Bài giảng Giải tích - Chương 4: Tích phân - Phan Trung Hiếu

Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều có dạng F(x) + C. Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất cả các nguyên hàm của f trên D.

pdf11 trang | Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 317 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Giải tích - Chương 4: Tích phân - Phan Trung Hiếu, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
13/10/2018 1 LOG O Chương 4: Tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Nguyên hàm §3. Các phương pháp tính tích phân §2. Tích phân xác định 2 §1. Nguyên hàm I. Nguyên hàm: 3 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên khoảng D. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D ( ) ( ), .F x f x x D    Ví dụ 1.1:  x2 là nguyên hàm của 2x, vì 2( ) 2 .x x   x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì 2( 3) 2 .x x   x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 2x, vì 2( ) 2 .x C x  4 Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều có dạng F(x) + C. 5 II. Tích phân bất định: trong đó  : dấu tích phân. :x biến lấy tích phân. ( ) :f x hàm lấy tích phân. Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất cả các nguyên hàm của f trên D. Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được ký hiệu là ( ) :f x dx biểu thức dưới dấu tích phân. ( ) , f x dx 6 Ví dụ 1.2. 22x dx x C  vì  2( ) 2 .x x Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là hai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có ( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x    13/10/2018 2 III. Tính chất: 7   . ( ) ( )k f x dx k f x dx với k là hằng số khác 0.        ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx     ( ) ( ) .f x dx f x C     ( ) ( ).f x dx f x IV. Bảng công thức tích phân cơ bản: 8 Xem Bảng 4. 9 §2. Tích phân xác định I. Công thức Newton-Leibniz: 10 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a   Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích phân xác định của f từ a đến b là II. Tính chất: 11   ( ) 0 a a f x dx    ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx  b b a a k f x dx k f x dx . ( ) . ( ) với k là hằng số        ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx  ( ) 0f x trên [a,b]   ( ) 0. b a f x dx 12 §3. Các phương pháp tính tích phân 13/10/2018 3 13 Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp sao cho biểu thức còn lại trong hàm số. Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi hàm số.  t I. Phương pháp đổi biến số loại 1: 14 Bước 1 (đổi biến): Đặt ( )t u x  ( )dt u x dx Bước 2 (thay vào tích phân):  ( ) ( ) ( )I f t dt F t C F u x C     Tích phân dạng:  ( ) ( )I f u x u x dx  15 Tích phân dạng:  ( ) ( ) b a I f u x u x dx  Bước 1 (đổi biến): Đặt ( )t u x  ( )dt u x dx Bước 2 (đổi cận): x a b t u(a) u(b) Bước 3 (thay vào tích phân): ( ) ( ) ( ) u b u a I f t dt  (cận mới, biến mới). 16 Dấu hiệu đổi biến thường gặp: Có Đặt căn t = căn và và xe ,xt e const    ln x lnt x 1 x 2 1 x 1 x 1 t x  n(u(x)) t u(x) 17 Dạng Đặt có và t = tanx có và t = cotx có arcsinx và t = arcsinx có arccosx và t = arccosx tan x 2 1 cos x cot x 2 1 sin x 2 1 1 x 2 1 1 x 18 Dạng Đặt có arctanx và t = arctanx có arccotx và t = arccotx (sin )f x dx cosx sint x (cos )f x dx sinx cost x 2 1 1 x 2 1 1 x 13/10/2018 4 19 Dạng Đặt f đổi dấu f đổi dấu f không đổi dấu Tổng quát (sin ,cos )f x x dx sin sin Thay cos cos      x x x x tant x Thay sin sin x x cost x Thay cos cosx x sint x tan 2  x t 20 Ví dụ 3.1. Tính 1 3 2 0 ) 1b x x dx   4 2 1 ) 1  dx c x x   3 5 2) ( ) (3 1)a x x x dx  2) (2 ln ) dxf x x        1 2 2 1/2 1 1) sing dx xx   tan4 2 0 ) cos xei dx x  2 4) tan tanj x x dx ) 1 x x e dx e e 4 )   x d dx x   3 11 3) xh dx x 21 2 2 sin 0 ) cos   xl e xdx 6 0 ) (1 cos3 )sin3  m x xdx 2 7 5 0 ) sin cos  n x xdx 2 6 sin ) cos x q dx x 2 sin(2 1) ) cos (2 1)   x p dx x 2 3) cos tano x xdx 2 arccos ) 1  x k dx x ) 3cos 4sin 5  dx r x x 22    2) 4 4 5 dxs x x   sin cos) sin cos x xt dx x x    2 2 0 ) 4 2 x xv x e dx 3 sin) cos xu dx x x 23 Phương pháp (đổi biến): Đặt ( ) x u t ( )dx u t dt II. Phương pháp đổi biến số loại 2 Dấu hiệu đặt thông thường: Có Đặt 2 2 ( )a u x ( ) sin , ;2 2       u x a t t 2 2( )u x a ( ) , ; \{0}sin 2 2        a u x t t 2 2( ) u x a ( ) tan , ;2 2        u x a t t 24 Ví dụ 3.2. Tính ) 1a x xdx 2 2) , 11    dx b x x x 3 2 32 2 3/2 0 ) (4 9) x c dx x 13/10/2018 5 25 Phương pháp: Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức. Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta làm như sau ( ) ( ) P x dx Q x , P(x), Q(x) là các đa thức.  III. Tích phân hàm hữu tỉ: 26 Mẫu có : Đặt( )nax b . t ax b Mẫu là tam thức bậc hai 2 : ax bx c Vô nghiệm và tích phân có dạng ta biến đổi . 2 ,   dx ax bx c 2 2 2 ( )   ax bx c a u x Có nghiệm kép x0 , ta phân tích 2 2 0 ( ) ( ) . ( )      P x P x ax bx c a x x 2 2 0( )ax bx c a x x    27 Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 1 2 1 2 ( ) . ( )( )       P x A B a x x x x x x x x 2 1 2( )( ).    ax bx c a x x x x Tìm hệ số A, B sao cho 28 Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các hệ số như sau 1 2 3 1 2 3 A B C x x x x x x       ( ) ( )( )( ) P x x x x x x x   2 2 1 2 1 2 2( ) A B C x x x x x x       ( ) ( )( ) P x x x x x  2 2 0 0       A Bx C x x ax bx c ( ) ( )( ) P x x x ax + bx + c trong đó vô nghiệm.2 0  ax bx c 29 2 2 2 2 0 0 0( )         A B Cx D x x x x ax bx c ( ) ( ) ( ) P x x x ax + bx + c 2 2 2 2 2 0 0 ( )           A Bx C Dx E x x ax bx c ax bx c ( ) ( )( ) P x x x ax + bx+ c trong đó vô nghiệm.2 0  ax bx c Đặc điểm: -Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng. -Mẫu là lũy thừa của tam thức vô nghiệm: Tử là nhị thức. 2  ax bx c 30 Ví dụ 3.3. Tính 3sin ) 2 cos x a dx x 1 0 4 3 ) 2 1   x b dx x 3 ) (2 1) xdx d x 4 2 3 2 1 ( 1) ) 3 4 12     x e dx x x x 3 2 2 2 4 3 ) 2 3      x x x f dx x x 2 2 ( 2) ) ( 1)   x g dx x x 2 3 2 2 3 11 ) 3 5      x x h dx x x x 2 0 ) 2 sin   dx c x 2 2 2 2 1 ) ( 1) ( 1)     x x i dx x x 3 2 2 2 2 5 8 4 ) ( 2 2)      x x x j dx x x 13/10/2018 6 31 2 2) ( 1) dx k x x 1 )   x l dx x 2 2 ) 3 2  x x x e dx m e e 32 IV. Phương pháp tích phân từng phần: B1: Đặt ( ) ( ) ( ) u f x du f x dv g x v         dx dx Nguyên hàm của g(x) Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log); đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân. Phương pháp: 33 B2: Dùng công thức tích phân từng phần udv uv vdu   hoặc . b b b a a a udv uv vdu   34 Ví dụ 3.4. Tính ) cosa x xdx 2 0 ) sin 2 ln(2 cos )  h x x dx 2) arccosf x xdx 1 2 0 ) xb x e dx 2 1 ln )  e x d dx x ) sinxg e xdx 2) ln( )c x x dx ) arctan 4e xdx 2) lni x xdx Bài tập Giải tích 7 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tính các tích phân sau 1) 2 2 1 7 5 cos       x x dx x . 2) 1 2 0 ( 1) x xdx . 3) 3 2 3    xx x e x dx x . 4) 2 3 (1 )  x x e dx e 5) 3 1 1   x x e dx e . 6) 2 2 0 2cos 2   x dx . 7) 2tan xdx . 8) 2(tan cot ) x x dx . 9) 4 0 1 cos 4   xdx . 10) 2 0 1 cos 2    x dx . 11) sin cos3 cos5 x x xdx . 12) 2 32 .3 .5 x x xdx . 13) 2 3 . 1 9  dx x 14) 2 2 0 . 8 2 dx x Bài 2: Tính các tích phân sau 1) 2 10( 3 1) (2 3)   x x x dx 2)  32 . 4  x dx x 3) 1 2 3 1 3 1 .   x x dx 4) 2 2 1 (1 )  dx x x . 5) 3 2 2 . 1  xdx x 6) 2 . 1   x dx x 7) 2 . 1  dx x x 8) 2 .(1 ) x x e dx e 9) 1 . x xe e dx 10) 2 . 2 3 X X dx 11) ln 4 2 0 . 9  x x e dx e 12) 21  x dx e 13) 4 ln e e dx x x . 14) ln 1 ln x dx x x 15) 2 1 4 ln  e dx x x . 16) 2 1 1 cos 1 .      dx x x 17) 5 1 .   x dx x 18) 2 cot . cos xdx x 19) 21 tan . 1 tan   x dx x 20) 2 4 tan . cos x dx x 21) 2 /2 2/3 cot 2 sin 2    x dx x . 22) 1/2 1/4 arcsin (1 ) x dx x x . 23) 2 2 (arccos3 ) 1 9    x x dx x . 24) 2 arcsin 1 x dx x . 25) 3cos sin x xdx . 26) 3 4 sin . cos x dx x 27)   2 2 0 sin . 3 2cos   x dx x Bài tập Giải tích 8 28) 2 2 cos sin 2 tan x dx x x . 29) 5sin cos . 3 3 x x dx 30) 2 1 1 1 sin cos . dxx x x 31) 22 3 sin . 1 cos     x dx x 32)      21 sin 1 sin 1 cos 1 .    x x x dx 33) 4 sin 2 4 sin  x dx x . 34) 2 sin (1 sin ) x dx x . 35)   1 31 .   x x 36) 1 4 1 12 2 . 4 dx dx x x x 37) 4 2 5 3 3 1 5 5     x x dx x x x 38) 3 .1 x dx x Bài 3: Tính các tích phân sau 1) 2 2 1  dx x x . 2) 2 2 . 9  x dx x 3) 2 3 25 , 5.   x dx x x 4) 4 . 1  xdx x Bài 4: Tính các tích phân sau 1) 1 1   x dx x . 2) 4 2 4 x dx x . 3) 3 22 7 12 11 2 3     x x x dx x . 4) 1 3 2 0 4 10 6     x x x x . 5) 0 3 2 1 . 2 1    x dx x x 6) 2 2 8 5 6    x dx x x . 7) 4 3 2 3 2 3 2 4 . 2    x x dx x x 8) 4 4 2 9 . 9   x dx x x 9) 3 3 2 9 3 1 .    x x dx x x 10)     2 4 1 . 1 1 3      x x dx x x x 11) 3 2 4 . 3 10    x dx x x x 12)  2 6 7 . 2   x dx x 13)   2 2 . 1 ( 2 1)   x dx x x x 14) 3 2 3 1 3 4 .    x x dx x x 15) 3 2 2 2 2 1 ( 1)( 1)      x x x dx x x . 16) 2 2 2 2 1 . ( 1)    x x dx x 17)   4 22 81 . 9    x dx x x 18) 2 4 . 1 x dx x 19) 1 2 0 . 4 13  x dx x x 20) 2 4 dx x x . 21) 3 4 2 1   x x dx x . 22) 2 sin cos 3cos x dx x x . 23) 2( 2)( 1)  x x x e dx e e . 24) 2( 2)( 1)  x x x e dx e e . 25) 1 x dx e . 26) sin (1 cos ) dx x x . 27) 4cos 3sin 5  dx x x . 28) 1  x dx x . 29) 2 3  dx x x . 30) 2  dx x x x . Bài tập Giải tích 9 31) 1 3 0 1 . 1 dxx 32) 3 dx x x . Bài 5: Tính các tích phân sau 1) sin . 2 x x dx 2) 2 cos . x xdx 3) 2 1 ln . x xdx 4)  2 22 1 .  xx x e dx 5) 2 cos3 . xe xdx 6)  sin ln . x dx 7)  2ln . x x dx 8) arctan 2 arctan 1 xe x dx x 9) 2 2 ln( 1 ) 1     x x x dx x . 10) arctan 2 3/2(1 ) xxe dx x . 11) ln 2 0  xxe dx . 12) 1 2 3 0 ln(2 4 1) ( 1)    x x dx x . 13) 3 0 arctan x xdx . 14) /2 sin 0 sin 2   xe xdx . 15) /2 2 0 (2 1) cos   x xdx . 16) 1 2 2 0 ln(1 ) x x dx . 17) 2 4 0 sin   xdx . 18) 2 0 cos   xe xdx . 11 BẢNG 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN (1) 0  dx C (2) dx x C  Với 0A  : (3) 1 1 x x dx C        11 ( ) ( ) ( 1) 1 Ax B Ax B dx C A             (4) ln ( 0) dx x C x x    1 ln ( 0) dx Ax B C Ax B Ax B A       (5) 2 1   dx C x x         dx . C A Ax B(Ax B)2 1 1 (6)      n n dx C x (n )x 1 1 1         n n dx C A(Ax B) (n )(Ax B) 1 1 1 1 (7)   dx x C x 2 (x > 0)     dx Ax B C AAx B 2 (Ax + B > 0) (8)    n nm n mnx dx x C n m       m n mn nn(Ax B) dx (Ax B) C A n m 1 (9)    n n m n m n dx x C n mx 1       n mnmn n dx (Ax B) C A n m(Ax B) 1 1 (10)        dx ax bln C (ax b)(cx d) ad bc cx d 1 (11) x xe dx e C  ( ) ( ) 1Ax B Ax Be dx e C A    (12) ln x x aa dx C a   ( ) ( ) 1 (0 1) ln Ax B Ax B aa dx C a A a        (13) cos sinxdx x C  1 cos( ) sin( )Ax B dx Ax B C A     (14) sin cosxdx x C   1 sin( ) cos( )Ax B dx Ax B C A      (15) cot ln sin  xdx x C 1 cot( ) ln sin( )    Ax B dx Ax B CA (16) tan ln cos   xdx x C 1 tan( ) ln cos( )      Ax B dx Ax B CA (17) 2 tancos dx x C x   2 1 tan( ) cos ( ) dx Ax B C Ax B A     (18) 2 cotsin dx x C x    2 1 cot( ) sin ( ) dx Ax B C Ax B A      12 (19) 2 2 1 arctan ( 0)    dx x C k k x k k       dx Ax B arctan C A k k(Ax B) k2 2 1 1 (20) 2 2 arcsin ( 0)     dx x C k kk x       dx Ax B arcsin C A kk (Ax B)2 2 1 (21) 2 2 ln ( 0)        dx x x k C x k k 2 2 ( ) 1 ln ( ) ( )          dx Ax B k Ax B Ax B k C A (22) 2 2 2 2 2 arcsin ( 0) 2 2       x k x k x dx k x C k k (23) 2 2 2 2 2 2 2ln 2 2        x k x k dx x k x x k C (24) 2 2 2ln 2 2        x k k x dx k x x k x C
Tài liệu liên quan