Bài giảng giải tích (toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế)

1 BỘ MÔN TOÁN HỌC CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH (Toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế) 2 MÔN HỌC: TOÁN I - II (Giải tích) - Số tín chỉ : 4 (3.1.0) - Số tiết : 60 tiết ; LT: 45 tiết ; BT: 15 tiết . - Chương trình đào tạo ngành: Dành cho các ngành kinh tế - Đánh giá: Điểm quá trình : 40% Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ - hình thức thi: viết, 90 phút) - Tài liệu chính thức: + James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University . + Toán cao cấp (Nguyễn Đình Trí chủ biên) tập 2, tập 3. + Toán cao cấp phần giải tích dành cho các nhóm ngành kinh tế của các trường kinh tế. LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT (Syllabus) Buổi Nội dung lý thuyết (2 tiết / 1 buổi) 1 + Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của Bộ môn về môn học. + Hàm số: các hàm cơ bản và cách thiết lập hàm mới từ các hàm đã biết. + Một số hàm trong kinh tế. 2 + Giới hạn của dãy số. + Giới hạn của hàm số. + Các dạng vô định. 3 + Vô cùng bé- Vô cùng lớn. + Khử các dạng vô định bằng VCL – VCB. + Tính liên tục của hàm số. 4 + Đạo hàm và ý nghĩa trong kinh tế. + Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản. + Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định. 5 + Vi phân của hàm số và ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân. + Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao. + Một số định lý về hàm khả vi. 6 + Khai triên Taylor và ứng dụng. + Ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. + Ứng dụng trong kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, quyết định tối ưu. 7 + Hàm hai biến và ví dụ. + Giới hạn của hàm hai biến. + Tính liên tục. 8 + Đạo hàm riêng. + Vi phân toàn phần. + Đạo hàm riêng của hàm hợp. 3 9 + Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn. + Vi phân toàn phần cấp cao. + Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế. 10 + Cực trị tự do và ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng trong kinh tế. 11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc. + Cực trị trên miền đóng và bị chặn. + Một số ví dụ trong kinh tế. 12 + Hàm cầu Marshall và hàm cầu Hick. + Kiểm tra giữa kỳ tại lớp lý thuyết. 13 + Khái niệm nguyên hàm (Tích phân bất định). + Các định lý. + Cách tìm nguyên hàm của một số lớp hàm. 14 + Khái niệm tích phân xác định. + Một số định lý cơ bản về tích phân xác định. + Cách tính. 15 + Tích phân suy rộng với cận vô hạn. + Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. + Một số ví dụ về ứng dụng tích phân trong kinh tế. 16 Tích phân hai lớp: + Khái niệm. + Tính chất. + Các cách tính. 17 + Các khái niệm mở đầu về phương trình vi phân. + Một số dạng phương trình vi phân cấp I: Phân ly biến số; thuần nhất; tuyến tính; Bernoulli. 18 + Phương trình vi phân cấp 2 có thể hạ cấp + Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng. 19 Chuỗi số: + Định nghĩa và một số tính chất. + Một số chuỗi thường gặp. + Một số tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương. 20 + Chuỗi đan dấu. + Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ. 21 + Chuỗi lũy thừa. + Đạo hàm và tích phân chuỗi lũy thừa. + Chuỗi taylor và Maclaurin. 22 Ôn tập và giải đáp thắc mắc 4 LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus) Buổi Nội dung bài tập (2 tiết / 1 buổi) 1 Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số 2 Đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng 3 Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn. 4 Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng 5 Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick. Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng. 6 Tích phân hai lớp và phương trình vi phân 7 Chuỗi số, chuỗi hàm CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC Môn học: TOÁN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế) Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút) Câu 1 (2 điểm) Giới hạn, hàm số và đạo hàm + Tính giới hạn. + Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược. + Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế. Câu 2 (2 điểm) Hàm nhiều biến + Tính đạo hàm riêng hàm 2 biến. + Cực trị hàm 2 biến và ứng dụng trong kinh tế. Câu 3 (2 điểm) Tính tích phân + Tích phân 1 lớp. + Tích phân 2 lớp. Câu 4 (2 điểm) Phương trình vi phân + Giải phương trình vi phân cấp 1. + Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, hệ số hằng số với vế phải đặc biệt. Câu 5 (2 điểm) Chuỗi + Tìm tổng của chuỗi; khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. + Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa. + Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa. 5 $1. HÀM MỘT BIẾN Đối tượng chính của giải tích toán học là hàm số. Chương này đề cập đến những khái niệm cơ bản nhất về hàm số một biến, cần nhấn mạnh là có bốn cách biểu thị một hàm số: Bằng phương trình, bằng bảng, bằng đồ thị và bằng lời. Ngoài ra, có nhắc lại một số hàm đã học ở chương trình phổ thông và cách xây dựng hàm mới từ các hàm đã cho, đặc biệt lưu ý về các hàm ngược. Cuối cùng là khái niệm về mô hình toán và một số mối quan hệ hàm trong phân tích kinh tế. Các mục chính: 1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến 1.2. Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết 1.3. Mô hình toán học 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN 1. Định nghĩa hàm một biến Khái niệm hàm số xuất hiện khi có một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác. Ta xét các tình huống sau đây: A. Diện tích S của một đường tròn thì phụ thuộc vào bán kính r của nó, quy tắc kết nối giữa r với S được cho bởi phương trình
 . Mỗi số dương r được ấn định với một giá trị duy nhất của S, ta nói S là hàm của r. B. Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t. Chẳng hạn 1980 4 450 000 000. Nhưng chắc chắn rằng với mỗi t cho trước thì chỉ có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng. Ta nói P là hàm của t. C. Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng w của bưu phẩm. Mặc dù không có một công thức đơn giản xác lập mối quan hệ của C theo w nhưng bưu điện vẫn có một quy tắc để xác định được duy nhất một giá trị của C khi đã biết w. Như thế, C là hàm của w. D. Gia tốc chuyển động thẳng đứng a của bề mặt trái đất được đo bởi máy ghi địa chấn trong một trận động đất là một hàm của thời gian t. Hình 1 là đồ thị được tạo ra bởi máy đo địa chấn trong suốt trận động đất tại Los Angeles vào năm 1994. Hình 1 Với mỗi giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm được duy nhất một giá trị a tương ứng. Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc, mà theo đó cứ mỗi giá trị được cho trước (r, t, w hoặc t) ta xác định được duy nhất một số tương ứng (S, P, C hoặc a). Trong mỗi trường hợp đó ta nói số sau là hàm của số trước. Tổng quát ta có định nghĩa. 6 Định nghĩa hàm một biến số Cho D là một tập con khác  của tập số thực . Một hàm f là một quy tắc ấn định mỗi số cho trước thuộc tập D với duy nhất một số, ký hiệu là f(x), trong tập E. • D được gọi là tập xác định của f. • Số f(x) được gọi là giá trị của f tại x, đọc là “ f tại x ”. • Tập gồm các giá trị của f tại x,với x chạy khắp tập xác định, được gọi là tập giá trị của f. • Ký hiệu được dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập xác định của f được gọi là biến độc lập, ký hiệu dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập giá trị của f thì được gọi là biến phụ thuộc. Trong Ví dụ A, r là biến độc lập và S là biến phụ thuộc. Việc hình dung một hàm như một chiếc máy là việc rất có ích xem Hình 2. Hình 2 Mô hình chiếc máy cho hàm số Nếu x nằm trong tập xác định của hàm f , khi biến đầu vào x được đưa vào máy thì nó được chấp nhận và máy sẽ tạo ra, theo quy tắc của f, “sản phẩm” là biến đầu ra f(x). Như thế, ta có thể hình dung tập xác định là tập các biến đầu vào và tập giá trị là tập gồm các biến đầu ra. Một cách khác để hình dung về một hàm số là dùng biểu đồ mũi tên như Hình 3. Hình 3 Biểu đồ mũi tên cho hàm f. Mỗi mũi tên kết nối một số thuộc tập xác định với giá trị được ấn định cho nó theo quy tắc f. Như thế, f(x) là số được ấn định cho x, f(a) được ấn định cho a, và cứ thế. Phương pháp phổ biến nhất để hình dung một hàm số là xét đồ thị của nó. Nếu f là một hàm số với tập xác định là D, thì đồ thị của nó là tập gồm các cặp số có thứ tự ,    (Lưu ý, đây chính là cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị của f là tập gồm các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ với y = f(x) và x thuộc tập xác định của f. Đồ thị của hàm f cho ta một bức tranh tổng thể về đặc điểm của hàm số. Bởi vì tung độ y của điểm (x,y) trên đồ thị là số sao cho y = f(x) nên ta có thể thấy giá trị của hàm số là khoảng cách đại số từ điểm đó đến trục hoành (xem Hình 4). Hình chiếu của đồ thị trên trục hoành chính là tập xác định và hình chiếu của nó trên trục tung là tập giá trị (xem Hình 5). Hình 4 Hình 5 7 VÍ DỤ 1 Đồ thị của hàm f được cho ở Hình 6. Hình 6 (a) Tìm giá trị của f(1) và f(5). (b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f. Giải (a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm trên đồ thị của hàm số, nên giá trị của hàm tại 1 là f(1) = 3. Khi x = 5, điểm nằm trên đồ thị tương ứng nằm phía dưới trục hoành và cách trục hoành khoảng 0,7 đơn vị vì thế, ta ước đoán giá trị 5 0,7. (b) Hình chiếu của đồ thị hàm số trên trục hoành là [0, 7] và trục tung là [-2; 4] nên ta có Tập xác định là [0, 7] và tập giá trị là  | ! 2 #  # 4  $!2; 4&. VÍ DỤ 2 Cho hàm số   2 ! 5 ' 1 và ( ) 0, hãy tính *+,-.*+- theo a và h. Giải Trước tiên tính / ' ( bằng cách thay thế x trong công thức f(x) bởi a + h : / ' (  2/ ' 4/( ' 2( ! 5/ ! 5( ' 1 Thay vào biểu thức đã cho và đơn giản hóa, ta được / ' ( ! /(  2/ ' 4/( ' 2( ! 5/ ! 5( ' 1 ! 2/ ! 5/ ' 1(  4/ ' 2( ! 5 Biểu thức *+,-.*+- trong Ví dụ 2, chẳng hạn ta sẽ xét nó ở bài 2, nó biểu thị tỷ lệ thay đổi trung bình của hàm f giữa hai giá trị x = a và x = a + h. Đồ thị của một hàm số là một đường trong mặt phẳng tọa độ. Vấn đề được đặt ra là một đường có đặc điểm như thế nào thì là đồ thị của một hàm số. Để trả lời câu hỏi này, ta dùng tiêu chuẩn sau đây. TIÊU CHUẨN CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG Một đường trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng nào cắt đường đó tại hai điểm phân biệt. Quan sát Hình sau Đồ thị một hàm số Không là đồ thị hàm số Nếu mỗi đường thẳng đứng x = a cắt đường đã cho tại duy nhất một điểm (a; b) (Hình bến trái), thì xác định một hàm f theo quy tắc f(a) = b. Nhưng nếu tồn tại đường x = a cắt đồ thị tại quá hai điểm 8 phân biệt(Hình bên phải), chẳng hạn là tại (a, b) và (a, c), thì đường đó không là đồ thị hàm số bởi vì hàm số không thể ấn định hai giá trị khác nhau cho cung một số a. Biểu thị một hàm số Có bốn cách biểu thị: • Bằng lời (dùng ngôn ngữ để mô tả) • Bằng các con số(dùng bảng các giá trị) • Bằng đồ thị. • Bằng đại số(biểu thị bằng một công thức hiện) Nếu một hàm có thể biểu thị bằng nhiều cách thì ta sẽ dễ dàng hiểu biết về nó một cách sâu sắc, chẳng hạn như những hàm số ở phổ thông ta đều bắt đầu từ hàm cho bởi công thức rồi sau đó là xác định được đồ thị của nó. Tuy nhiên, có những hàm số thì biểu thị bằng cách này là tiện sử dụng hơn so với cách khác hoặc khó mà biểu thị bằng cách khác, chẳng hạn diện tích S =  có thể biểu thị bằng đồ thị (một nửa của parabol) nhưng ở dạng đồ thị thì không tiện dùng. Trong khi đó gia tốc chuyển động theo phương thẳng đứng của vỏ trái đất trong một trận động đất như Hình 1, thì khó có thể biểu thị bằng đại số. Trong ví dụ dưới đây, ta cho một hàm bằng cách dùng ngôn ngữ mô tả và yêu cầu biểu thị hàm đó bằng đại số. VÍ DỤ 3 Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên với thể tích là 10m3. Chiều dài của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm đáy là 10$ một m2; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ một m2. Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng một công thức. Giải Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, thì chiều dài của mặt đáy là 2w; và đặt h là chiều cao của container. Diện tích của mặt đáy là 200  20 nên giá nguyên liệu để làm mặt đáy là 1020 $. Hai mặt bên có diện tích là 20( và hai mặt bên còn lại có diện tích là 0( nên giá nguyên liệu để làm các mặt bên là 6$20( ' 220(&$. Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng là 2  1020 ' 6$20( ' 220(&  200 ' 360( Mặt khác, thể tích của nó là 10m3 nên ta có 020(  10, tức là (  89: Thay vào công thức tính C, ta được 2  200 ' 360 ; 89:?9 Vậy, giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau 2  200 ' 1800 , 0 @ 0. Một hàm số cho bởi công thức, nếu không nói gì thêm thì quy ước tập xác định của hàm số là tập các giá trị của biến độc lập làm cho công thức có nghĩa. Tuy nhiên: y = sinx với ! B #  # B, thì phải hiểu tập xác định là [ ! B ; B]. VÍ DỤ 4 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau. (a)   √ ' 2 (b) D  =E:.E. Giải (a) √ ' 2 có nghĩa khi  ' 2 F 0, nên tập xác định là [2; +∞). (b) =E:.E có nghĩa khi  ) 0 và  ) 2, nên tập xác định là !∞; 0 H 0; 1 H 1; '∞. Hàm xác định trên từng khoảng 9 Xét hàm cho bằng lời: C(w) là chi phí vận chuyển bưu phẩm có cân nặng là w. Ngành bưu điện đưa ra quy tắc tính như sau: 39 cents nếu cân nặng không quá 1ounce, mỗi ounce tiếp theo có chi phí vận chuyển là 24 cents và bưu phẩm chỉ được có cân nặng tối đa là 13 ounce. Hàm này được trình bày ở dạng bảng thì sử dụng thuận tiện hơn, bảng các giá trị như bên lề. Từ bảng giá trị, thì được dạng công thức của hàm như sau: 20  IJJ K JJL 0,39 nếu 0 O 0 # 10,63 nếu 1 O 0 # 20,87 nếu 2 O 0 # 31,11 nếu 3 O 0 # 41,35 nếu 4 O 0 # 5P3,27 QếR 12 O 0 # 13. S Đồ thị trong hình dưới đây: Đồ thị như hình bậc thang ta thấy tập xác định của hàm số là (0; 13] và trên mỗi khoảng xác định thì quy tắc tính giá trị của hàm số lại khác nhau. Một hàm như vậy được gọi là hàm xác định trên từng khoảng. Một cách tổng quát, hàm số được gọi là xác định trên từng khoảng nếu quy tắc xác định của hàm số trên mỗi khoảng xác định là khác nhau. Chẳng hạn các hàm sau là hàm xác định trên từng khoảng   T nếu  F 0! nếu  O 0S ;   T1 !  nếu  # 1 nếu  @ 1 S ;   U nếu 0 #  # 12 !  nếu 1 O  # 20 nếu  @ 2 S 2. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ • Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số chẵn. Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần  F 0 sau đó lấy thêm hình đối xứng qua trục tung ta được toàn bộ đồ thị. • Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = - f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số lẻ. Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần  F 0 sau đó lấy thêm hình thu được bằng cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ. Hàm chẵn Hàm lẻ 10 3. Dáng điệu của hàm số Đồ thị của hàm f trong hình dưới đây đi lên từ A đến B, đi xuống từ B đến C, và lại đi lên từ C đến D. Ta nói hàm f đồng biến trên khoảng [a; b] và nghịch biến trên khoảng [b; c] và lại đồng biến trên khoảng [c; d]. Lưu ý rằng với hai số bất kỳ =,  nằm giữa hai số a và b với =, O , thì = O. Ta sử dụng điều này để định nghĩa hàm số đồng biến. Một hàm số f được gọi là đồng biến trên khoảng I (ở đây được hiểu là một trong các dạng: [a; b] (a; b) [a; b) (a; b]) khi: = O  với = O  ở trong I. Một hàm số f được gọi là nghịch biến trên khoảng I khi: = @  với = O  ở trong I. Lưu ý rằng bất đẳng thức = O  phải xảy ra với mọi cặp số =,  ở trong I với = O . 4. Một vài hàm số đã học i) Hàm tuyến tính là hàm có dạng y = mx + b trong đó m và b là các số đã cho; m là hệ số góc và b là tung độ gốc. Hàm này có nét đặc biệt là: Nếu m = 0 thì giá trị của nó không thay đổi khi x thay đổi và gọi là hàm hằng. Nếu V ) 0 thì giá trị của nó thay đổi một mức cố định khi x thay đổi một mức cố định, chẳng hạn hàm   3 ! 2 có hệ số góc là 3 nên mỗi khi x tăng 0,1 đơn vị thì giá trị của hàm tăng 0,3 đơn vị. Dưới đây là đồ thị hàm số và bảng giá trị hàm số tại một vài điểm. ii) Hàm đa thức Hàm P được gọi là một đa thức nếu nó được cho bởi công thức có dạng   /WW ' /W.=W.= ' X ' / ' /= ' /? trong đó n là số nguyên dương và /?, /=, … , /W là các hằng số và ta gọi là các hệ số của đa thức. Tập xác định của một đa thức bất kỳ là   !∞; '∞. Nếu /W ) 0 thì ta nói P là đa thức bậc n. Chẳng hạn, ta đã học đa thức bậc 1:   V ' Z đây chính một hàm tuyến tính; đa thức bậc hai:   / ' Z ' [ là một tam thức bậc hai; đa thức bậc ba; đa thức bậc bốn trùng phương. Đa thức   !2\ '  ! 1 là đa thức bậc sáu. Nói chung các đa thức được sử dụng nhiều trong ứng dụng toán học, đặc biệt trong việc tính gần đúng và lập mô hình toán. iii) Hàm lũy thừa là hàm cho có dạng   + trong đó a là một hằng số. Hàm này đã được trình bày ở chương trình phổ thông trung học. Trường hợp đặc biệt là a số nguyên dương thì ta được hàm đa thức. 11 Đồ thị của hàm nói trên trong một số trường hợp riêng: iv) Hàm phân thức là thương của hai đa thức:   ]E^E. Tập xác định là tập các giá trị của x làm cho _ ) 0. Ta đã học về phân thức: bậc 1 / bậc 1 và bậc 2/bậc 1. v) Hàm lượng giác:   sin  ,   cos  ,   tan  ,   cot . Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.   sin  ,   cos  là hai hàm có tập xác định là  và tập giá trị là [-1; 1]. [   tan  Hàm   tan  có tập xác định là   | ) B ' d} và tập giá trị là   !∞; '∞. vi) Hàm mũ là hàm có dạng   /E , trong đó a là một số dương khác 1 và gọi là cơ số. Đồ thị của hai hàm   2E và   0,5E được vẽ ở hình dưới đây, cả hai hàm đều có tập xác định là   !∞; '∞, tập giá trị là 0; '∞. 12 vii) Hàm logarit là hàm có dạng   logf , trong đó a là số dương khác 1. Đồ thị của một số hàm logarit cụ thể được vẽ trong hình dưới đây. Mỗi hàm đều là hàm có tập xác định là 0; '∞ và tập giá trị là !∞; '∞. Hàm logarit là hàm ngược của hàm số mũ (xem ở mục sau). Các hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit thuộc tập hợp các hàm siêu việt, tập hợp các hàm siêu việt còn có hàm xác định bởi tổng của một chuỗi và các hàm khác mà ta chưa biết tên. 1.2 Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết 1. Phép biến đổi các hàm Mục này ta sẽ xây dựng các hàm mới từ các hàm đã học được liệt kê ở Mục I bằng cách tịnh tiến đồ thị. Tịnh tiến theo phương thẳng đứng và phương ngang Giả sử c là số dương, thì đồ thị hàm y = f(x) + c thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm y = f(x) lên trên c đơn vị (bởi vì hoành độ giữ nguyên còn tung độ thì tăng lên c đơn vị). Tương tự, nếu g(x) = f(x – c), thì giá trị của g tại x bằng giá trị của f tại x – c(c đơn vị về phía trái của x) do đó đồ thị của y = f(x - c) thu được bằng cách dịch chuyển đồ thị của y = f(x) về phía phải c đơn vị. Xem Hình vẽ 13 Tổng quát ta có. Cho c > 0. Ta nhận được đồ thị của hàm    ' [, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm    lên trên [ đơn vị    ! [, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm    xuống dưới [ đơn vị    ' [, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm    sang trái [ đơn vị    ! [, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm    sang phải [ đơn vị 2. Phép toán giữa các hàm số Hai hàm số f và g có thể được tổ hợp lại để được các hàm mới f + g, f – g. fg và f/g theo kiểu tương tự như là ta cộng, trừ, nhân, chia hai con số. Trước tiên, ta đưa ra khái niệm hai hàm số bằng nhau: Hai hàm f , g được gọi là bằng nhau nếu thỏa mãn cả hai điều kiện là có tập xác định bằng nhau và f(x) = g(x) với mỗi x thuộc tập xác định. Các hàm số nào sau đây bằng nhau:   E,E.=E.= , D   ' 2, (  T ' 2 QếR  ) 10 QếR   1 S , d  T ' 2 QếR  ) 13 QếR   1 S Cho hai hàm , D. Tổng, hiệu hai hàm được xác định tương ứng như sau  ' D   ' D  ! D   ! D Nếu tập xác định của  là A và của D là B, thì tập xác định của  ' D và  ! D đều là g h i bởi vì cả  và D đều có nghĩa. Một cách tương tự, tích và thương của các hàm được định nghĩa như sau: D