Bài giảng Lý thuyết định luật bảo toàn động lượng

1) Hệ kín: Hệ vật được gọi là hệ kín (cô lập) nếu các vật trong hệ chỉ tương tác với nhau, mà không tương tác với các vật ở ngoài hệ. 2) Định luật bảo toàn động lượng: a) Động lượng : của vật là đại lượng vectơ đo bằng tích khối lượng m và vận tốc của vật đó [p] : kgm/s b) Định luật bảo toàn động lượng: - Tổng động lượng của một hệ kín được bảo toàn.

doc42 trang | Chia sẻ: haohao89 | Lượt xem: 3279 | Lượt tải: 3download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Lý thuyết định luật bảo toàn động lượng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
NỘI DUNG Chương I. Cơ sở lý thuyết I. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG : 1) Hệ kín: Hệ vật được gọi là hệ kín (cô lập) nếu các vật trong hệ chỉ tương tác với nhau, mà không tương tác với các vật ở ngoài hệ. 2) Định luật bảo toàn động lượng: a) Động lượng : của vật là đại lượng vectơ đo bằng tích khối lượng m và vận tốc của vật đó [p] : kgm/s b) Định luật bảo toàn động lượng: - Tổng động lượng của một hệ kín được bảo toàn. - Nếu hệ có hai vật Hoặc: Với m1, m2 : khối lượng của vật 1 và 2 : vận tốc của vật 1 và 2 trước tương tác vận tốc của vật 1 và 2 sau tương tác. Chú ý: Trong trường hợp ngoại lực khác không nhưng hình chiếu của chúng trên phương nào đó triệt tiêu thì động lượng được bảo toàn theo phương này. 3) Dạng khác của định luật 3 Newton: 4) Phương pháp giải toán Khi giải các bài tập về định luật bảo toàn động lượng ta có thể thực hiện theo các bước sau: Xác định hệ kín và phương chiều các vectơ động lượng, vận tốc của các vật trong hệ (xác định hệ đang khảo sát, phân tích các lực tác dụng lên hệ, xem xét có thể áp dụng được định luật bảo toàn động lượng hay không. Nếu ngoại lực không triệt tiêu có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương có ngoại lực triệt tiêu). Xác định các giai đoạn khảo sát (viết động lượng của hệ trước và sau khi va chạm xả ra). Áp dụng định luật bảo toàn động lượng (nếu các vật tương tác trong các hệ quy chiếu khác nhau thì phải đưa vật về cùng một hệ quy chiếu dựa vào công thức cộng vận tốc ). II. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG: 1) Công- Công suất: a) Công: - Định nghĩa: Công của lực F trên đoạn đường S là đại lượng đo bằng tích của lực với quãng đường đi và với cosin của góc tạo bởi hướng của lực và hướng của đường đi. Biểu thức: Với A: công (J) F: lực (N) s : quãng đường (m) b) Công suất: - Định nghĩa: Công suất là đại lượng đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh hay chậm của một máy, đo bằng tỷ số giữa công thực hiện và khoảng thời gian để thực hiện công đó. - Biểu thức: Với P: công suất ( W ) A: công (J) t: thời gian (s) 2) Công của trọng lực- Định luật bảo toàn công: a) Công của trọng lực: - Biểu thức: A = P.h = P(h1-h2) - Đặc điểm: +) Công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng đường đi mà bằng tích của trọng lực và với độ cao h giữa điểm đầu và cuối của vật. +) Nếu quỹ đạo kín, công của trọng lực bằng 0 +) Lực có tính chất như đặc điểm trên gọi là lực thế. b) Định luật bảo toàn công: - Phát biểu: Công của lực phát động bằng về độ lớn với công của lực cản. Ađ + Ac =0 |Ađ|=|AC| - Hiệu suất: thương số giữa công có ích và công toàn phần. 3) Năng lượng - Động năng và thế năng: a) Động năng: - Định nghĩa: Động năng của một vật là năng lượng mà vật đó có được do nó chuyển động. - Biểu thức: - Tính chất: +) Động năng là một đại lượng vô hướng và là đại lượng dương. +) Đơn vị của động năng, công, năng lượng: Jun (J). b) Định lý động năng: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật. +) Nếu A>0 thì : động năng tăng. +) Nếu A<0 thì : động năng giảm. c) Thế năng: - Định nghĩa: Thế năng là năng lượng mà một hệ vật có do tương tác giữa các vật trong hệ và phụ thuộc vào vị trí tương đối của các vật - Biểu thức: +) Thế năng hấp dẫn: Wt = mgh +) Thế năng đàn hồi: Với:x: độ biến dạng của vật k: độ cứng của vật 4) Định luật bảo toàn cơ năng: a) Định luật bảo toàn cơ năng: - Cơ năng là tổng động năng và thế năng của vật. W=Wđ + Wt - Trường hợp trọng lực: W = Wđ + Wt = const W= W1 = W2 Trường hợp lực đàn hồi: W= W1 = W2 b) Định luật bảo toàn cơ năng tổng quát: Trong hệ kín không có lực ma sát, có sự biến đổi giữa động năng và thế năng nhưng cơ năng được bảo toàn. 5) Định luật bảo toàn năng lượng: a) Định luật bảo toàn năng lượng: Trong một hệ kín có sự chuyển hoá năng lượng từ dạng này sang dạng khác nhưng năng lượng tổng cộng được bảo toàn. b) Hiệu suất của máy: H = Công có ích Công toàn phần c) Ứng dụng: W = W’΄ + Q Với: W: cơ năng lúc đầu W’ cơ năng lúc sau Ài Q : nhiệt lượng. 6) Phương pháp chung giải toán Các bài toán này chủ yếu rơi vào 3 trường hợp Trường hợp thứ nhất: bài toán thứ nhất: bài toán biết trước một số đại lượng động lực như lực tác dụng, gia tốc, vận tốc,… xác định năng lượng dưới dạng công A, động năng, thế năng … của chuyển động(hoặc ngược lại). Khi giải bài toán dạng này chỉ cần áp dụng các công thức đã đã có để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng động lực, từ đó suy ra các đại lượng còn lại theo yêu cầu bài toán. Trường hợp thứ hai: các bài toán áp dụng định luật bảo toàn cơ năng (hoặc định luật bảo toàn năng lượng). Khi giải các bài toán về dạng này ta có thể tiến hành theo các bước sau: Xác định hệ kín. Xác định tổng cơ năng của hệ trước khi có sự chuyển hóa giũa động năng và thế năng. Xác đingj tổng cơ năng của hệ sau khi có sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng. Lưu ý: khi áp dụng định luật bảo toàn cơ năng thì điều kiện là hệ không có ma sát và nếu là bài toán va chạm thì va chạm đó phải là va chạm đàn hồi. Trường hợp thứ 3: thường gặp là các bài toán cho hệ không kín, hệ có ngoại lực (điển hình là lực ma sát). Khi giải bài toán này ta nên áp dụng định lý động năng( hoặc định lý thế năng) và có thể tiến hành theo các bước sau: Xét động năng (hoặc thế năng) lúc đầu và lúc sau của hệ vật. Tính độ biến thiên động năng (hoặc thế năng) của hệ vật. Tính công của ngoại lực tác dụng vào hệ. Áp dụng định lý động năng (haocj thế năng) (hoặc ). CHƯƠNG II: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DẠNG 1 BÀI TOÁN VỀ CON LẮC ĐƠN Phương pháp: Chọn mốc thế năng hấp dẫn (thường chọn ngang với vị trí cân bằng). Dựa vào một vị trí đã biết để xác định cơ năng của con lắc. Viết biểu thức cơ năng tại vị trí cần khảo sát. Kiểm tra sự bảo toàn cơ năng của con lắc. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng hoặc bảo toàn năng lượng để tính vận tốc của vật. Đối với bài toán xác định lực căng dây thì phải dựa vào lực hướng tâm. Bài tập vận dụng: h0 h a0 a Hình 1.a H O Bài 1 Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ khối lượng m treo bằng sợi dây mảnh nhẹ không giãn chiều dài vào một điểm cố định O. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một góc a0 sao cho dây dẫn vẫn căng rồi thả nhẹ. Tính vận tốc của vật tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc a (a £ a0). Tính lực căng dây trong trường hợp trên (bỏ qua sức cản của môi trường). Giải: Phân tích bài toán: Theo đề bài, kéo vật ra vị trí dây treo lệch một góc a0 rồi thả nhẹ nên vận tốc của vật tại vị trí thả bằng không. Ngay sau khi thả, vật chịu tác dụng của lực căng dây và trọng lực . Vì bỏ qua sức cản của môi trường nên hệ này là hệ kín, do đó cơ năng của hệ được bảo toàn. Vậy để giải bài toán này ta vận dụng định luật bảo toàn cơ năng. y x O Hình 1.b Giải: Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khi vật ở vị trí a0 ta thả nhẹ nên vận tốc ở vị trí này bằng không, khi đó động năng của vật bằng không. Do đó cơ năng của vật tại vị trí này sẽ là: W0 = mgh0 Dựa vào hình vẽ 1.a ta xác định được Vậy W0 = mgl(1- cosa0 ) Cơ năng tại vị trí a bất kỳ Tương tự như cách tính h0 ta tính được h sẽ là , nên ta có Do bỏ qua ma sát nên cơ năng của hệ được bảo toàn. Vậy áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có Tính lực căng dây trong trường hợp trên Chọn hệ quy chiếu gắn với dây tại vị trí a như hình 1.b. Các lực tác dụng lên vật là lực . Áp dụng định luật II Niutơn ta có: (1) Phân tích lực thành hai thành phần, thành phần vuông góc với lực căng dây và thành phần thẳng góc với lực căng dây . (hình 1.b). Ta có: Theo phương Oy, vật chịu tác dụng của lực căng dây và lực , tổng hợp hai lực này tạo nên lực hướng tâm làm vật chuyển động tròn quanh điểm O, vậy chiếu (1) lên Oy ta có (2) Trong đó R là bán kính quỹ đạo và bằng chiều dài của sợi dây, vận tốc v đã được xác định ở câu a, vậy ta có Vậy lực căng dây tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc là . Bài 2: Một con lắc đơn chiều dài l=60cm. Vật nặng 100g, người ta kéo vật đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc rồi thả nhẹ. Tính vận tốc khi vật qua vị trí . . Tính lực căng dây trong trường hợp trên. Chứng minh rằng vận tốc và lực căng dây đạt giá trị cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng. Tính các giá trị đó. Giải: Phân tích: Bỏ qua sức cản của không khí và hệ là hệ kín nên giải bài toán ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng. h h0 600 a O A B Hình 2 Vật ở A (dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 600) ta thả nhẹ con lắc dao động nên vận tốc của vật tại vị trí này bằng 0, vì vậy ở vị trí này vật chỉ có thế năng. Ta chọn gốc thế năng tại vị trí O (dây treo thẳng đứng), khi con lắc ở vị trí này thế năng của nó bằng 0. Như vậy cơ năng tại O chỉ còn có động năng. Tại vị trí B, vật có độ cao h, dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α, thế năng và động năng của của con lắc là Vậy cơ năng của con lắc tại B sẽ là Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại điểm B và những điểm đã biết cơ năng thì ta dễ dàng tìm được các đại lượng của vật ở vị trí này. Giải: Chọn mốc thế năng tại C. Vì tại A vật được thả nhẹ nên vận tốc tại vị tí này bằng 0, cơ năng tại A là Với Vậy WA = mg Cơ năng tại vị trí a bất kỳ Với h là , nên ta có Do bỏ qua ma sát nên cơ năng của hệ được bảo toàn. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có Vậy, với từng giá trị của sẽ có vận tốc khác nhau. +) Trường hợp với Ta có: +) Trường hợp , tương tự như trên ta tính được Các lực tác dụng lên vật là lực . Áp dụng định luật II Niutơn ta có: (a) Tương tự như bài 1, ta phân tích lực thành hai thành phần, thành phần vuông góc với lực căng dây và thành phần thẳng góc với lực căng dây . Ta có: Theo phương của lực căng dây, vật chịu tác dụng của lực căng dây và lực , tổng hợp hai lực này tạo nên lực hướng tâm làm vật chuyển động tròn quanh điểm O. Chọn hệ quy chiếu gắn với dây tại vị trí , chiều dương hướng vào điểm treo, chiếu (a) lên ta có với aht là gia tốc hướng tâm của vật. (b) Trong đó R là bán kính quỹ đạo và bằng chiều dài của sợi dây, Vậy lực căng dây tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc là . với , . +) Trường hợp +) Trường hợp Chứng minh vận tốc và lực căng dây tại vị trí O đạt giá trị cực đại Tại O, vật có , vậy cơ năng tại O Cơ năng bảo toàn, do đó tổng động năng và thế năng của vật không đổi, khi vật dao động thì thế năng và động năng biến thiên. Như vậy tại O chính là động năng của vật đạt cực đại. Ta xét vật tại vị trí dây hợp với phương thẳng đứng góc bất kỳ, theo (b) ta có Như vậy lực căng dây biến thiên theo , do đó khi đạt giá trị lớn nhất thì T lớn nhất. Mà lớn nhất khi , vật ở vị trí O. Do đó tại O lực căng dây có giá trị cực đại. C O B O’ H Hình 3.a Bài 3: Một con lắc đơn chiều dài , gắn một viên bi có khối lượng m = 200g. Thẳng phía dưới điểm treo cách điểm treo một đoạn có một cái đinh. Kéo vật ra vị trí cân bằng C để dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc rồi thả nhẹ (hình vẽ). Sau khi dây treo va chạm với cái đinh ở O’, viên bi tiếp tục đi lên tới điểm cao nhất B. Tính góc mà dây treo hợp với phương thẳng đứng khi viên bi ở B. Coi va chạm giữa đinh và dây là đàn hồi. Khi viên bi từ B trở về đến điểm C thì dây treo bị đứt. Tìm hướng và độ lớn vận tốc của viên bi lúc săp chạm đất và vị trí chạm đất của viên bi. Biết rằng điểm treo O cách mặt đất 2,3m. Bỏ qua ma sát. Lấy g =10m/s2 A Giải: Phân tích bài toán: Bỏ qua lực cản của không khí và va chạm giữa dây treo với con lắc là va chạm đàn hồi nên cơ năng của con lắc được bảo toàn. Khi vật đi từ A đến C, vật dao động tròn quanh điểm O. Dây treo chạm đinh rồi tiếp tục đi lên vị trí B, từ C đến B vật chuyển động tròn quanh điểm . Do đó, trong quá trình vật đi từ A đến C và từ C đến B chỉ có gia tốc hướng tâm của thay đổi còn cơ năng của vật luôn được bảo toàn. Vậy để giải bài toán này ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại các vị trí A và B. Vật từ B trở về C nó có vận tốc hướng theo phương ngang. Khi dây treo bị đứt, chuyển động của viên bi như vật bị ném ngang tại C. Do đó, nó sẽ tiếp tục chuyển động theo quỹ đạo là đường parabol và rơi xuống đất. Vậy để tính được vị trí chạm đất của viên bi ta chỉ cần áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại hai vị trí C và D. Bài giải: Chọn gốc thế năng tại C. Tại A vật được thả nhẹ nên cơ năng của vật chính bằng thế năng hấp dẫn Tại B vật lại tiếp tục chuyển động đi xuống nên cơ năng của vật cũng chính bằng thế năng hấp dẫn của trọng trường Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại A và B B nằm trên đường thẳng AH hay nói cách khác BH vuông góc với O’C. Ta có , trong đó , với , Vậy C D E Hình 3.b Khi viên bi trở về vị trí C nó có vận tốc hướng theo phương ngang (hướng như hình 3.b). Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có với . Vậy . Khi dây đứt viên bi chuyển động như vật bị ném ngang tại C, với vận tốc , nó chuyển động theo đường parabol và rơi xuống đất tại vị trí D. Điểm C cách mặt đất một đoạn là CE = OE – OC = 2,3 – 1,8 = 0,5 (m). Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho viên bi tại C và D (chọn mốc thế năng tại mặt đất),ta có Trong đó là vận tốc của viên bi khi chạm đất. Suy ra Thành phần nằm ngang của vận tốc không đổi . Gọi là góc mà vận tốc hợp với phương ngang, ta có Gọi t là thời gian viên bi đi từ C đến C đến đất, ta có . Vị trí chạm đất D cách đường thẳng đứng đi qua điểm treo O một đoạn Thay các giá trị vào ta được . II. DẠNG II VẬT TRƯỢT TRÊN MÁNG NGHIÊNG. A. Phương pháp: Về cơ bản thì bài toán vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng cũng có cách giải giống như ở dạng 1. Để giải bài tập dạng này cần xác định Chọn mốc tính thế năng cho vật. Xác định các tham số đề bài đã cho. Dựa vào vị trí đã biết xác định cơ năng của vật. Kiểm tra sự bảo toàn cơ năng của vật. Bài toán vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng thường có hai loại, vật chuyển động không ma sát với mặt và vật chuyển động có ma sát với mặt. Vì vậy cần xem điều kiện bài toán là gì. Nếu bài toán không cho ma sát với mặt phẳng nghiêng thì việc giải đơn giản chỉ cần áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật. Nếu bài toán có cho hệ số ma sát giữa vật với mặt phẳng nghiêng thì cơ năng của vật không bảo toàn nên không thể áp dụng được định luật bảo toàn cơ năng cho vật. Để giải bài tập loại này ta áp dụng định luật bảo toàn năng lượng. Áp dụng các định luật bảo toàn cơ năng hoạc bảo toàn năng lượng để giải. Kiểm tra kết quả thu được. B. Bài tập vận dụng: h l C B A Bài 1: Một vật khối lượng m = 1kg trượt không vận tốc đầu xuống mặt phẳng nghiêng cao h = 1m, dài l = 10m (hình vẽ) . hãy xác định : Động năng của vật ở chân mặt phẳng nghiêng. Động năng của vật ở chân mặt phẳng nghiêng? Vận tốc của vật tại đó. Khoảng cách mà vật còn đi được trên mặt phẳng ngang cho tới khi dừng hẳn. hệ số ma sát trên toàn bộ quãng đường mà vật đi qua là và . Giải: m = 1kg, h = 1m, l = 10m, , Tìm Cho Phân tích: Đây là bài toán có lực ma sát, vì vậy khi vật trượt từ đỉnh của mặt phẳng nghiêng xuống. Trong quá trình chuyển động một phần cơ năng của vật chuyển hóa thành công để thắng lực ma sát. Khi trượt hết mặt phẳng nghiêng, vật tiếp tục chuyển động nhờ động năng mà nó có trong quá trình chuyển động từ đỉnh mặt phẳng nghiêng xuống và động năng này tiếp tục chuyển thành công để thắng lực ma sát trên đoạn đường nằm ngang. Khi toàn bộ động năng chuyển hóa hết thành công cản trên đoạn đường nằm ngang này thì vật dừng lại. Vì vậy để giải bài toán này cần áp dụng định luật bảo toàn năng lượng. Bài giải Chọn mốc tính thế năng tại điểm B. h l C B A Như vậy tại A vật có thế năng hấp dẫn là mgh. Ở A vật không có vận tốc nên động năng của vật bằng 0, cơ năng của vật tại A chính bằng thế năng hấp dẫn . Ở chân mặt phẳng nghiêng (B) là Vậy cơ năng của vật tại B là Do có ma sát giữa vật với mặt phẳng nghiêng nên khi vật chuyển động từ A đến B một phần cơ năng chuyển hóa thành công để thắng lực ma sát . Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có Tìm Phân tích trọng lực thành hai thành phần, thành phần song song với mặt phẳng nghiêng, và thành phần vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng, vật chịu tác dụng của phản lực và lực , theo phương này vật không chuyển động nên theo định luật I Niutơn ta có Hay Như vậy theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng thì phản lực cân bằng với thành phần lực nên . Thay (2) vào (1) ta có Mà nên ta có được Với Thay vào (3) ta được . Tính vận tốc của vật tại chân mặt phẳng nghiêng Ta có . Trên đoạn đường nằm ngang vật chuyển động đến điểm C thì dừng lại, lúc này toàn bộ động năng của vật ở B đã chuyển hóa thành công của lực ma sát trên đoạn đường này . Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có với trong đó là lực ma sát trên đoạn BC, . Vậy A D C E B Bài 2: Một vật có khối lượng m = 0,2kg trượt không ma sát, không vận tốc đầu trên mặt phẳng nghiêng từ A đến và B và rơi xuống đất tại điểm E (hình vẽ). Cho biết AD = 1,3m; BC = 1m; . Tính trị số vân tốc và của vật tại các điểm B và E tương ứng. Sau khi rơi vật lún đất một đoạn S = 2cm (dọc theo quỹ đạo). Hỏi lực cản trung bình của đất tác dụng lên vật? Giải: Phân tích: Vật truợt từ A xuống B sau đó tiếp tục rơi xuống đất tại E. Chuyển động của vật từ B đến E như chuyển động của vật bị ném xiên. Để giải bài toán một cách đơn giản thì do vật trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng nên ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại các điểm A, B và E. Ở E vật có động năng là nên vật tiếp tục lún xuống đất một đoạn là s, lúc này vật chịu tác dụng của lực cản của đất và động năng của vật giảm về không. Theo định lý động năng thì ta có độ biến thiên động năng chính bằng công của lực cản của đất tác dụng lên vật (). . Mặt khác ta có . Như vậy ta có thể tính được . Giải: Chọn mốc thế năng tại mặt đất. Ta có Tại A vật chỉ có thế năng hấp dẫn, do đó cơ năng của vật tại A Tại B vật ở độ cao và có vận tốc là nên cơ năng của vật ở B Tại E vật chỉ có độ cao , vận tốc là . Cơ năng của vật tại E +) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại A và B ta có +) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại A và E Khi vật lún xuống đất vật chịu tác dụng của lực cản của đất theo phương quỹ đạo nên ta có công của lực cản tác dụng lên vật là Độ biến thiên của động năng khi vật từ E xuống lún xuống đất một đoạn s là Áp dụng định lý động năng ta có Thay các giá trị của m, , s vào ta được . A D C B h h Bài 3: Một vành đệm (trượt không lăn) từ vận tốc ban đầu tại A, qua B chỉ đổi hướng vận tốc rồi tiếp tục trượt và dừng lại ở C. Cho hệ số ma sát hai mặt AB và BC cùng là k. Hãy dùng phương pháp năng lượng để tính Hệ số ma sát theo h, , . Từ C phải có vận tốc đầu bằng bao nhiêu để vật đi ngược lên đến A. Giải: Phân tích: Đây là bài toán vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng có ma sát và vật có vận tốc ban đầu. Chọn gốc thế năng tại mặt đất. Chú ý là tại A vật có cả thế năng và động năng nên cơ năng của vật ở A là tổng động năng và thế năng của vật. Tại C vật không chuyển động nên động năng của vật bằng không, thế năng cũng bằng không do ta chọn mốc tính thế năng tại mặt đât. Vậy cơ năng của vật tại C bằng không. Như vậy đã cơ năng của vật đã giảm và theo định luật bảo toàn năng lượng thì lượng giảm cơ năng đó chính bằng công của lực ma sát. Khi vật chuyển động từ C đến A thì không có gì khác so với vật chuyển động từ A về C. Với điều kiện để vật lên đến A là động năng của vật tại A . Bài giải: Chọn gốc thế năng ở mặt nằm ngang BC. Ta có cơ năng của vật tại A là Cơ năng tại C Công của lực ma sát trên đoạn đường AB là Công của lực ma sát trêm đoạn BC là Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có độ biến thiên cơ năng bằng công của lực ma sát Ta lại có: Mà theo câu a ta có được , vậy nên (1) Gọi là vận tốc ban đầu của vật tại điểm C, cơ năng tại C là Cơ năng tại A là Thay vào (1) ta có Điều kiện để vật lên đến A là động năng tại A của vật . Suy ra . Vậy để tại C vật có thể lên