Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba §0. Một số mặt bậc hai thường gặp I. Mặt Ellipsoid: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c   1. Phương trình: 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta đều nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ là các đường Ellipse. 3. Cách vẽ hình Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse 2 2 2 2 1 x y a b   trên mặt phẳng z = 0 trên mặt phẳng x = 0 Vẽ đường ellipse 2 2 2 2 1 y z b c   Vẽ mặt ellipsoid 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    §0. Một số mặt bậc hai thường gặp x2+y2=1,z=0 x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh ellipsoid(a,b,c) §0. Một số mặt bậc hai thường gặp II. Mặt Paraboloid Elliptic: 1. Phương trình : 2 2 2 2 x y z a b 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường Ellipse. Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z trên mặt phẳng x = 0 3. Vẽ hình Vẽ đường ellipse x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1 Vẽ mặt parabolid z = x2+y2 §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0 z=y2, x=0 z=x2, y=0 x2+y2=1,z=1 §0. Một số mặt bậc hai thường gặp III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa): 1. Phương trình : 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c ta được đường còn lại là 1 đường Hyperbol. Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt S là Paraboloid Hyperbolic 2 2 2 2 x y z a b §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ parabol trên mp y=0 2 2 x z a Vẽ parabol trên mp x=0 2 2 y z b §0. Một số mặt bậc hai thường gặp IV. Mặt Hyperbolic Elliptic: 1. Phương trình : 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Hyperbol 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c Khi cho z=0: có 2 trường hợp TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì khi mới có giao tuyến là ellipse | |z c §0. Một số mặt bậc hai thường gặp VP là 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0 VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0 Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Hyperbol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Hyperboloid Elliptic §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c Mặt hyperboloid 1 tầng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c Mặt hyperboloid 2 tầng §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP V. Mặt Trụ bậc 2: Định nghĩa mặt trụ bậc 2: Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song song với 1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong bậc 2 cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ. Ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến đó, còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0 Mặt trụ tạo bởi các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên Ví dụ: Mặt x2+y2 = 1 Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 Ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh cylinder §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ : Mặt z=x2 Phương trình không chứa y nên nó biểu diễn mặt trụ song song với trục Oy, Vẽ parabol z=x2 trong mặt phẳng y=0 Vẽ mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, tựa lên đường chuẩn là parabol z=x2 ở trên đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP IV. Mặt nón bậc 2 : Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua 1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Ví dụ: Mặt nón x2+y2=z2 Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, cắt ngang bởi mặt z=c và z=-c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ giao tuyến x2+y2=1, z=1 Và giao tuyến x2=z2, y=0 Vẽ mặt nón x2+y2=z2, lấy phần z > 0 §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau z = x2+y2-2x Giải: Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến của mặt đã cho với 3 mặt tọa độ x = 0 : z = y2 là phương trình parabol y = 0 : z = x2-2x là phương trình parabol z = 0 : 0 = x2+y2-2x là pt đường tròn (ellipse) Suy ra mặt đã cho là mặt Paraboloid Elliptic NHẬN DẠNG §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP VẼ HÌNH: Vẽ 2 giao tuyến với 2 mặt z = 0, y = 0 0 0.5 1 1.5 2-1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1 T ru c O z Truc Ox Truc Oy x=0:.1:2; z=0*x; y=sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z) hold on y=-sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z) Ta được giao tuyến với z=0 §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP 0 1 2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 hold on y=-2:.2:2; x=1+0*y; z=-1+y.^2; plot3(x,y,z) §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 >> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20)); >> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2) §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau x2+y2+z2-2z=0 Giải: Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến của mặt đã cho với 3 mặt tọa độ NHẬN DẠNG x = 0 : y2+z2-2z=0 là pt đường tròn (ellipse) y = 0 : x2+z2-2z=0 là pt đường tròn (ellipse) z = 0 : 0 = x2+y2là pt đường tròn (ellipse) Suy ra mặt đã cho là mặt Ellipsoid §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP -1 -0.5 0 0.5 1 -1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 >> theta=linspace(0,pi,20); >> phi=linspace(0,2*pi,20); >> [t p]=meshgrid(theta,phi); >> mesh(sin(t).*cos(p),sin(t).*sin(p),1+cos(t)) §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau y2-z2+2y=0 Giải: Pt không chứa x nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Ox NHẬN DẠNG Trong mp x = 0 : y2 - z2 + 2y = 0 là pt đường hyperbol tức là đường chuẩn là đường hyperbol. Suy ra mặt đã cho là mặt Trụ Hyperbol -1 0 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 >> [x y1] =meshgrid(linspace(- 1,1,20),linspace(-4,- 2,20)); >> z1=sqrt(y1.^2+2*y1); >> mesh(x,y1,z1) >> hold on >> mesh(x,y1,-z1) §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Tương tự, ta vẽ nửa còn lại ứng với 0<y2<2 §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau: 1. y2-z2+2x2=0 2.x2+2x+2z2-3y=0 3.xy=z2 1. 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt nón ellipse 2. 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic 3. Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt u2-v2=z2 u2=v2+z2 là pt của mặt nón §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Bài toán đặt ra: Cho trong không gian 3 chiều một hình trụ cong giới hạn trên bởi mặt cong S có phương trình z = f(x,y)≥0, D Sau đây, ta sẽ vẽ hình khi D là hình chữ nhật giới hạn xung quanh bởi mặt trụ với đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của miền D trong mặt phẳng Oxy, giới hạn dưới là mp z=0. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Chia miền D thành n phần tùy ý Dij bởi các đường thẳng song song với 2 trục Ox, Oy. Tại mỗi miền Dij lấy 1 điểm M(xi,yj) tùy ý Dij yj xi M(xi,yj) §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Dij Thể tích các hình hộp nhỏ với đáy dưới là Dij, trên là phần mặt z=f(x,y) sẽ được tính xấp xỉ với hình hộp chữ nhật đáy là Dij, chiều cao là f(xi,yj). §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Cho số các phần chia tăng lên, tổng thể tích các hình hộp nhỏ tính được so với thể tích hình trụ cong cần tính càng chính xác Tổng thể tích của tất cả các hình hộp nhỏ tính được là xấp xỉ với thể tích hình trụ cong cần tính §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta cho , nếu tổng có giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là thể tích hình trụ cong cần tính n Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1, D2, D3, (các phần không có phần chung) tương ứng có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý. Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y)) 1 ( , ) n n k k k k S f x y S    Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mk Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D) Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S mà không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là ( , ) D f x y ds §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính max( ( )) 0 1 ( , ) lim ( , ) k n k k k d D kD f x y ds f x y S     Tức là Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên ΔSij = Δxi. Δyj và ds được thay bởi dxdy. Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính ( , ) ( , ) D D f x y ds f x y dxdy  Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Khi ấy, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D Điều kiện khả tích : Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0. Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn. Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D 1. (S(D) là diện tích miền D) ( ) D S D dxdy [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy    2. Tính chất §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính ( ) ( , ) ( ) D mS D f x y dxdy MS D  6. Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m thì ( , ) ( , ) D D Cf x y dxdy C f x y dxdy 3. 4. Chia D thành 2 miền không dẫm lên nhau là E, F thì ( , ) ( , ) ( , ) D E F f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy    ( , ) ( , ) D D f x y dxdy g x y dxdy  5. Nếu f(x,y)≤g(x,y) trên D thì: Định lý: (Về giá trị trung bình ) Ý nghĩa hình học của tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có ( , ) D V f x y dxdy  Đại lượng được gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D 1 ( , ) ( ) D f x y dxdy S D    Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D. Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : 0 0( , ) ( , ) ( ) D f x y dxdy f x y S D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi 4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau : a)Chia D thành 4 phần bằng nhau; b)Chia D thành 16 phần bằng nhau; c)Chia D thành 64 phần bằng nhau; d)Chia D thành 256 phần bằng nhau; e)Tính thể tích vật thể §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)   V f f f f §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính i 4 n i D i=1 V V = f(M )×S  D3 D1 D2 D4 1 1 2 2 13 7 10 4 34.     1, 1,...,4. iD S i   Chọn các điểm Mi là điểm góc trên bên phải mỗi hình vuông nhỏ §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính b. Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính c. Chia thành 64 phần, V≈44,875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d. Chia thành 256 phần, V≈46,46875 Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính a b 1 2( ) ( )y x y xy     a bx  1) Giả sử D xác định bởi: 2 1 y (x) y (x) b aD I= f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy   y=y1(x) y=y2(x) 1 2( ) ( )x y x yx     §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d c 2) Giả sử D xác định bởi: c dy  x=x1(y) x=x2(y) 2 1 x (y) D d x y)c ( f(x,y)dxdy= dy f(x,y)dx   I   2 2 2 0 2 0 = dx 16-x -2y dy   2 2V= 16-x -2y dxdy D 32 2 2 00 = (16-x ) -2 dx 3 y y        Giải câu e) Tính thể tích của vật thể. 2 2 0 2x   0 2y  2 2 0 16 = 32-2x - dx 3        =48 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta đi tích phân này bằng 2 cách Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục Ox ta được đoạn [1,4] Đi theo trục Oy từ dưới lên 42 1 ( 4) 3 4 1 ( ) 2 x x y x dx      1 ( 4) 1 4 3 4 - x yx x       4 4 11 ( 4) 3 x x I dx xydy       §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) D I xydxdy  A(1,-1) C(4,0) B(1,3) y=1/3(x-4) y=4-x 4 2 1 4 ( 4) 7 9 x x dx   3 4 40 3 1 1 0 1 y y I dy xydx dy xydx          Cách 2 : Chiếu miền D xuống trục Oy ta được đoạn [-1,3] A(1,-1) B(1,3) C(4,0) -1 3 Đi theo trục Ox từ trái sang thì không giống như trên, ta sẽ gặp 2 đường BC và AC. Do đó, ta sẽ chia miền D thành 2 phần D1 và D2 D1 D2 x=3y+4 x=-y+4 x=1 0 32 2 3 4 1 1 1 0 4( ) ( ) 2 2 y yy dy y dy x x       §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính    D I x y dxdy 22    x xy 2 1   x   221 2     x x dx x y dy 2 2 21 2 2 (2 ) ((2 ) ) 2            x x x x x dx với D là miền giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân kép ( )  D I x y dxdy 2; 2y x y x   §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 21 2 2 2           x x y yx dx §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà không cần vẽ hình như sau: Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D: y = x = 2-x2 x = -2, x = 1 x2+x-2 = 0 Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức: x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x2 Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x2. Vậy ta cũng viết được cận tích phân:   221 2      x x I dx x y dy , ( 1) 2 4 2 2 , ( 2) 4 4 2 4 , ( 3) 4 4 4 2 , ( 4) 4 2 2 2 x y D x y D x y D x y D                                             D1 D2 D3 D4 Miền D được chia thành 4 phần §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2 cos( ) D I x y dxdy  4  2            4 2 1 2 2 cos( )I dx x y dy          2 2 4 2 sin( )x dxy Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. 2 2 4 4 2 2 4 4 cos( ) cos( )I dx x y dy dx x y dy                          4 1 2 (cos ( cos ))I x x dx Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 2 D I y x dxdy      1 2 2 2 D D y x dxdy x y dxdy         2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 x x dx y x dy dx x y dy          11 15 I  D1 D2 D2 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 1 2 2 2 D D I y x dxdy y x dxdy     2 1 0 0 xy yI dy e dx   Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy Ví dụ: Tính tích phân x y D I e dxdy  Với D là miền giới hạn bởi 2, 0, 1x y x y   1 1     2 1 1 0 00 ( )y y y x ye dy ye y dy Chiếu miền D vừa vẽ xuống trục Ox §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau 2 2 0 2 ( , ) y y I dy f x y dx     2 Ta vẽ miền lấy tích phân 0 2y    D: 2 2y x y D1 D2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 -2 2 0 2 2 2 2 0 0 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy         cos sin x r y r      Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa độ Descartes. Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực M(x,y) φ r ( ),g Ox OM r OM      Đặt : 2 2 arctan r x y y x Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt : Thì ta được pt r = 1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 1. x2 + y2 = 2ax ↔ r2 = 2arcos φ 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 2. 2 2 2 2 1 x y a b   x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ 3 cos r↔ ↔ r = 2acosφ Công thức đổi biến sang tọa độ cực ( , ) ( , ) ( , ) ( cos , sin ) D x y D r f x y dxdy J f r r drd      Trong đó Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực ( , ) D(r, ) r r x xD x y J y y         = r §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. ( 2 ) D I x y dxdy Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : 2 2 2 , 0( 0)x y x y y    Ta được φ đi từ 0 đến π/2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào gặp sau thì pt đường đó là cận trên. §1: Tích phân kép – Đổi biến san