Bài giảng Hệ thống CAD kỹ thuật

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG CAD KỸ THUẬT 2.1. Một số khái niệm và định nghĩa CAD được định nghĩa là “ Sử dụng hệ thống máy tính cùng với phần mềm thích hợp để trợ giúp việc thiết lập, sửa đổi, phân tích hoặc tối ưu hoá một đồ án thiết kế". CAD (Computer aided drawing /design): Thiết kế (vẽ) với sự trợ giúp của máy tính. Lịch sử phát triển: Sự phát triển của CAD gắn liền với sự ra đời của máy tính vào năm 1950. Lúc đầu CAD chỉ có một chức năng tính toán, về sau nó mới thực hiện đồ hoạ. Trước đó việc chọn phương án thiết kế chỉ hoàn toàn dựa vào kinh nghiệm chủ quan của người thiết kế, khối lượng tính toán lớn nên không tính hết được các phương án khác nhau khi thực hiện bằng tay. Khi thiết kế thực hiện trên CAD là một thiết kế tổng thể cả hệ thống kĩ thuật, việc thiết kế dựa trên nguyên tắc phân chia bài toán thành nhiều lớp bài toán nhỏ hơn sau đó kết quả phải qua một bước tổng hợp lại. Từ những năm 1980 Cad đã thực hiện hoàn chỉnh việc thiết kế kể cả việc tính toán lựa chọn phương án, lấy dữ liệu từ các cơ sở dữ liệu mô phỏng tĩnh và động của đối tượng, tối ưu hoá thiết kế… Hiện nay quá trình thiết kế được liên hệ trực tiếp với quá trình gia công (công nghệ CAD- CAM) hình thành một đường dây gia công tự động hoàn chỉnh khép kín có tính linh hoạt cao, đây là thành tựu cao nhất hiện nay. Vị trí của Cad trong dây chuyền sản xuất tích hợp được mô tả như sau: Hệ thống CAD nói tới ở đây bao gồm bản thân hệ thống và con người sử dụng hệ thống đó, để đạt được hiệu quả tối đa cần đáp ứng được một số yêu cầu sau đây với từng đối tượng nói tới ở trên. Yêu cầu của hệ thống CAD Yêu cầu với người sử dụng: Nắm được phương pháp mô tả quá trình thiết kế bằng công cụ toán học, cụ thể đó là các kiến thức về toán, cơ học, sức bền, nguyên lí chi tiết máy, đây là yêu cầu cực kì quan trọng vì nếu không bài toán thực tế không thể mô tả được trên máy tính, ở đây đối tượng thiết kế được mô tả thông qua mô hình toán học của nó để tiện khảo sát, mô phỏng, tối ưu… Phải biết xây dựng thuật toán thiết kế, biết sử dụng các phương pháp tính gần đúng, phương pháp lặp, phương pháp khai triển… Phải nắm được các nguyên lí hoạt động, cấu hình cơ bản của hệ thống máy tính, phải nắm được hệ thống các chương trình phần mềm ứng dụng trong lĩnh vực hoạt động của mình (dos, window, autocad…) đây là yêu cầu cơ bản không thể không có vì công cụ chính của người thiết kế là máy tính và các phần mềm trợ giúp. cần phải dễ hiểu và dễ sử dụng, do đối tượng sử dụng CAD là những nhà kĩ thuật không chuyên về lập trình cũng như các thủ thuật lập trình mà một loại ngôn ngữ bậc cao nào đó thường phải mất khá nhiều thời gian tìm hiểu mới mới có thể sử dụng thành thạo, yêu cầu này được đặt ra với cả phần cứng và phần mềm. Các hệ thống phần cứng phần mềm nói tới ở trên phải có tính vạn năng, có khả năng giải được nhiều loại bài toán khác nhau, hay phải hoàn chỉnh được các công đoạn khác nhau của một loại bài toán. Yêu cầu với hệ thống CAD Hệ thống phải được cập nhật với tiến bộ về công nghệ máy tính đảm bảo vận hành được trong khoảng thời gian nhất định không bị lạc hậu. Phải cạnh tranh được với quá trình thiết kế bằng tay cả về tốc độ thực hiện và chất lượng của bản thiết kế. Mô hình hoá bằng máy tính, và sử dụng các máy tính tương tự nghiên cứu các hệ thống cơ học, biến đổi các phần tử cơ học thành các phần tử điện tương đương. Tính toán tự động hoá và thiết kế tự động hoá chỉ ở mức độ tính toán thiết kế yêu cầu số liệu đầu vào, máy tính xử lí và cho số liệu đầu ra. Mức độ tự động hoá của qúa trình thiết kế: Thử bằng máy tính thử mô phỏng trên máy tính các yêu cầu làm việc, dùng máy tính thực hiện các yêu cầu về thử nghiệm độ bền và động lực học. Tự động hoá thiết kế kết cấu máy hoặc hệ thống, thiết kế theo kiểu hội thoại giữa người và máy tính, từng bước được người thiết kế đưa dữ liệu vào máy tính xử lí đưa ra số liệu làm đầu vào cho bước sau. Tối ưu hoá quá trình thiết kế: từ các thông số của bài toán chọn ra bộ thông số tối ưu. Tự động hoá qúa trình thiết kế, từng phần trong thiết kế tổng thể được tự động. Quá trình thiết kế tự động: trong đó người thiết kế không phải tham gia vào quá trình tính toán và hình thành số liệu, tự động hoá hoàn toàn. Đảm bảo về kĩ thuật như hệ thống máy móc thiết bị phần cứng , máy tính màn hình, chuột, máy in.. Đảm bảo về ngôn ngữ máy tính và ngôn ngữ tự nhiên. Đảm bảo này giúp cho con người và máy tính có thể giao diện được với nhau. Đảm bảo về các hàm toán học, phải có sẵn một số hàm toán học đã được định nghĩa sẵn trong đó. Các đảm bảo của hệ thống CAD: Đảm bảo về chương trình máy tính, phải có sẵn các chương trình máy tính đựơc lập sẵn để thực hiện các tính toán thiết kế. Đảm bảo về thông tin Đảm bảo về quản lí vận hành và bảo mật các phương thức thiết kế. Đối tượng thiết kế phải có khả năng mô hình hoá chuyển mô hình thực sang hệ thống mô hình toán học Có khả năng tổng hợp được thông số kết quả gắn liền với năng lực của hệ thống máy tính, xử lí dữ liệu của bài toán. Tìm kiếm xử lí thông tin đưa kết quả tính toán được ra điều khiển máy công tác. Các yêu cầu với đối tượng thiết kế: Đối tượng thiết kế phải tuân thủ các tiêu chuẩn của nghành hoặc của nhà nước Các bộ phận phần cứng dùng cho một hệ CAD rất đa dạng về kích thước, cấu hình và về mức độ hiện đại, tuỳ theo nhiệm vụ của từng đơn vị mà chọn hệ CAD cho phù hợp.Ta biết rằng nền tảng của một hệ CAD hiện đại là đồ hoạ máy tính tương tác (ICG) cho phép người thiết kế có ngay những ứng xử của hệ thống về dữ liệu đầu vào để có được những tác động thích hợp vì giữa người thiết kế và hệ thống có một mối liên lạc trực tiếp theo cách người sử dụng vào lệnh cho hệ thống và đáp ứng lại những câu hỏi mà hệ thống đưa ra. 2.2.1. Giới thiệu chung 2.2. Phần cứng của CAD Ngày nay các phần cứng trong công nghệ thông tin rất phong phú và đa dạng được sử dụng trong hệ CAD. 2.2.2. Cấu hình của một hệ thống CAD điển hình Một hoặc một số trạm thiết kế với một đầu cuối đồ hoạ và các thiết bị vào của người thiết kế. Một hoặc một số máy vẽ và các thiết bị ra khác. Một máy tính. Các bộ lưu trữ ngoài (bộ nhớ ngoài). 2.2.3. Cấu hình của một hệ thống CAD điển hình Chức năng của một trạm thiết kế đồ hoạ : Trạm thiết kế hay cũn gọi là trạm cụng tỏc của hệ CAD là một hệ thống giao diện với thế giới bên ngoài. Đây là một yếu tố quan trọng tạo nên tính hiệu quả và sự thuận tiện đối với người thiết kế khi làm việc với một hệ CAD. Bao gồm một trạm thiết kế của PC, thiết bi đầu cuối đồ họa (màn hình CRT), thiết bị vào(bàn phím, chuột). Giao diện với máy tính. Tạo ra các bản vẽ ổn định cho người thiết kế. Cung cấp các bản mô tả dưới dạng số của các bản vẽ trên. Chuyển các lệnh máy tính thành các chức năng vận hành. Tạo thuận lợi cho việc truyền thông giữa người thiết kế và hệ thống Giới thiệu mở đầu. Từ trước đến nay đã có nhiều cách tiếp cận kỹ thuật khác nhau được áp dụng để nghiên cứu cải tiến các thiết bị đầu cuối đồ hoạ, và trong tương lai công nghệ vẫn không ngừng phát triển vì các nhà sản xuất các hệ thống CAD luôn luôn cố gắng nâng cao chất lượng và hạ giá thành sản phẩm của họ. 2.2.4. Thiết bị đầu cuối đồ hoạ Tạo hình ảnh trong đồ hoạ máy tính. Cấu tạo và nguyên lý làm việc của CRT Cuộn đốt Catôt Lưới điều khiển Anốt Bộ phận hội tụ Bộ phận lái tia Quét dòng (hay quét mành) Quét véctơ Hiển thị màn hình Màn hình đồ hoạ trong CAD Màn hình quét véctơ Màn hình quét dòng Màn hình lưu ảnh trực tiếp Các loại màn hình đặc biệt khac Sơ đồ khối của video card điển hình. Một số bản mạch ghép nối đồ hoạ. Card màn hình đồ hoạ đen-trắng. Card màn hình đồ hoạ màu. Card màn hình đồ hoạ cú gắn vi xử lý riêng. Các bản mạch ghép nối đồ hoạ hiện đại. 2.2.5. Bản mạch ghép nối đồ hoạ Bảng trò chơi Cần điều khiển Cầu vạch Chuột Các phím di chuyển con trỏ trên bàn phím Các thiết bị điều khiển contrỏ 2.2.6. Các thiết bị nhập (INPUT) Máy quét (Scanner) Bàn phím Bảng và nút điện tử Màn hình đồ hoạ Bút quang Màn hình Máy vẽ Máy copy màn hình Các thiết bị vi phim Máy in 2.2.7. Các thiết bị xuất (OUPUT) Phần mền đồ hoạ Đây là một bộ chương trình được viết ra nhằm tạo điều kiện cho người sử dụng vận hành hệ thống đồ hoạ máy tính (hệ ICG). Bộ chương trình này thường được sản xuất trọn gói nên còn có tên gọi gói phần mềm đồ hoạ, bao gồm những chương trình để tạo ra hình ảnh trên màn hình CRT, để điều khiển các hình ảnh đó và để thực hiện các kiểu tương tác khác nhau giữa ICG. AutoCAD là ví dụ điển hình về một bộ chương trình như vậy. Còn hệ ICG là một hệ thống đồ hoạ tương tác, ngoài phần mềm còn có phần cứng. 2.3.1. Giới thiệu 2.3. Phần mền và cơ sở dữ liệu CAD Phần mền ứng dụng Bao gồm những phần mềm phân tch thiết kế (chẳng hạn như phân tích phần tử hữu hạn, mô phỏng động học cơ cấu...) và những phần mềm lập kế hoạch sản xuất - chế tạo (chẳng hạn như lập kế hoạch gia công tự động, lập trình vật làm điều khiển số...). Những phần mềm loaị thứ hai này sẽ được đề cập tới ở các chương sau, khi nghiên cứ về CAM. Phần mềm đồ hoạ dùng cho một hệ thống đồ hoạ máy tính cụ thể có tính đặc thù rất mạnh đối với phần cứng của hệ thống đó - có nghĩa là nó được viết ra chủ yếu là để chạy trên phần cứng đó của hệ thống. Vì thế, phần mềm phải được viết sao cho phù hợp với kiểu màn hinh CRT và kiểu thiết bị vào được dùng trong hệ thống. Những chi tiết của phần mềm để chạy trên CRT quét vectơ sẽ phải có những điểm khác so với khi viết cho CRT quột dũng vỡ cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hai loại màn hinh này khụng hoàn toàn giống nhau. Dẫu rằng những sự khác nhau như thế trong phần mềm nhiều khi người sử dụng không nhận ra, nhưng chúng lại rất quan trọng đối với người xây dựng một hệ thống đồ hoạ máy tính tương tác. Các nguyên tắc cơ bản cho việc thiết kế phần mềm đồ hoạ như sau : 1. Tính đơn giản : Phần mềm đồ hoạ phải dễ sử dụng. 2. Tính nhất quán : Goí phần mềm phải đem đến cho người sử dụng một phương pháp vận hành nhất quán và có thể dự đoán được các thao tác tiếp theo 3. Tính đồng bộ : Không bỏ sót một chức năng nào đáng kể trong bộ chức năng đồ hoạ của phần mềm. 4. Tính bền vững : Chịu đựng được những sai phạm nhỏ trong vận hành của ngườisử dụng. 5. Tính hiệu quả : Với những hạn chế của phần cứng, phần mềm cần khai thác đượcđến mức tối đa khả năng của nó. 6. Tính kinh tế : Phần mềm không quá lớn hoặc quá đắt tiền đến mức khách hàng không chấp nhận được. 2.3.2. Cấu hình của một phần mền đồ hoạ Chương trình ứng dụng Đây là môdun trung tâm của hệ đồ hoạ. Nó là cái mô tả mô hinh vật lý mà người sử dụng muốn thiết kế ra nên còn có tên là mô hình ứng dụng. Nó điều khiển sự lưu trữ dữ liệu vào cơ sở dữ liệu ứng dụng và gọi dữ liệu ra từ cơ sở dữ liệu ứng dụng. Nó được người sử dụng xây dựng nên thông qua gói phần mềm đồ hoạ. Chương trình ứng dụng được người sử dụng tạo ra để xây dựng mô hình của thực thể vật lý mà hình ảnh của nó sẽ thấy được trên màn hình đồ hoạ. Mỗi thực thể vật lý được mô tả bởi một chương trình ứng dụng và bao giờ cũng thuộc về những miền bài toán cụ thể. Những miền bài toán trong thiết kế kỹ thuật bao gồm kiến trúc, xây dựng, cơ khí, điện, công nghệp hoá chất... Những miền bài toán không thuộc về thiết kế thì có thể là các bộ trình mô phỏng bay, là hiển thị dữ liệu dưới dạng đồ hoạ, là phân tích toán học và thậm chí là mỹ nghệ. Trong mỗi trường hợp, chương trình ứng dụng được xây dựng nên để xử lý hình ảnh và các quy ước tương ứng với lĩnh vực đó. Đây là công cụ trợ giúp giữa người sử dụng và thiết bị đầu cuối đồ họa. Nó có nhiệm vụ quản lý sự tương tác đồ hoạ giữa người sự dụng và hệ thống. Đồng thời nó cũng hoạt đông với tư cách là giao diện giữa người sử dụng với chương trỡnh ứng dụng. Gúi phần mềm đồ họa bao gồm: Gói phần mền đồ hoạ Các chương trinh con (thường trinh) Output. Các chương trinh con (thường trinh) Input nhận lệnh và dữ liệu do người sử dụng đưa vào rồi tiếp tục đưa chúng tới chương trỡnh ứng dụng. Các chương trinh Output điều khiển màn hinh (hoặc thiết bị ra khỏc) và chuyển đổi các mô hinh ứng dụng thành những hinh ảnh hai chiều hoặc ba chiều. Đây là môdun thứ ba trong cấu hình của hệ phần mềm đồ hoạ, trong đó chứa những định nghĩa về toán học, về số và về logic của các mô hình ứng dụng như các mạch điện, các chi tiết máy, các bộ phận ôtô v.v.. Nó cũn chứa những thông tin dưới dạng ký tự như bảng liệt kê vật liệu, thuộc tinh hình học, khối lượng... Nội dung của cơ sở dữ liệu có thể sẵn sàng hiển thị lên màn hình CRT hoặc vẽ ra trên giấy. Cơ sở dữ liệu ứng dụng Bao gồm các mụ hình, chương trình ứng dụng, cỏc bản thiết kế, các bản vẽ, các bản lắp cùng các thông tin thuộc dạng ký tự như liệt kê vật liệu và các văn bản. Ngoài ra nó còn chứa nhiều thông tin của gói phần mềm đồ hoạ như các lệnh hệ thống, các Menu chức năng và các chương trình Ouput của máy vẽ. Cơ sở dữ liệu nằm trên RAM và tại bộ nhớ ngoài. Nội dung cơ sở dữ liệu 2.3.3. Cơ sở dữ liệu Nói chung một mô hình/chương trình ứng dụng được cấu trúc nên từ những thành phần sau đây: Tổ chức của cơ sở dữ liệu 1. Các yếu tố đồ hoạ như điểm, đoạn thẳng. 2. Hinh dạng hinh học của các bộ phận hợp thành của mô hinh và sự bố trí của chúng trong không gian. 3. Topology hay cấu trúc liên kết của mô hình. 4. Dữ liệu riêng của mô hình như các thuộc tính vật liệu. 5. Các chương trình phân tích kỹ thuật riêng của mô hình. Theo truyền thống, công tác thiết kế kỹ thuật được tiến hành trên bàn vẽ trong đó bản thiết kế được thiết lập dưới dạng các bản vẽ kỹ thuật. Tuỳ theo từng lĩnh vực mà bản thiết kế có những yêu cầu riêng, chẳng hạn bản vẽ thiết kế cơ khí, ngoài bản vẽ tổng thể, các bản vẽ chi tiết và các bản vẽ cụm, còn kèm theo bản vẽ dụng cụ cắt gọt và bản vẽ đồ gá để chế tạo ra sản phẩm. Quá trình thiết kế theo công nghệ truyền thống 2.4. Quá trình thiết kế Thiết kế điện gồm các sơ đồ mạch, đặc tính kỹ thuật của các linh kiện điện tử, v.v…Bản vẽ thiết kế của các lĩnh vực khác như Xây dựng, Hoá chất, Chế tạo máy bay, ôtô, Máy & Thiết kế thời trang…, ngoài đặc điểm chung cơ bản, cũng có những đặc thù riêng trong từng lĩnh vực chuyên môn, phương pháp tiếp cận truyền thống là tổng hợp một bản thiết kế sơ bộ theo cách thủ công rồi mới qua phân tích dưới một dạng nào đó. Các mhiệm vụ liên quan đến thiết kế mà một hệ CAD hiện đại thực hiện có thể chia ra làm bốn lĩnh vực sau: Quá trình thiết kế có sự hỗ trợ của máy tính Mô hình hình học. Phân tích kỹ thuật. Rà soát và đánh giá thiết kế. Vẽ tự động. Khái niệm về mô hình 2.5.1. Mô hình hình học 2.5. Các mô hình trong CAD Theo nghĩa chung nhất mô hình được hiểu là một thể hiện bằng thực thể hay bằng khái niệm một số thuộc tính và quan hệ đặc trưng của một đối tượng nào đó (gọi là nguyên hình) nhằm mục đích nhận thức sau: Làm đối tượng quan sát thay cho nguyên hình Làm đối tượng nghiên cứu (thực nghiệm hay suy diễn) về nguyên hình. Nhiệm vụ và yêu cầu của lý thuyết mô hình: Mô hình phải thoả mãn các điều kiện cho trước của bài toán về nguyên hình (tư cách đại diện hay tính hợp thức của mô hình). Các phép biến đổi kết quả từ mô hình thành kết quả tương ứng về nguyên hình Mô hình học trong CAD Trong CAD, mô hình hình học tương ứng với giai đoạn tổng hợp. Nó đòi hỏi mô tả hình dáng hình học của một đối tượng dưới dạng toán học theo cách máy tính có thể xử lý được. Mô hình toán học cho phép hình ảnh của đối tượng có thể hiển thị và thao tác trên màn hình máy tính thông qua tín hiệu lấy từ CPU của hệ CAD. Phần mềm đồ họa phải được thiết kế sao cho thuận tiện và có hiệu quả với máy tính và với cả người sử dụng. Trong lĩnh vực mô hình hình học, người thiết kế xây dựng những hình ảnh của đối tượng trên màn hình máy tính bằng cách đưa vào ba loại lệnh: Loại lệnh thứ nhất tạo nên những yếu tố hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, vòng tròn … Loại lệnh thứ hai thực hiện các phép biến đổi như thu phóng, quay, dịch chuyển… Loại lệnh thứ ba làm cho các yếu tố hình học liên kết lại thanh một hình dạng mong muốn. Trong quá trình mô hình hình học này, máy tính chuyển đổi các lệnh thanh những mô hình toán học tương ứng rồi lưu trữ mô hình toán đó vào các tệp dữ liệu của máy tính và hiển thị nó thành một hình ảnh trên màn hình CRT. Mô hình toán nói trên cuối cùng có thể gọi ra từ các tệp dữ liệu để xem xét lại, phân tích hoặc sửa đổi. Hơn nữa khi CAD và CAM được giao diện thì mô hình hình học được sử dụng như là đầu vào để tạo ra các chương trình NC để chế tạo các chi tiết trên các máy công cụ điều khiển số hay là để tạo ra các bản vẽ, quy trình công nghệ định rõ những bước cần thiết để sản xuất sản phẩm. . Để biểu diễn đối tượng thành mô hình hình học trong các hệ CAD/CAM có mấy phương pháp khác nhau sau đây: A. Mô hình đường cong Công nghệ tạo hình các bề mặt và đường cong phức hợp là một trong những nhiệm vụ quan trọng của các hệ thống tự động hoá thiết kế (CAD). Trong mục này chúng ta trình bày các giải pháp chủ yếu để tạo dựng các loại đường cong thường gặp trong thực tế. Có hai nội dung cơ bản trong phần này, thứ nhất ta xem xét các đường cong được tạo dựng sẵn dưới dạng các mô đun chương trình như đường trơn, ellip, hoặc tổ hợp của chúng với nhau... Các loại đường cong không được xây dựng dưới dạng các mô đun chương trình như đường thân khai, đường parabol, hypebol, đường acsimet... Cũng trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng một đường cong bậc năm, đi qua các điểm cho trước sao cho trơn đều...song phải đáp ứng được yêu cầu là lấy được các thông số như toạ độ của bản thân đường cong đó ra để điều khiển máy công cụ gia công ra nó. (các đường cong xây dựng dưới dạng các mô đun chương trình cơ bản trong autoCad như sketch, spline, polyline, ... không làm được điều này). 1. Phân loại các đường cong: Đường cong được xem như một tập hợp điểm thoả mãn một hay một số điều kiện ràng buộc nào đó, để biểu diễn đường cong có thể sử dụng một số dạng phương trình toán học như: Phương trình ẩn là phương trình có dạng: f(x, y) = 0 Phương trình tường minh là phương trình có dạng: y = f(x) Phương trình tham số là phương trình có dạng: x = x(t); y = y(t); z = z(t). 2. Đường cong đa thức tham số chuẩn tắc: Đặc tính của phương trình này là dễ xác định và cho phép tạo đường cong trơn láng qua bốn điểm chỉ với đường bậc ba (tối thiểu là bậc ba). Đường cong khi biểu diễn dưới dạng đa thức tham số chuẩn tắc dễ dàng xử lí và cũng đủ độ linh hoạt để biểu diễn hầu hết các loại đường cong thường gặp. Đường cong đa thức chuẩn tắc có dạng như sau: r(u) = a + bu + cu2 + du3 với 0  u  1. Nếu cho trước toạ độ của 4 điểm bất kì thuộc đường cong lần lượt là: P0(x0, y0); P1(x1, y1); P2(x2, y2); P3(x3, y3) Việc còn lại là để xác định đường cong ta cần phải xác định các hệ số a, b, c, d, trong phương trình tổng quát của đa thức chuẩn tắc. hãy xem mô hình hình học minh hoạ như dưới đây: Gọi di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1 ta có : di = l Pi+1 - Pi l với i = 1, 2, 3... Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định: Vì đường cong đi qua bốn điểm P1, P2, P3, P4 nên toạ độ của bốn điểm này phải thoả mãn dạng đường cong tổng quát, thay các toạ độ x0, x1, x2, x3 vào phương trinh tổng quát ứng với các ui xác định như ở trên, các giá trị u0 và u3 đó rõ ràng còn u1 và u2 được tính theo chiều dài cát tuyến như sau: Như vậy các giá trị ui được biểu diễn hoàn toàn qua các giá trị xi là các đại lượng đó biết, các phương trình thành lập được chỉ còn có các hệ số a, b, c, d, là ẩn số, kết hợp tất cả các phương trình lại ta có hệ 4 phương trình 4 ẩn giải được các hệ số, từ đó mô hình toán học của đường cong hoàn toàn xác định. Nếu là đường cong phẳng đến đây ta mới xây dựng xong một nửa mô hinh, nếu đường cong nằm trong mặt phẳng xOy thì còn phải xây dựng phương trình nội suy theo trục Oy nữa mới đủ, nếu đường cong nằm trong không gian thì phải xây dựng phương trình toán theo cả ba trục của hệ trục toạ độ. Tuy nhiên cách thức tiến hành không có gì khác so với những gì vừa trình bày ở trên nên không nhắc lại. Ví dụ: Hãy xây dựng phương trình đường cong đa thức tham số chuẩn tắc đi qua bốn điểm có toạ độ cho trước như sau: P0(1, 0); P1(3, 3); P2(7, -2); P3(10, 2) Kết quả: x(u) = 1 + 8.87991u + 0.0962u2 + 0.02389u3 với 0  u  1 y(u) = -168.6097u + 416.1707u2 – 245.561u3 với 0  u  1 Đường cong tham số chuẩn tắc như trình bày ở trên mà thoả mãn thêm một số điều kiện biên (tạ