Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace: biến đổi Laplace ngược

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng------------------------------------------------------------------------------------- Hàm phức và biến đổi Laplace Chương 2: Biến đổi Laplace ngược Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Biến đổi Laplace ngược. 0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace ngược. 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xét phương trình vi phân cấp hai Áp dụng biến đổi Laplace phương trình trên ta được sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace xuôi Vậy nghiệm của phương trình vi phân là 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược----------------------------------------------------------------- Giải Sử dụng tính chất dời theo s, ta có Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược----------------------------------------------------------------- Giải Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Tìm Laplace ngược của hàm còn lại. 3. Dời hàm theo t vừa tìm được về phía phải a đơn vị, sau đó ngắt bỏ phía trái nếu a>0. 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau: 1. Tìm đạo hàm cấp n (tùy theo từng bài toán n =1 hoặc 2, …) 2. Tìm Laplace ngược của đạo hàm ở bước 1. 3. Chia kết quả cho (-1)n.tn 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau: 2. Tìm Laplace ngược của tích phân ở bước 1. 3. Nhân kết quả cho t. 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Nhân cho Sn Nếu F(0) = 0, thì Đặt G(s) = sF(s), ta có Thường gặp 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Để tìm Laplace ngược của hàm F(s), ta làm như sau: 2. Tìm Laplace ngược của hàm ở bước 1. 3. Đạo hàm kết quả ở bước 2. 1. Bỏ thừa số s ở tử của F(s) ( tức là chia F(s) cho s) Qui tắc 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải Bỏ thừa số s ở tử của F(s), sau đó tìm Laplace ngược, ta được 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải Bỏ thừa số e-2s và s ở tử của F(s), tìm Laplace ngược, ta được áp dụng tính chất 3, dời theo t ta có kết quả. 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Chia cho Sn Thường gặp 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Để tìm Laplace ngược của hàm F(s), ta làm như sau: 2. Tìm Laplace ngược của hàm ở bước 1. 3. Tích phân kết quả ở bước 2 từ 0 đến t. 1. Bỏ thừa số s ở mẫu của F(s) ( tức là nhân F(s) với s) Qui tắc 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải Bỏ thừa số s ở mẫu của F(s), sau đó tìm Laplace ngược, ta được 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Tích chập Chú ý: Tích thường 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải có thể giải bằng cách tính bình thường 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10. Khai triển Heaviside a) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực đơn. trong đó ak, k = 1, 2, …, n là các nghiệm thực đơn Chứng minh 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Giải 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực bội. Chứng minh trong đó 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c) Trường hợp Q(x) có cặp nghiệm phức liên hợp. Khi đó số hạng của L-1 tương ứng với thừa số (s + a)2 + b2 là Chứng minh 0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Khi đó số hạng của L-1 tương ứng với thừa số (s + 1)2 + 22 là Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập -------------------------------------------------------------