Bài giảng Không gian Banach và các định lý cơ bản

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nâng cao Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC Đánh giá, kiểm tra. Tài liệu tham khảo 1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002. 2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978. 3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000. 6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book company, 2000. 7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972. Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. 0.3 – Định lý Banach-Steinhauss. 0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của nó có xác định một quan hệ < sao cho: 1. a < a (phản xạ) 2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu) 3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng) Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kiểm tra S là tập được sắp một phần. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn Suy ra F(x) liên tục và Vậy ||F|| = ||f|| 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E: 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh Tương tự phần chứng minh hệ quả 3. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0} 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Sử dụng hệ quả 3. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Sử dụng bài tập 1. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Khi đó L(M) là không gian con đóng của E. Sử dụng bài tập 2. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 8. 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Tương tự hoàn toàn, ta tìm được Khi đó phiếm hàm cần tìm là 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những tập hợp lồi. ví dụ 2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r là một tập hợp lồi. Hướng dẫn. 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tập hợp lồi. 4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi. 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh bổ đề 1 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh bổ đề 2 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh Đặt C = A\B. 1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh 3. Định lý Banach - Steihauss.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Định lý Banach - Steihauss.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------