm khả vi - Phan Trung Hiếu

9/25/2019 1 LOG O Chương 3: Hàm khả vi GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §2. Định lý giá trị trung bình §4. Công thức Taylor §5. Ứng dụng §3. Đạo hàm cấp cao 2 §1. Khái niệm 3 I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu , được tính bởi 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x x f x f xf x x x     0 0( ) ( )y x f x  nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 0( )f x 4 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số 2ln(1 ) khi 0( ) 0 khi 0 x xf x x x        tại 0 0.x  Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x x f x f xf x x x      Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x x f x f xf x x x       5 Định lý 1.5: 0 0 0( ) ( ) ( )f x L f x f x L         Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số 1 , 1, ( ) (1 )(2 ), 1        x x f x x x x tại 0 1.x 6 Định lý 1.6: f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 2( ) khi 0( ) khi 0       xe x x xf x m x có đạo hàm tại 0 0.x  9/25/2019 2 7 Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn): Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b). -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có đạo hàm trên (a,b) và có đạo hàm phải tại x = a và có đạo hàm trái tại x = b. II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: 8 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2 ( . ) . ( ) ( . ) . . . . k u k u u v u v u v u v u v u u v u v v v                    2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó  ( ) ( ). ( )  y x u x y u x 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có ( ), ( )u u x v v x  9 Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) arctany x b) 2(arcsin )y x c) 2arctan ln 1  x x xy e e e d) 32( 1)  xy x Ví dụ 1.5: Nếu , trong đó  ( ) ( )F x f g x ( 2) 8, f ( 2) 4,  f (5) 3, f (5) 2, g (5) 6. g Tìm (5).F III. Vi phân cấp một: 10 Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là ( ) ( )df x f x dx dy y dx hay Ví dụ 1.6. Cho Tính và2 .xy e ( )dy x (1).dy 11 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì 1) ( ) .d u v du dv   2) ( . ) . .d k u k du 3) ( . ) .d u v vdu udv  2 4) .u vdu udvd v v        Ví dụ 1.7. Cho u và v là các hàm khả vi theo biến x. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau a) 2 uy v  b) 2 2lny u v  12 Ví dụ 1.8. Tìm vi phân df nếu a)  ln arctan(sin )y x b) 2 .sin 3 x xy e 9/25/2019 3 13 §2. Định lý giá trị trung bình I. Định lý Rolle: 14 Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại sao cho .( , )c a b Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle thì phải có ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với trục hoành.  ( ) 0f c 15 Ví dụ 2.1: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle trên một đoạn cho trước không. Sau đó tìm tất cả các số c thỏa mãn kết luận của định lý Rolle.        3 2( ) 6 2, 0;3 .f x x x x II. Định lý giá trị trung bình: 16 Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) thì tồn tại sao cho( , )c a b Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình thì phải có ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng nối hai đầu mút.   ( ) ( ) ( ).( ).f b f a f c b a 17 Ví dụ 2.2: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình trên một đoạn cho trước không. Sau đó tìm tất cả các số c thỏa mãn kết luận của định lý giá trị trung bình.    ( ) , 0;4 .f x x Ví dụ 2.3: Giả sử f(0) = -3 và . Tìm giá trị lớn nhất mà f(2) có thể nhận được.    ( ) 5,f x x 18 §3. Đạo hàm cấp cao 9/25/2019 4 I. Đạo hàm cấp cao: 19 Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) là Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y  ( ) ( )y f x f x     ( ) ( ) ( 1)( ) ( )n n ny f x f x      Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba, cấp bốn, cấp n của hàm số , .kxy e k const  20 Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó ( ) ( ) ( ) 0 ( . ) n n k k n k n k u v C u v    Ví dụ 3.4. Tính của hàm số 2 2 .xy x e(20)y Ví dụ 3.2. Cho hàm số Chứng minh sin .y x x 2( sin ) 0.    xy y x xy Ví dụ 3.3. Cho hàm số . Chứng minh 22 y x x 3 4 ) 1 0. ) 3 0. a y y b y y y       II. Vi phân cấp cao: 21 Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là  1 ( )n n n nd y d d y y dx  trong đó . .... .n n dx dx dx dx 22 Ví dụ 3.5. Tính vi phân cấp 2 của hàm số xy e trong hai trường hợp: a) x là biến độc lập. b) x là hàm của một biến độc lập nào đó. 23 §4. Công thức Taylor I. Công thức khai triển Taylor: 24 Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor (khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là ( ) 20 0 0 0 0 0 0 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1! 2! ! ( ) ( ) ( 1)! n n n n f x f x f xf x f x x x x x x x n f x x n                c trong đó c là một số nằm giữa x và x0. ( 1) 1 0 ( )( ) ( ) : ( 1)! n n n fR x x x n     c Phần dư Lagrange bậc n.  0( ) ( ) :nnR x o x x  Phần dư Peano bậc n. 9/25/2019 5 II. Công thức khai triển Maclaurin: 25 Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm 0 0 :x  ( ) ( 1) 2 1(0) (0) (0) ( )( ) (0) ... 1! 2! ! ( 1)! n n n nf f f ff x f x x x x n n          c hay ( ) 2(0) (0) (0)( ) (0) ... ( ) 1! 2! ! n n nf f ff x f x x x o x n         III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp: 26 Xem Bảng 3. Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n: Cách 1: Tính rồi thế vào công thức.( )(0), (0),..., (0)nf f f Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi biến. Chú ý: đặt sao cho Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 : ( )w g x Cách 1: Tính rồi thế vào công thức( )0 0 0( ), ( ),..., ( )nf x f x f x Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi biến. Chú ý: đặt 0 .w x x  0 0.x w   27 Ví dụ 4.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 1( ) . 2 8    f x x x Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến cấp n. 28 Ví dụ 4.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau đến số hạng chứa 2) ( ) xa f x e 4x 2) ( ) cosb f x x 1) ( ) 3 c f x x   ) ( ) ln(1 3 )d f x x  Ví dụ 4.3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau  ) ( ) .ln 1xa f x e x  đến số hạng chứa ) ( ) 1x xb f x e   đến cấp 4. 3.x 29 Ví dụ 4.4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau đến cấp 3. ) ( ) xa f x e tại 0 2.x  1) ( )b f x x  tại 0 3.x  2 1) ( ) 1 xc f x x    tại 0 2.x  30 §5. Ứng dụng 9/25/2019 6 I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định: 31 Định lý 5.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) hay và tồn tại thì 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x     0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x      0 ( )lim ( )x x f x g x   0 0 ( ) ( )lim lim ( ) ( )x x x x f x f x g x g x     32 Chú ý 5.2.  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. 0 0 hoặc .   33 Ví dụ 5.1. Tính các giới hạn sau 2 3 22 5 6)lim 2x x xa x x x      2 20 2 4)lim 9 3x xb x     30 sin)lim   x x xc x 2 ) lim 3  xx x xd e 2 3 ln) lim x xe x   0 ) lim sin .ln x f x x 0 1 1 1)lim t an2 sin     x g x x x cot 0 ) lim(1 sin4 )   x x h x II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân: 34 ( ) ( ) ( )( )  f x f a f a x aPhép xấp xỉ (*) được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến của f tại a. Hàm tuyến tính ( ) ( ) ( )( )  L x f a f a x a được gọi là tuyến tính hóa của f tại a. 35 Đặt . Từ (*), ta có   x x a ( ) ( ) ( )    f a x f a f a x ( ) ( ) ( )    f a x f a f a x ( )  y f a x y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm một lượng là x ) 3,98.a Ví dụ 5.2: Tính gần đúng giá trị của 0) sin 29 .b 36 Ví dụ 5.3: Một sợi kim loại mỏng có chiều dài L = 12cm khi nhiệt độ là t = . Hãy ước lượng sự thay đổi chiều dài khi t tăng lên Giả sử rằng L là hàm số phụ thuộc vào t thỏa trong đó là hệ số giãn nở nhiệt. 21oC 24oC ( ) . , L t k L 5 11,7 10   ok C 9/25/2019 7 III. Phương pháp Newton: 37 ( ) 0.f xXét phương trình Nếu nghiệm xấp xỉ thứ n là và thì nghiệm xấp xỉ tiếp theo được cho bởi công thức nx ( ) 0 nf x 1 ( ) ( )    n n n n f xx x f x Nếu các số ngày càng tiến gần đến r khi n lớn dần thì ta có thể nói rằng dãy số hội tụ ở r và ta viết nx lim  nn x r 38 Ví dụ 5.4: Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình lấy chính xác đến 6 chữ số thập phân, biết đồ thị của hai hàm số và được cho trong hình vẽ sau cos x x cosy x y x 8 BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 ( ) 0C   ( )C const 2 1( ) .x x    1( ) . .u u u    ( )const  3 2 1 1 x x        2 1 u u u        4 1 ( ) 2 x x   ( ) 2 u u u   5 ( ) .ln , ( : x xa a a a hằng > 0) ( ) .(ln ).u ua a a u  6 ( )x xe e  ( ) .u ue e u  7 1 (log ) , (0 1) .ln    a x ax a (log ) .lna u u u a   8 1 (ln )x x   (ln ) u u u   9 (sin ) cosx x  (sin ) (cos ).u u u  10 (cos ) sinx x   (cos ) (sin ).u u u   11 22 1 (tan ) 1 tan cos x x x     2 2 (1 tan ).(tan ) cos u u uu u     12 22 1 (1 cot )(cot ) sin xx x      2 2 (cot ) (1 cot ). sin u u u u u      13 2 1 (arcsin ) 1 x x    2 (arcsin ) 1 u u u    14 2 1 (arccos ) 1 x x    2 (arccos ) 1 u u u    15 2 1 (arc tan ) 1 x x    2 (arc tan ) 1 u u u    16 2 1 (arccot ) 1 x x    2 (arccot ) 1 u u u    9 BẢNG 3. KHAI TRIỂN MACLAURIN CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Công thức 1 2 3 0 ( ) 1 ... ( ) ! 2! 3! ! k nn x n n k x x x x e o x x o x k n          2 2 3 0 1 ( 1) ( ) 1 ... ( 1) ( ) 1 n k k n n n n k x o x x x x x o x x               3 2 3 0 1 ( ) 1 ... ( ) 1 n nnnk k o xxxx xo xx x             4 2 1 3 5 7 2 1 2 2 2 2 0 sin ( 1) ( ) ... ( 1) ( ) 1)!(27!5!3!1)!(2 k nn k n n n k x x x x x x o x x o x nk                 5 2 2 4 6 2 2 1 2 1 0 cos ( 1) ( ) 1 ... ( 1) ( ) (2 )! 2! 4! 6! (2 )! k nn k n n n k x x x x x x o x o x k n               6 2 3 4 1 1 1 ln(1 ) ( 1) ( ) ... ( 1) ( ) 2 3 4 k nn k n n n k x x x x x x o x x o x k n                7 2 3 4 1 ln(1 ) ( ) ... ( ) 2 3 4 k nn n n k x x x x x x o x x o x k n             Bài tập Giải tích 10 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1: Các hàm số sau có đạo hàm tại 0x x không? a) 2sin , 1( ) 1 0, 1      x xf x x x , 0 1x . b) 2( ) 4 f x x , 0 2x . c) 2 7, 3, ( ) 16 , 3       x x f x x x , 0 3x . d)      2 1sin , 0, ( ) 0, 0 x x f x x x , 0 0x . Bài 2: Cho hàm số 4 2 cos , 0, ( ) 3, 0.         mxe x x f x x m x a) Tìm m để hàm số f(x) liên tục trên  . b) Với các giá trị m vừa tìm được ở trên, hàm số f(x) có tồn tại (0)f hay không? Bài 3: Tìm a và b để hàm số ln( 1) cos , 1 ( ) cos , 1         a x x x f x b x x có đạo hàm tại 0 1.x Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1) arcsin xy x . 2) ln(arcsin 5 )y x . 3) 2 4 2arcsin 1   xy x . 4) 2 sin 1 sinln . cos cos    x xy x x 5) (sin ) , xy x với sin 0.x 6) ,  xxy x x với 0.x 7) ln (ln ) x xy x x với 1.x 8) 2 2.(2 1) 1    x xy x . Bài 5: Tìm vi phân dy của các hàm số sau 1)  2arctan .xy e 2)  2 sin 2 .y x x 3)  ln3 .x xy 4)   21ln(sin ) sin . 2 y x x 5)  2 . arcsin xy x 6)   2cos .y x Bài 6: Tính vi phân cấp 2 của các hàm số sau 1) ( ) . xf x x e nếu x là biến độc lập. 2)   2( ) sinf x x nếu a) x là biến độc lập. b) x là hàm của một biến độc lập nào đó. Bài 7: 1) Cho   ln .y x x Tính ( )dy x và ( ).dy e 2) Tính     2 sin . ( ) d x d x x Bài tập Giải tích 11 3) Nếu ( ) ( ),xf x e g x trong đó (4) 8g và  (4) 7.g Tìm (4).f 4) Cho ba hàm số  ( )y f x ,  ( )y g x và   ( )( ) . 1 ( ) g xh x f x Tính (2),h biết  (2) 3,f (2) 4,g   (2) 2f và  (2) 7.g Bài 8: Cho u, v, w là các hàm khả vi theo biến x. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau 1)  . .y u v w 2)  arctan uy v 3)  2 2 1y u v Bài 9: Cho 1, 0, .  y x yx e x x e Chứng minh rằng 2 ln (1 ln )   dy x dx x . Bài 10: 1) Chứng minh siny x x thỏa mãn đẳng thức 2 cos .  y y x 2) Chứng minh 2 arcsin 1   xy x thỏa mãn đẳng thức 2(1 ) 1.  x y xy 3) Chứng minh sin(ln ) cos(ln ) y x x thỏa mãn đẳng thức 2 0.   x y xy y 4) Chứng minh 2 1  y x x thỏa mãn đẳng thức 22 1  x y y và 24(1 ) 4 0    x y xy y . Bài 11: Cho   ( ) 3 4 ( )F x f f f x , trong đó (0) 0f và (0) 2. f Tìm (0).F Bài 12: Kiểm tra xem các hàm số sau có thỏa mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình trên một đoạn cho trước không. Sau đó, tìm tất cả các số c thỏa mãn kết luận của định lý giá trị trung bình. a) 3 3 2 x x ,  2;2 . b) lnx x ,  1;2 . c)  xe ,  0;2 . d) 1 x ,  1;3 . Bài 13: Cho hàm số , 0 2( ) , 1 0.          xe x f x x m x a) Tìm m đề hàm số f(x) khả vi trên (-1;2). Tìm ( ).f x b) Tìm số c trong định lý giá trị trung bình trên [-1;2]. Bài 14: Nếu (1) 10f và ( ) 2, [1; 4]   f x x thì (4)f nhỏ nhất là bao nhiêu? Bài 15: a) Cho sin . xy e x Tính (2017)(0).y b) Cho 2 1. xy x Tính (2018)(1).y Bài 16: Tìm khai triển Maclaurin của hàm số sau 1) cos( )  xf x e đến số hạng chứa x4 2) ( ) ln(3 2 ) f x x đến số hạng chứa x3 3) 3( ) 1   xf x x đến số hạng chứa x4 4) ( ) ln(1 sin ) f x x đến cấp 3 5) 22( )  x xf x e đến cấp 3 6) ( ) sin(sin )f x x đến cấp 3 7) ( ) sin 4 ln(1 2 )  f x x x đến cấp 2. 8) ( ) tanf x x đến số hạng chứa x5. Bài tập Giải tích 12 9)  sin( ) ln xf x x đến số hạng chứa x6. 10)  3( ) cosf x x . Bài 17: a) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số ( ) ( 1)   xf x x e . Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến cấp n. b) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số 3 1( ) ln(1 3 ) (2 3)     f x x x . Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến cấp n. Bài 18: Tính các giới hạn sau 1) 2 22 4lim . 3 2   x x x x 2) 0 1 1lim . 3 2 9    x x x 3) 2 1 1 lnlim .    xx x x e e 4) 0 2lim . sin      x x x e e x x x 5) 3 2 1 1lim . ln 1     x x x x x x 6) 3 0 1lim . tan x x e x 7) 0 tanlim . 1 cos x x x x 8) 20 cos 2 coslim . sin  x x x x 9) 2 2 2 2 20 sin coslim . sin  x x x x x x 10)    73 0 cos cos arcsin(3 ) 5 arctan(4 ) lim . sin .arcsin(2 ).arctan(5 )   x x x x x x x x 11) ln(1 )lim . 1   x x e x 12) 2 3lim .(ln )x x x 13) 3 lim .  xx x e 14) 2 lim . x xx xe x e  Bài 19: Tính các giới hạn sau 1) 0 1lim cot .      x x x 2) 2 20 1 1lim sin     x x x . 3) 0 1 1lim 1    xx x e . 4)    0 2 1 1lim ln 1ln 1          x xx x . 5) 1 0 lim ln .    x x e x 6) 1 lim 1 .        x x x e 7) 1 lim ln tan . 2        x xx 8) 1 lim ( 1)   x x x . 9) tan 0 lim (sin )  x x x 10) 1 1 1 lim   x x x . 11) 1 0 lim( ) .   x x x x e 12) tan 2 1 lim tan . 4          x x x Bài 20: Tính gần đúng giá trị của a) (1, 2) (1)f f nếu (1) 4 f . b) 4(1,999) . c) 1 4,002 . d)  5ln 32,005 1 . e) arctan(1,004) 1,004 . f) 0cos31 . Bài tập Giải tích 13 Bài 21: a) Doanh thu phòng vè của một rạp chiếu phim ở Paris là 3( ) 3600 R p p p (euros) trên một suất chiếu khi giá vé là p (euros). Tính ( )R p khi 9p và sử dụng xấp xỉ tuyến tính để ước tính R khi p tăng hoặc giảm 0,5 euros. b) Bán kính của một quả bóng hình cầu đo được là 25r cm . Ước tính sai số tối đa của thể tích và diện tích bề mặt khi biết sai số của r là 0,5 cm. Bài 22: Sử dụng phương pháp Newton với một xấp xỉ ban đầu 1x để tìm 3x là nghiệm xấp xỉ của phương trình sau (đáp án lấy 4 chữ số thập phân). a) 5 1 0  x x , 1 1.x b) 1 sin 0 x x , 1 7.x Bài 23: Tìm nghiệm xấp xỉ dương nhỏ nhất của phương trình s in3 cosx x lấy chính xác đến 6 chữ số thập phân, biết đồ thị của hàm số ( ) s in3 cos f x x x được cho trong hình vẽ sau.