Bài giảng học phần Hình học cao cấp

MỤC LỤC NỘI DUNG Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 BÀI TẬP CHƯƠNG I 2 Bài tập chương I 2 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I 4 BÀI TẬP CHƯƠNG II 7 Bài tập chương II 7 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II 15 BÀI TẬP CHƯƠNG III 34 Bài tập chương III 34 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương III 40 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 48 Bài tập chương IV 48 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương IV 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 LỜI NÓI ĐẦU Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004). Cuốn giáo trình gồm 5 chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải. Học phần Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 tiết bài tập). Khối lượng lí thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn. Hiện tại cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm. Vì vậy việc phần bài tập không có hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả giảng viên nhất là các giảng viên trẻ. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài tập hình học cao cấp với việc bổ sung thêm một số bài tập và phần hướng dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, dễ của bài tập. Hy vọng cuốn đề cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ. Chắc chắn cuốn đề cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên cùng đóng góp ý kiến để cuốn đề cương bài giảng ngày càng hoàn thiện hơn. Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn! TÁC GIẢBÀI TẬP CHƯƠNG I A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích: - Giúp sinh viên có cái nhìn về lịch sử phát triển hình học. Vai trò của tiên đề V của Ơ-clit đối với sự phát triển của hình học. Hiểu được phương pháp tiên đề để xây dựng hình học, mô hình của một hệ tiên đề, vai trò của toán học cao cấp trong việc nghiên cứu hình học. Sinh viên hiểu được việc xây dựng hình học cũng như một số lí thuyết Toán học đã biết bằng phương pháp tiên đề. - Sinh viên biết vận dụng lí thuyết để đưa ra một số mô hình đơn giản. - Sinh viên thảo luận để tự đưa ra một số hệ tiên đề đơn giản và tìm cho các hệ tiên đề đó những mô hình cụ thể. B. Mô tả nội dung: Bài tập chương I bao gồm 3 vấn đề sau: - Sơ lược lịch sử hình học. - Phương pháp tiên đề - Một số hệ tiên đề của hình học Ơ-clit ba chiều. C. Nội dung cụ thể: I. Bài tập Bài 1. Xét hệ tiên đề H sau: + Khái niệm cơ bản: “điểm” và “đi trước”. + Tiên đề: 1) Không điểm nào đi trước chính nó 2) Nếu điểm A đi trước điểm B, điểm B đi trước điểm C thì A đi trước điểm C. Nêu ra một vài mô hình của H. Bài 2. Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong phần lí thuyết. Tìm một mô hình của hệ tiên đề H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước. Bài 3. Hệ tiên đề K gồm: + Khái niệm cơ bản: điểm, đường, quan hệ thuộc. + Các tiên đề: Có ít nhất một điểm. Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường. Mỗi đường có ba điểm phân biệt. Mỗi điểm nằm trên ba đường phân biệt. a. Chứng minh các định lí: Hai đường phân biệt có không quá một điểm chung. Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường. b. Xây dựng mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín điểm, chín đường. Bài 4. Hệ tiên đề P gồm: + Khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng. + Các tiên đề: Bất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thẳng. Bất kì hai đường thẳng phân biệt nào đều chỉ thuộc một và chỉ một điểm. Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không thuộc cùng một đường thẳng. Hãy xây dựng các mô hình của P. Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn. Hãy chứng tỏ rằng tiên đề 3) là độc lập. Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ. Bài 5. Tìm một mô hình cụ thể của hình học Lôbasepxki phẳng. Bài 6. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau: Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và thẳng hàng. Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B, còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. Định lí Pasch (tức tiên đề Pasch trong hệ tiên đề của Hilbert). Bài 7. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau: Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằm trên (P). Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì nó còn cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA. Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa không gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng). Hãy phát biểu định lí và chứng minh. Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong không gian (chú ý rằng định nghĩa hai tam giác bằng nhau được mở rộng trong trường hợp hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, còn tiên đề 12 chỉ nói về hai tam giác cùng nằm trong mặt phẳng) Bài 8. Hãy dùng tiên đề 12 của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai đường song song) để chứng minh định lí sau: Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. Bài 9. Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam giác bằng 1800” trong sách giáo khoa phổ thông. Cách chứng minh đó phải dựa vào tiên đề về đường song song. Sau đây là cách chứng minh khác không dùng đến tiên đề đó: Chứng minh: ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S. Lấy tam giác bất kì ABC, ta có + + = S. Gọi D là điểm ở giữa của đoạn thẳng BC, ta có hai tam giác ABD và ACD. Từ giả thiết ta có: + + = S + + = S Suy ra: + + + + + = 2S Hay + + + 1800 = 2S, tức là S = 1800. Hãy bình luận về cách chứng minh đó. Bài 10. Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực). Hãy gọi mỗi vectơ của V là một “điểm”, và với bất kì hai điểm và của V ta cho tương ứng với vectơ của V. Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều. II. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I Bài 1. + Mô hình 1: “Điểm” là những điểm thông thường trên một đường thẳng nằm ngang và “đi trước” là “ở bên trái”. + Mô hình 2: “Điểm” là những “số nguyên” và “đi trước” là “lớn hơn”. Bài 2. Mô hình của hệ tiên đề H: + Vectơ: số nguyên bất kì, phép cộng là phép cộng hai số nguyên. Ta dễ dàng kiểm tra thỏa mãn các tiên đề của hệ tiên đề H. Bài 3. Chứng minh 1) Giả sử hai đường phân biệt có hai điểm chung phân biệt. Khi đó theo tiên đề 1) có không quá một đường (trái giả thiết hai đường là phân biệt). Chứng minh 2) Theo tiên đề 1) có ít nhất 1 điểm. Gọi điểm đó là A. Khi đó, theo tiên đề 4) A nằm trên ba đường phân biệt, giả sử đó là m, n, p. Mặt khác theo tiên đề 3) mỗi đường có ba điểm phân biệt. Giả sử một trong ba điểm đó đều là A, thì mỗi đường còn có hai điểm phân biệt khác A. Vậy có ít nhất là bảy điểm. Lập luận tương tự ta cũng chứng minh được có ít nhất là bảy đường. Bài 4. Mô hình của P: + Điểm: đỉnh của tứ diện. + Đường thẳng: cạnh của tứ diện. + Điểm thuộc đường thẳng: đỉnh thuộc cạnh của tứ diện. Ta dễ dàng kiểm tra mô hình thỏa mãn các tiên đề của hệ P. Bài 5. (Hình 1) Mô hình của hình học Lôbasepxki phẳng – mô hình nửa phẳng Poincare: Hình 1 + “Điểm Lôba”: cũng là điểm Ơ-clit trên mặt phẳng trừ những điểm nằm trên bờ XX’ + “Đường Lôba”: là nửa đường tròn Ơ-clit thuộc có tâm thuộc XX’ hoặc là nửa đường thẳng gốc thuộc XX’. Dễ thấy định đề phủ định của định đề 5 được thỏa mãn. Bài 6. Chứng minh a, Theo tiên đề 1, có nhiều đường thẳng, mà một đường thẳng chứa nhiều điểm nên ta suy ra có ít nhất 2 đường thẳng phân biệt, mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Nếu hai đường thẳng không có điểm chug thì có 4 điểm. Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì vì chúng phân biệt nên chỉ có 1 điểm chung (tiên đề 2). Vì vậy trong bốn điểm nói trên chỉ có thể có hai điểm trùng nhau. Vậy có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. Định lí Pasch: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng a và ba điểm A, B, C không thuộc a. Nếu đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thì nó cắt đoạn thẳng AC hoặc cắt đoạn thẳng BC. Chứng minh: (Hình 2) Hình 2 Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia mặt phẳng (P) thành hai nửa mặt phẳng, một chứa điểm A, một chứa điểm B (vì đoạn thẳng AB cắt đường thẳng a). Điểm C phải thuộc một trong hai nửa mặt phẳng đó nên đường thẳng a phải cắt một trong hai đoạn thẳng AC hoặc BC. Bài 7. a, Theo tiên đề 14, có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, giả sử là A, B, C, D. Giả sử A, B, C thuộc mặt phẳng (P) nào đó. D không thuộc (P) nên đường thẳng AD chỉ có một điểm chung với (P). Mà một đường thẳng có nhiều điểm nên ngoài mặt phẳng (P) có nhiều điểm. b, Chứng minh tương tự định lí Pash trong mặt phẳng. c, Định lí: Mỗi mặt phẳng của không gian chia không gian thành hai tập điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho: - Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB không có điểm chung với mặt phẳng đó. - Hai điểm A, B phân biệt không thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB có điểm chung với mặt phẳng đó. Bài 10. Chứng minh: Sử dụng các tiên đề về không gian vectơ Ơ-clit. BÀI TẬP CHƯƠNG II A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích rèn cho sinh viên: - Có kĩ năng trong việc dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về các phép biến hình afin, phép biến hình đẳng cự, phép đồng dạng. - Sinh viên biết cách vận dụng các phép biến hình nói trên để giải các bài toán hình học trong chương trình THCS. - Tổ chức sưu tầm phân loại các bài tập hình học trong chương trình THCS giải bằng phương pháp biến hình. So sánh với phương pháp sơ cấp. B. Mô tả nội dung: Bài tập chương II bao gồm các vấn đề sau: - Phép biến hình afin - Phép đẳng cự - Phép đồng dạng. C. Nội dung cụ thể: I. Các kiến thức cơ bản cần nắm vững: 1. Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình afin. 2. Định lí về sự xác định phép afin. 3. Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin. 4. Định nghĩa và các tính chất của phép thấu xạ afin. 5. Định lí về phân tích một phép afin thành tích của các phép thấu xạ afin. 6. Định nghĩa và các tính chất của phép đẳng cự của mặt phẳng Ơ-clit. 7. Định lí về sự xác định của phép đẳng cự, biểu thức tọa độ của phép đẳng cự. 8. Phép dời hình và phép phản chiếu. Dạng chính tắc của phép dời hình và phép phản chiếu. II. Bài tập: PHÉP BIẾN HÌNH AFIN Bài 1. Cho song ánh f: P P có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. Chứng minh: a. f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. b. f biến đường thẳng thành đường thẳng. c. f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. d. f bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình bình hành. e. f không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. Bài 2. Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng nếu f(A) = B và f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I. Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi f là phép afin sao cho f(A) = B và f(B) = A, f(C) = D và f(D) = C. Chứng minh: a. Nếu d là đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD thì f biến mọi điểm của d thành chính nó. b. Tứ giác ABCD là hình thang. Bài 4. Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc vị tự. Bài 5. Có bao nhiêu phép afin biến một tam giác đã cho thành chính nó? Bài 6. Cho tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’. Bài 7. Ngũ giác ABCDE có tính chất: Mỗi đường chéo của ngũ giác song song với một cạnh của nó. Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A, B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A. Các bài tập từ 8 đến 18 được xét trong hệ tọa độ afin Bài 8. Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1, 0), B(0,2), C(3, 0) lần lượt thành các điểm A’(2, 3), B’(1,4), C’(2, 1). Bài 9. Tìm biểu thức tọa độ của phép đảo ngược của phép afin sau: Bài 10. Xác định gf và f g biết f và g là hai phép afin: f: ; g: Bài 11. Cho phép afin: a. Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng . b. Tìm trên đường thẳng d: một điểm sao cho ảnh của nó cũng nằm trên d; một điểm sao cho tạo ảnh của nó cũng nằm trên d. c. Tìm trên đường thẳng đi qua điểm A(1, 1) sao cho ảnh của đường thẳng đó cũng đi qua A. Bài 12. Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (đường thẳng biến thành chính nó) của các phép afin sau: f: ; g: Bài 13. Chứng minh rằng nếu phép afin có điểm bất động duy nhất thì mọi đường thẳng bất động đều đi qua điểm đó. Bài 14. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau: a. Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2, 6) biến thành điểm (1, 4). b. Mọi điểm của đường thẳng đều là điểm bất động và điểm (1, 2) biến thành điểm (2, 2). Bài 15. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau: a. Các đường thẳng và biến thành chính nó, còn điểm (1, 1) biến thành điểm (2, 1). b. Các đường thẳng và lần lượt biến thành các đường thẳng và , còn điểm (6, 4) biến thành điểm (2, 1). Bài 16. Các phép afin sau có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có hãy chỉ rõ là thấu xạ có tỉ số hay thấu xạ trượt. a. b. c. d. e. Bài 17. Với giá trị nào của k, m, các phép biến đổi sau là phép thấu xạ. Khi đó hãy chỉ rõ đó là thấu xạ trượt hay thấu xạ có tỉ số. a. b. Bài 18. Chứng minh mọi phép afin biến tam giác ABC đã cho thành chính nó đều có thể phân tích thành tích của không quá hai phép thấu xạ. Bài 19. Có hay không các phép thấu xạ biến một hình bình hành ABCD đã cho thành chính nó và thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Biến A thành B, D thành C. b. Biến A thành B, C thành D. c. Biến A thành C, C thành A. Bài 20. Chứng minh tập hợp các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm. Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P). Bài 21. Trong mặt phẳng Ơ-clit, hình lục giác gọi là gần đều nếu các cạnh đối diện bằng nhau và song song với đường chéo đi qua hai đỉnh không thuộc hai cạnh đối diện đó. Chứng minh các lục giác gần đều là tương đương afin. Bài 22. Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp elip (E), hình H’ gồm một tam giác A’B’C’ nội tiếp elip (E’). Chứng minh hình H và H’ không tương đương afin. Nếu có thêm giả thiết tâm elip (E) trùng với trọng tâm tam giác ABC và tâm elip (E’) trùng với trọng tâm tam giác A’B’C’ thì hình H và H’ có tương đương afin không? Bài 23. Chứng minh rằng với mỗi đường kính AB của elip (E) luôn có duy nhất đường kính CD sao cho mỗi dây cung của elip song song với một trong hai đường kính đó đều bị đường kính kia chia thành hai đoạn bằng nhau. Hai đường kính như vậy gọi là hai đường kính liên hợp của elip. a. Chứng minh khái niệm đường kính liên hợp của elip là khái niệm afin. b. Chứng minh tương tự đối với hypebol. Bài 24. Chứng minh các khái niệm sau là các khái niệm afin: đường bậc hai, tâm của đường bậc hai, đường tiệm cận của đường bậc hai, tiếp tuyến của đường bậc hai. Bài 25. Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và O là tâm của (E). Chứng minh các đường thẳng lần lượt đi qua A, B, C và lần lượt song song với OA’, OB’, OC’ đồng qui. Bài 26. Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) và một điểm M trên (E). Gọi O là tâm của (E) và A’, B’ C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A”, B”, C” là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho MA” // OA’, MB” // OB’, MC” // OC’. Chứng minh A”, B”, C” thẳng hàng. Bài 27. Chứng minh rằng nếu một hình bình hành nội tiếp (hoặc ngoại tiếp) elip thì tâm của hình bình hành trùng với tâm elip. Bài 28. Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai đường thẳng AD và DC sao cho (A, D, M) = (D, C, N). Tìm quỹ tích giao điểm BM và AN. PHÉP ĐẲNG CỰ Bài 29. Chứng minh các phép sau đây là các phép đẳng cự của mặt phẳng Ơclit: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay. Bài 30. Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến hình vuông ABCD bất kì thành chính nó. Bài 31. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R). Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến đường tròn (O, R) thành (O’, R). Bài 32. Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến tam giác đều ABC bất kì thành chính nó. Bài 33. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = A’B’. Có những phép đẳng cự nào biến A thành A’, B thành B’? Các bài toán sau được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Bài 34. Viết biểu thức tọa độ của các phép sau: a. Phép đối xứng qua đường thẳng Ox và đối xứng qua đường thẳng Oy. b. Phép đối xứng qua điểm I(a, b). c. Phép tịnh tiến theo vectơ (a, b). d. Phép đối xứng qua đường thẳng Ax + By + C = 0. Bài 35. Viết biểu thức tọa độ của phép đẳng cự biến điểm (1,0) thành điểm (0, 0)và điểm (0, 0) thành điểm (0, 1). Bài 36. Tìm điểm bất động của phép biến đổi đẳng cự: Bài 37. Chứng tỏ rằng rằng phép đẳng cự: là một phép đối xứng trục. Tìm trục đối xứng. Bài 38. Chứng minh các phép biến hình sau là phép đối xứng trượt. Tìm trục đối xứng và vectơ trượt: a. b. c. Bài 39. Chứng minh nếu f là một phép phản chiếu thì quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) là một đường thẳng. Bài 40. Cho hai đoan thẳng AB và A’B’ bằng nhau và không song song. Hai điểm M, M’ thay đổi lần lượt trên hai đường thẳng AB và A’B’ sao cho tỉ số kép (A, B, M) = (A’, B’, M’). Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng MM’. Bài 41. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và A’B’ và không song song. Hãy xác định tâm quay và góc quay của phép quay biến A thành A’, biến B thành B’. Bài 42. Cho phép quay Q1 có tâm quay O1, góc quay và phép quay Q2 có tâm quay O2, góc quay . Tìm Q2Q1 trong các trường hợp sau: a. O1 và O2 trùng nhau. b. O1 và O2 không trùng nhau và + k.3600. c. O1 và O2 không trùng nhau và + = k.3600. Bài 43. Chứng minh tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc của phép quay và phép tịnh tiến đều là phép quay. Bài 44. Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABC’, BCA’, ACB’ sao cho các điểm A’, B’, C’ nằm ngoài tam giác ABC. Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm của các tam giác đều đó. Chứng minh tam giác O1O2O3 là tam giác đều. Bài 45. Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác vuông cân ABC’ và ACB’ có đỉnh là C’ và B’ đều nằm ngoài tam giác ABC. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân. Bài 46. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B ở giữa A và C). Vẽ các tam giác đều ABC’ và BCA’ có các đỉnh C’ và A’ nằm về một phía đối với đường thẳng AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Chứng minh tam giác BIJ là tam giác đều. Bài 47. Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Dựng tam giác đều ABC có hai đỉnh thuộc a, b. Bài 48. Cho hai đường tròn (O), (O’) và đường thẳng d. Hãy dựng điểm D trên d sao cho d là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đi qua D và lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’). Bài 49. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’). Dựng hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường đó sao cho MM’ // OO’ và MM’ có độ dài bằng a cho trước. Bài 50. Cho hai đường tròn (O), (O’) và điểm A. Dựng tam giác vuông cân đỉnh A và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên (O) và (O’). Bài 51. Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc một cạnh của hình vuông. Dựng hình vuông MNPQ có các đỉnh N, P, Q cũng thuộc các cạnh của hình vuông ABCD. PHÉP ĐỒNG DẠNG Bài 52. Chứng minh rằng: a. Tích hai phép vị tự là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến. b. Tích một phép vị tự và một phép tịnh tiến hoặc tích một phép tịnh tiến và một phép vị tự là phép vị tự. Bài 53. Chứng minh rằng tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến. Bài 54. Chứng minh phép afin