Bài giảng Hình học cấu trúc tinh thể

Cơ sở hóahọc tinh thể NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 41 – 68. Từ khoá: Cấu trúc tinh thể, tinh thể, hệ điểm quy tắc, phân tích cấu trúc tinh thể. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 3 HÌNH HỌC CẤU TRÚC TINH THỂ ...............................................3 3.1 ĐỐI XỨNG CỦA CẤU TRÚC TINH THỂ................................................. 3 3.1.1 Yếu tố đối xứng trong mạng tinh thể .......................................................3 3.1.2 Nhóm đối xứng không gian .....................................................................7 3.2 HỆ ĐIỂM QUY TẮC (TƯƠNG ĐƯƠNG).................................................. 8 3.2.1 Định nghĩa ..............................................................................................8 3.2.2 Số bội của hệ điểm quy tắc......................................................................9 3.3 ĐẶC ĐIỂM DẠNG QUEN PHỤ THUỘC THÀNH PHẦN VÀ CẤU TRÚC TINH THỂ .................................................................................................. 9 3.3.1 Định luật Groth .....................................................................................10 3.3.2 Các loại dạng quen................................................................................10 3.3.3 Tác dụng của tạp chất đối với dạng quen ...............................................11 3.3.4 Dạng quen phụ thuộc thông số chuỗi.....................................................12 3.3.5 Dạng quen phụ thuộc mật độ hạt của mặt mạng.....................................12 Chương 3. Hình học cấu trúc tinh thể Trịnh Hân Ngụy Tuyết Nhung 3.3.6 Dạng quen và vectơ kết chuỗi................................................................15 3.4 CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH CẤU TRÚC TINH THỂ BẰNG TIA X ............................................................................................................... 16 3.4.1 Định luật phản xạ Bragg-Vulf ...............................................................16 3.4.2 Mặt mạng và cường độ của tia giao thoa ...............................................19 3.4.3 Các phương pháp thu ảnh nhiễu xạ ........................................................19 3.4.4 Sơ bộ về các bước phân tích cấu trúc tinh thể ........................................23 3 Chương 3 HÌNH HỌC CẤU TRÚC TINH THỂ Những nội dung về 32 nhóm điểm và về 47 hình đơn là những vấn đề thuần tuý hình thái, thuộc về tinh thể học vĩ mô. Sau khi xuất hiện phương tiện phân tích cấu trúc tinh thể (chẳng hạn, tia X và năng lực nhiễu xạ của nó trong mạng tinh thể, đầu thế kỉ XX), khả năng đi sâu vào cấu trúc bên trong tinh thể, vào tinh thể học vi mô mới được rộng mở. 3.1 ĐỐI XỨNG CỦA CẤU TRÚC TINH THỂ Nội dung cơ bản sẽ xem xét dưới đây là 230 nhóm đối xứng không gian. Trong khuôn khổ của chương này, nhóm điểm (tổ hợp yếu tố đối xứng của hình hữu hạn) là chỗ xuất phát để suy đoán nhóm không gian, tập hợp yếu tố đối xứng của hình vô hạn. 3.1.1 Yếu tố đối xứng trong mạng tinh thể Những yếu tố đối xứng của đa diện tinh thể, cũng có mặt hết thảy trong cấu trúc tinh thể. Đó là: – Trục xoay các bậc hai, ba, bốn, sáu; – Mặt gương; – Trong số các trục nghịch đảo, ngoài tâm đối xứng và trục bậc bốn nghịch đảo, mạng tinh thể cũng có các trục nghịch đảo bậc ba và bậc sáu (chúng có mặt ở đây không phải dưới dạng tập hợp kiểu Bravais L3C và L3P). Nhưng đặc trưng của mạng, ngoài mười bốn loại mạng Bravais (hay phép tịnh tiến), các yếu tố đối xứng phức là trục và mặt đối xứng, mà ngoài phép xoay và phép phản chiếu còn chứa thêm phép trượt. Đó là: – Trục xoắn; – Mặt ảnh trượt. Mười bốn loại mạng Bravais Mạng không gian được mô tả như hệ thống trật tự các nút điểm. Trong hệ thống ấy, 8 nút bất kì kề nhau cho một khối bình hành cơ sở. Cho nên, mạng không gian có thể xem như hệ thống các khối bình hành cơ sở xếp song song và kề nhau. Một mạng không gian đơn giản (nguyên thuỷ), số khối bình hành cơ sở bằng nhau ấy bằng số nút của mạng. Mạng không gian có 14 loại xác định. Mỗi loại có một ô mạng cơ sở; nó tiêu biểu cho tinh thể về mặt đối xứng và tuân theo những quy phạm quốc tế vế phép định trục. Cần nhắc lại rằng mỗi loại mạng có thể thay thế bằng chùm các vectơ (bước) tịnh tiến chung gốc tại đỉnh. Ô nguyên thuỷ P hay R với 8 nút tại đỉnh thì thay bằng 3 vectơ tịnh tiến trùng với các cạnh của ô cơ sở. Ngoài ô nguyên thuỷ với nút tại đỉnh tức là 3 bước tịnh tiến trùng các cạnh, phải kể thêm: – Ô mạng tâm khối I có thêm nút tại tâm ô, tức là bước tịnh tiến thứ tư xyzT JJJJG dọc chéo khối và với độ lớn bằng một nửa chéo. – Ô mạng tâm đáy C (hay A/B trong hệ trực thoi) có thêm nút tại tâm hai đáy, tức là bước tinh tiến thứ tư xyT JJJG (hay yzT JJJG / xzT JJJG ) theo hướng chéo đáy và với độ lớn bằng một nửa chéo. – Ô mạng tâm mặt F có thêm các nút tại tâm các mặt, tức là 3 bước tịnh tiến dọc đường chéo các đáy xyT JJJG , yzT JJJG và xzT JJJG với độ lớn bằng một nửa chéo. Vậy, mỗi loại mạng là một nhóm bước tịnh tiến: mạng nguyên thuỷ P là 3 bước, mạng tâm khối I 4 bước, mạng tâm đáy C 4 bước, mạng tâm mặt F 6 bước. Thật ra, chỉ cần 3 bước tịnh tiến là đủ để đặc trưng cho mỗi loại mạng [13]. Trục xoắn Trong số các trục phức đã biết có trục nghịch đảo (gồm phép xoay và phép nghịch đảo) và trục gương (gồm phép xoay và phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc). Trục xoắn (hình 3.1) cũng là trục phức: nó bao gồm phép xoay bằng 360° : n và bước trượt. Mạng không gian có thể có trục xoắn bậc hai, bậc ba, bậc bốn và bậc sáu. Chúng phân biệt không những bằng góc quay cơ sở, mà còn bằng độ lớn của bước trượt. Ví dụ: Trục xoắn bậc hai 21 có góc quay cơ sở 180° và bước trượt tG bằng 1/2 của bước tịnh tiến T JG tương ứng (bước tịnh tiến của mạng dọc theo trục). Trục xoắn bậc ba 31 có góc quay cơ sở bằng 120° và bước trượt zt JJG bằng 1/3 của zT JJG . Trong mạng có những trục xoắn sau đây: T 4 T 4 5 21 31 32 41 42 43 61 62 63 64 65. Trong đó, một số ghép với nhau thành những cặp trục phải-trái: 31 − 32, 41− 43, 62 − 64 và 61− 65. Dưới tác dụng của các trục xoắn, nút mạng phân bố thành các chuỗi song song với trục, các chuỗi lại so le làm thành đường xoắn xung quanh trục (hình 3.1). Mặt ảnh trượt (mặt trượt) Mặt ảnh trượt (hình 3.2) bao gồm phép phản chiếu qua gương và bước trượt song song với mặt. Nút mạng phản chiếu qua mặt và đồng thời dịch chuyển theo bước trượt. Tuỳ hướng và độ lớn của bước trượt, mặt ảnh trượt chia ra như sau: Mặt a có bước trượt xt JJG dọc theo chiều OX với độ lớn xT JJG : 2. Mặt b có bước trượt yt JJG dọc theo chiều OY với độ lớn yT JJG : 2. Mặt c có bước trượt zt JJG dọc theo chiều OZ với độ lớn zT JJG : 2. Mặt n và d có bước trượt xzt JJJG , yzt JJJG và xyt JJJG dọc theo đường chéo, độ lớn lần lượt bằng 1 : 2 và 1 : 4 độ lớn của bước tịnh tiến tương ứng, tức là bằng: yz xyxz T TT 2 2 2 và yz xyxz T TT 4 4 4 [13] Tương tác của yếu tố đối xứng Trước khi nói sự suy đoán nhóm không gian hãy nói đến sự tương tác của các yếu tố đối xứng. Những quy tắc đã đề cập trong mục 2.1.2 đã áp dụng cho hình hữu hạn vẫn giữ nguyên hiệu lực trong mạng. Lần này có sự tham gia của phép tịnh tiến (bao gồm bước tịnh tiến và bước trượt) [13,14]. Tương tác giữa phép tịnh tiến và yếu tố đối xứng Trong trường hợp tổng quát, phép tịnh tiến thứ tư (dọc đường chéo khối của mạng tâm khối, bước tịnh tiến dọc đường chéo mặt của mạng tâm đáy hay tâm mặt) có thể tác dụng xiên góc lên yếu tố đối xứng dọc các trục toạ độ. Hết thảy, chúng đều có độ lớn bằng một nửa đường chéo các loại. Nó sẽ phân tích thành 2 hay 3 thành phần t G song song với các trục toạ độ và có độ lớn bằng độ lớn của bước trượt phổ biến, tức là bằng TX : 2, TY : 2, TZ : 2 và song song hoặc vuông góc so với yếu tố đối xứng. – Thành phần song song //t JJG hay hình chiếu của phép tịnh tiến xiên trên yếu tố đối xứng sẽ trở thành bước trượt của trục xoay, biến nó thành trục xoắn và ngược lại, có thể triệt tiêu bước trượt của trục xoắn, khiến nó trở thành trục xoay hay trục xoắn khác. Mặt gương thành mặt ảnh trượt và ngược lại, hoặc mặt ảnh trượt có thể đổi tên cũng nhờ nó. Chẳng hạn, vectơ //t JJG với độ lớn t// = X 1 T 2 biến mXZ/mXY (mặt gương thẳng đứng vuông góc OY hay nằm ngang) thành aXZ/aXY, biến aXZ/aXY thành mXZ/mXY, biến bXY thành nXY, biến nXZ thành cXZ, biến cXZ thành nXZ, v.v… – Thành phần vuông góc t⊥ JJG hay là hình chiếu của phép tịnh tiến xiên trên pháp tuyến của yếu tố đối xứng sẽ làm xuất hiện yếu tố đối xứng cùng tên và song song, trong đó: + Mặt gương cùng tên (hay tâm nghịch đảo) cách mặt (tâm) cũ một khoảng bằng 1 2 t⊥ về phía tịnh tiến. + Trục xoay và trục xoắn bậc n nằm cách trục cũ một khoảng bằng 1 2 t⊥sin 2 α , dọc theo hướng tạo với t⊥ JJG một góc bằng 90° − 2 α , trong đó α là góc quay cơ sở của trục. Trên hình 3.3,a trục xoay bậc bốn chịu tác dụng của t⊥ JJG = T JG thì sinh thêm trục mới cùng tên tại cự li sin 45 2 Τ ° theo hướng (90° − 45° =) 45° so với hướng của vectơ TJG . Trục xoay bậc bốn mới sinh sẽ nằm tại tâm điểm của hình vuông với cạnh T. Tương tự, dưới tác dụng của bước tịnh tiến vuông góc T JG , trục xoay bậc ba (hình 3.3,b) sẽ có thêm trục mới cùng tên trên hướng làm thành với T JG một góc bằng (90° − 60° =) 30°, cách trục cũ một khoảng bằng T 3 : 3; trục mới sinh sẽ nằm ở tâm điểm của tam giác với cạnh T. Bằng cách đó, t⊥ JJG làm cho trục bậc hai tái hiện ở phía tịnh tiến giống như cách của mặt gương hay tâm nghịch đảo. + Trục xoay bậc cao và nghịch đảo có thể là tập hợp yếu tố đối xứng đơn; ví dụ, trục xoay bậc sáu = trục xoay bậc ba + trục xoay bậc hai, trục nghịch đảo bậc ba = trục xoay bậc ba + phép nghịch đảo, trục nghịch đảo bậc sáu = trục xoay bậc ba + mặt gương vuông góc, v.v…) thì mỗi yếu tố đối xứng đơn chịu tác dụng của bước trượt theo những quy tắc riêng của nó. Chẳng hạn, chịu tác dụng của t⊥ JJG = T JG trục xoay bậc sáu sẽ sinh ra những trục mới, cùng tên với các trục vốn là thành phần của nó. Trục xoay bậc hai nằm phía T JG và cách trục sáu một đoạn bằng một nửa độ dài của tịnh tiến. Trục xoay bậc ba sẽ nằm tại tâm của tam giác đều với cạnh T, như trên đã nói. 7 Hình 3.3 Tương tác của phép xoay quanh trục bậc n (a- trục bậc bốn; b- trục bậc ba) với véctơ tịnh tiến → T vuông góc, sinh ra trục mới cùng bậc tại tâm của đa giác (vuông hay tam giác) với cạnh T Trong trường hợp trục nghịch đảo bậc bốn thì nó vốn bao gồm hai thao tác đối xứng: phép xoay 90° và phép nghịch đảo qua điểm đặc biệt; ngoài ra, nó còn chứa phép xoay 180°, tức là trục xoay bậc hai. Dưới tác dụng của vectơ vuông góc t⊥ JJG các trục xoay thành phần đều xuất hiện theo cách riêng, như trên đã nói. Điểm đặc biệt (có tác dụng như tâm nghịch đảo, nhưng không cứ là yếu tố đối xứng độc lập) không tách khỏi trục nghịch đảo bậc bốn. Vậy, vectơ vuông góc không có tác dụng đẩy điểm đặc biệt ra khỏi trục đối xứng của nó; nhưng nếu vectơ song song có thể biến trục xoay bậc hai thành trục xoắn, thì nó cũng dịch chuyển điểm đặc biệt đi một đoạn bằng một nửa độ dài của nó. Các mặt đối xứng cắt nhau thì trên giao tuyến sẽ sinh ra trục đối xứng (quy tắc một, xem 2.1.2). Trục mới sinh này có thể là trục xoắn; tuỳ số bước trượt song song (với giao tuyến) tổng hợp từ các mặt ảnh trượt giao nhau. Nếu tổng của chúng bằng độ dài T của bước tịnh tiến tương ứng, chúng triệt tiêu nhau, trục mới sinh sẽ là trục xoay. Tổng ấy bằng T/2 chẳng hạn, trục ấy sẽ là 21/42 hay 63. Riêng mặt ảnh trượt d với bước trượt bằng ẳ chéo mặt (mặt ảnh trượt n có bước trượt bằng 1/2 độ dài của chéo), thì nó có đặc điểm riêng: – Mặt d chỉ có hướng trượt dọc theo một trong 2 chéo mặt. – Mặt d chỉ có mặt trong loại mạng tâm mặt F; như vậy, chúng không tồn tại đơn độc trong mạng và phải đi kèm các mặt vuông góc cùng tên. – Trục bậc hai giao tuyến sẽ xen kẽ nhau và thuộc hai loại tuỳ chiều của bước trượt từ các mặt cắt nhau: là trục xoay nếu các bước trượt khác chiều và là trục xoắn nếu chúng cùng chiều [14]. 3.1.2 Nhóm đối xứng không gian Như đã chỉ trên, tất cả mọi tổ hợp có thể có của các yếu tố đối xứng của hình hữu hạn (đa diện tinh thể) đã cho kết quả dưới dạng 32 nhóm điểm (dạng đối xứng hay lớp đối xứng). Tương tự, sự kết hợp của các yếu tố đối xứng trong mạng sẽ làm nảy sinh 230 nhóm (đối xứng) không gian. Hình 3.4 giới thiệu hai nhóm thuộc hệ tinh thể một nghiêng. Như đó chỉ trờn, tất cả mọi tổ hợp cú thể cú của cỏc yếu tố đối xứng của hỡnh hữu hạn (đa diện tinh thể) đó cho kết quả dưới dạng 32 nhúm điểm (dạng đối xứng hay lớp đối xứng). Tương tự, sự kết hợp của cỏc yếu tố đối xứng trong mạng sẽ làm nảy sinh 230 nhúm (đối xứng) khụng gian. Hỡnh 3.4 giới thiệu hai nhúm thuộc hệ tinh thể một nghiờng. 3.2 HỆ ĐIỂM QUY TẮC (TƯƠNG ĐƯƠNG) 3.2.1 Định nghĩa Một điểm bất kì, ví dụ khuyên tròn trên hình 3.4, được lặp lại vô số lần dưới tác dụng của các phép đối xứng thuộc nhóm không gian dẫn đến một hệ điểm quy tắc. Mỗi nhóm đối xứng không gian có một số nhất định các hệ điểm quy tắc. Điểm của hệ xác định vị trí của một loại hạt vật chất (nguyên tử hay ion thuộc một nguyên tố hoá học) trong không gian của cấu trúc. Xác định cấu trúc tinh thể của một chất suy cho cùng là định vị cho hạt vật chất, tức là tìm toạ độ xyz cho điểm này. Hệ điểm quy tắc hay tương đương một nhóm không gian là tập hợp điểm liên quan với nhau bằng các thao tác đối xứng của nhóm. Mỗi hệ điểm hình thành nhờ các thao tác đối xứng tác động lên điểm đặt trước tại một vị trí. Vị trí ứng với hệ điểm này có đối xứng riêng và số bội riêng (xem dưới đây), tùy việc nó nằm ở đâu so với yếu tố đối xứng. Hệ điểm quy tắc gọi là đặc biệt, vì điểm đặt tại tâm nghịch đảo (hay tại điểm đặc biệt của trục nghịch đảo), mặt gương và các trục xoay. Khi điểm cho trước nằm tại các vị trí khác, kể cả vị trí trên trục xoắn, hay mặt trượt sẽ cho hệ điểm quy tắc tổng quát. Ứng với điểm này vị trí có đối xứng riêng thấp nhất. Mỗi nhóm không gian có số lượng hữu hạn các vị trí khác nhau về đối xứng. (Đương nhiên, có thể có vô số vị trí có chung một đối xứng). Hạt vật chất có đối xứng riêng không thể nằm tại vị trí với đối xứng bất kì. Nhóm chức 23CO − chẳng hạn, các nguyên tử phân bố trên tam giác đều: oxy tại đỉnh, carbon tại tâm. Với đối xứng 3m (vắng tâm nghịch đảo), nó không thể nằm tại tâm nghịch đảo của nhóm không gian. Nó có thể vuông góc với trục xoay bậc ba hoặc với mặt gương, v.v... Mẫu hình, phân tử hoặc ion phức với đối xứng riêng có thể nằm tại vị trí đặc biệt nào đó, bởi vì về cấp độ đối xứng nó không thấp hơn so với vị trí này. Vậy, riêng đơn vị cấu trúc với đối xứng cao nhất (của hạt cầu chẳng hạn) có thể thích hợp với vị trí bất kì. 9 Đối xứng vị trí còn có đặc số khác của nó: số bậc tự do. Vị trí (bất biến) của tâm nghịch đảo chẳng hạn có số bậc tự do bằng không. Bất kì sự thay đổi nào của toạ độ cũng làm biến đổi hệ điểm quy tắc. Hệ điểm quy tắc với một bậc tự do (đơn biến) ứng với vị trí trên một hướng đặc biệt, ví dụ: trục xoay. Dịch chuyển dọc theo hướng ấy không làm tăng số điểm của hệ. Điểm nằm trên mặt gương là thuộc hệ điểm tương đương với số bậc tự do bằng hai. Vị trí tổng quát có số bậc tự do lớn nhất bằng ba tương ứng tọa độ với dạng xyz của nó. 3.2.2 Số bội của hệ điểm quy tắc Theo định nghĩa, các điểm của hệ phải phân bố đều khắp không gian và có số lượng lớn vô hạn. Mặc dù vậy, vẫn có thể định lượng cho nó bằng số bội. Đặc số này quy định số điểm của hệ tính cho một ô mạng cơ sở. Hệ điểm tổng quát có số bội lớn nhất; điểm của nó chịu tác dụng của nhiều yếu tố đối xứng nhất. Nó là sản phẩm của tất cả các thao tác đối xứng của nhóm không gian. Vỡ vậy, số bội của hệ điểm quy tắc tổng quát là đại lượng đối xứng của nhóm không gian, đặc số này đã áp dụng ở trên đối với nhóm điểm. Hệ điểm đặc biệt luôn có số bội nhỏ hơn số bội của hệ điểm tổng quát. Nó nhỏ hơn bao nhiêu lần là tuỳ thuộc đại lượng đối xứng của vị trí điểm đặc biệt. Ví dụ, hệ điểm với đại lượng đối xứng của vị trí bằng 2 (vị trí trên mặt gương hoặc trên trục xoay bậc hai chẳng hạn) sẽ có số bội bằng một nửa số bội của hệ điểm tổng quát. Vị trí với đại lượng đối xứng bằng 4 (trục xoay bậc bốn, 2/m hay mm2, chẳng hạn) là thuộc hệ điểm với số bội nhỏ hơn 4 lần so với hệ tổng quát. Để làm rõ hơn khái niệm hệ điểm quy tắc, hãy quay lại với hình 3.4. Nhóm không gian Cm (với số thứ tự 8 của bảng 230 nhóm không gian, phụ lục 1) gồm 2 hệ điểm quy tắc sau đây: – Hệ (a) có số bội 2 và toạ độ của điểm ban đầu xOz, trên hình là khuyên tròn. – Hệ (b) có số bội 4 và toạ độ của điểm ban đầu xyz, trên hình là chữ thập. Giả dụ, một hợp chất dạng A2X có nhóm không gian đã xác định là Cm. Đối chiếu tỉ số hàm lượng nguyên tử A và X với các số bội, có thể gán giả định nguyên tử A vào hệ điểm (b) và X vào hệ (a). 3.3 ĐẶC ĐIỂM DẠNG QUEN PHỤ THUỘC THÀNH PHẦN VÀ CẤU TRÚC TINH THỂ Tuỳ điều kiện nhiệt độ và áp suất thành tạo, tinh thể của một khoáng vật thường có cấu trúc nội tại với trật tự ổn định và đặc trưng. Chính bản chất ấy là nguyên nhân của nhiều thuộc tính của tinh thể khoáng vật, trong đó có hình thái đa diện của chúng. Hình thái đều đặn nói lên năng lực của tinh thể là tự giới hạn bằng các mặt phẳng. Các mặt này lại giao nhau cho cạnh và đỉnh. Như đã biết, đa diện tinh thể là hình ghép của một (trong 47) hay nhiều hình đơn. Tuỳ mức độ đối xứng, mỗi đa diện tinh thể được liệt vào một trong các lớp/hệ/hạng tinh thể. Ví dụ tinh thể của khoáng vật pyrit FeS2 (xem hình 1.6,b và 4.3.2) thường có dạng khối lập phương (với ba hệ khía trực giao) hoặc mười hai mặt ngũ giác, hoặc hình ghép của hai hình đơn trên, hoặc hình ghép của hình mười hai mặt ngũ giác với hình tám mặt (bát diện đều). Lớp tinh thể mười hai mặt kép m3, hệ lập phương. Nội dung sẽ nói đến dưới đây là dạng quen trong mối liên quan với hóa học tinh thể của vật kết tinh. Dạng quen hoặc dạng thường gặp của khoáng vật hay của chất rắn nói chung hình thành trong khoảng nhiệt độ, áp suất và một trường hóa học nhất định. Đa diện tinh thể của dạng quen đặc trưng bằng tổ hợp những hình đơn xuất hiện nhiều nhất, tức là với tần suất gặp lớn nhất (xem thêm 3.3.5). Những hình đơn khác không gặp thường xuyên trên bề mặt của đa diện sẽ cho những mặt giả định. 3.3.1 Định luật Groth Căn cứ số liệu thống kê về đối xứng hình thái của khoảng 20 000 cá thể kết tinh, trong đó có hơn 2000 khoáng vật, từ đầu thế kỉ XX, Groth P. và nhiều người khác về sau đã cho thấy: Chất kết tinh với thành phần hoá học càng đơn giản sẽ có đối xứng hình thái càng cao và, ngược lại, thành phần của nó càng phức tạp, đối xứng của nó càng thấp. Thật vậy, đơn chất kim loại và các hợp chất với thành phần hóa học đơn giản như oxit, sulfur, halogenur thường kết tinh theo đối xứng của hệ lập phương và hệ sáu phương. Silicat thường có thành phần phức tạp, tinh thể của chúng phần lớn thuộc các hệ một nghiêng, trực thoi và ba nghiêng. Trong các hợp chất hữu cơ không thể có nhiều tinh thể với đối xứng cao, bởi vì chúng thường có thành phần hoá học rất phức tạp. Bảng 3.1 khẳng định điều vừa nói bằng số liệu thống kê về sự phân bố của tinh thể tự nhiên và nhân tạo theo các hệ khác nhau. Bảng 3. Số lượng tinh thể thống kê theo các hệ và hạng Hệ tinh thể Thống kê theo hệ Thống kê theo hạng Lập phương 516 (7,63%) Hạng cao và hạng trung Sáu phương 493 (7,28%) 1336 (19,74%) Bốn phương 327 (4,83%) Trực thoi 1922 (28,40%) Hạng thấp Một nghiêng 2844 (42,03%) 5431 (80,26%) Ba nghiêng 665 (9,83%) Σ 6767 (100,00%) 6767 (100,00%)