Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Bài 3: Quy luật phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên - Nguyễn Mạnh Thế

ÀB I 3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN TS N ễ M h Thế. guy n ạn v1.0012107210 1 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Tình huống Siêu thị Metro nhận thấy thời gian số lượng khách hàng phải đợi ở quầy để chờ được thanh toán là quá lâu. Siêu thị quyết định cần thêm số quầy phục vụ. Số lượng quầy phục vụ sau khi nâng cấp là bao nhiêu thì hợp lý. Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách là 3 phút. Điều t t 100 iờ đế ố khá h hà đế ầ h 7006005004003002001000Số khách/giờ ra rong g m s c ng n qu y p ục vụ trong vòng một giờ: 114918272713Số lần v1.0012107210 2 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG (tiếp theo) Câu hỏi gợi mở Câu 1: Một quầy một giờ phục vụ được bao nhiêu khách? Câu 2: Số khách trung bình đến quầy phục vụ trong vòng 1 giờ là bao nhiêu? Câu 3: Số quầy phục vụ cần thiết là bao nhiêu? Câu 4: Nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số người đến quầy phục vụ. X tuân theo phân phối gì? Câu 5: Thời gian phục vụ của mỗi khách hàng là khác nhau. Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian phục vụ của một khách hàng Y tuân theo phân phối gì?. v1.0012107210 3 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG (tiếp theo) Kết luận 1. Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poát Xông thường được dùng để mô tả số lần xuất hiện 1 sự kiện trong một khoảng thời gian. Ví dụ: Số lượng người đến một quầy phục vụ trong ột kh ả thời i h t ướm o ng g an c o r c. 2. Phân phối mũ được dùng để mô hình các quá trình Poisson, đó là các tình huống mà khi đó một đối tượng đang ở trạng thái A có thể chuyển sang trạng thái B với xác suất không đổi λ trong mỗi đơn vị thời gian. Ví d Thời i h 1 khá h hà (khá h hàụ: g an p ục vụ c ng c ng chuyển từ trạng thái chưa phục vụ sang đã phục vụ). v1.0012107210 4 NỘI DUNG Giới thiệu các quy luật phân phối thường gặp: ậ â ố ô ộ• Quy lu t ph n ph i kh ng – m t; • Quy luật phân phối nhị thức; • Quy luật phân phối Poisson; • Quy luật phân phối đều; • Quy luật phân phối chuẩn; • Quy luật phân phối khi bình phương; • Quy luật phân phối Student; • Quy luật phân phối Fisher – Snedecor; • Quy luật phân phối lũy thừa. v1.0012107210 5 1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT A(p) hái iệK n m Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 với xác suất được cho bởi công thức: trong đó q = 1- p.  x 1 xP X x p q   Thì X có phân phối theo quy luật 0 - 1 với tham số p: X ~ A(p) Ví dụ: Tại một phòng thí nghiệm, xác suất thành công của một thí nghiệm là 25% Ch ẫ hiê 1 ộ thí hiệ Khi đó biế ẫ hiê X là ố. ọn ng u n n cu c ng m. n ng u n n s kết quả thành công chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Vậy X là biến ngẫu nhiên có phân phối A (0,25).      0 1      1 0P X 1 0,25 0,75 0,25   P X 0 0,25 0,75 0,75   v1.0012107210 6 1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT A(p) (tiếp theo) Các tham số đặc trưng Cho X ~ A(p), ta có: • Kì vọng:  E X 0.q 1.p p   • Phương sai:     2 2 2E X 0 .q 1 .p p       22 2V X E X E X p p pq       • Độ lệch chuẩn: x pq  v1.0012107210 7 2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n, p) Khái niệm Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n, p, ký hiệu: X~ B(n, p) nếu X nhận một trong các giá trị: 0 1 2 n với xác suất ương ứng cho bởi, , ,..., công thức Bernoulli:   x x n xp X x C p q  trong đó: n  x 0,1,...,n và q 1 p  v1.0012107210 8 2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n, p) (tiếp theo) Các tham số đặc trưng: Cho n biến ngẫu độc lập có Xi có cùng phân phối A(p) Lập biến ngẫu nhiên X là tổng của Xi: S X B( ) n i i 1 X X  uy ra: ~ n, p Ta có: ; ;   E X p  V X pq i 1 2 n  Từ đó suy ra: i i , ,...,    n ni iE X E X E X np      i 1 i 1      n nV X V X V X npq     i 1 i 1 i 1   v1.0012107210 9 VÍ DỤ Ví dụ: Tỷ lệ các thí nghiệm thành công trong một viện nghiên cứu là 25%. Tiến hành quan sát 5 cuộc thí nghiệm của viện nghiên cứu. Gọi X là số thí nghiệm thành công trong 5 cuộc thí nghiệm đó. 1. Hãy tính P(X) 2 Tí h kì à h i ủ X. n vọng v p ương sa c a Giải: X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5 với xác suất:      x 5 xx5P X x C 0.25 0.75    E X =5×0.25=1.25  V X =5×0.25×0.75=0.9375 v1.0012107210 10 hái iệ 3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON K n m Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số Ký hiệu: X~P(λ) 0  Nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 1, 2,, n, với xác suất tương ứng cho bởi công thức:   xP X x e x!    Các tham số đặc trưng    E X , V X   v1.0012107210 11 Các công thức chứng minh đã được cung cấp trong giáo trình 4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU U[a, b] Khái niệm Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối đều trên đoạn [a,b]. Ký hiệu: X ~ U [a,b] Nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: 1   x a,bb af x 0 x a,b         v1.0012107210 13 4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU U[a, b] (tiếp theo) Các tham số đặc trưng: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X ~ U[a,b] Ta có: a bE(X) 2  1Kì vọng: Phương sai: 2 2 2E(X ) (a ab b ) 2         222 2 b a1 a bV X b ab a .       3 2 12 v1.0012107210 14Các công thức chứng minh đã được cung cấp trong giáo trình hái iệ 5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN  2N ,  K n m Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có quy luật phân phối chuẩn ký hiệu là nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:2X ~ N( )         2 2 x 21f x e 2 , Các tham số đặc trưng   2Cho Ta có  E X X ~ N( , )     2V X  v1.0012107210 16 5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) 2N ,  Phân phối chuẩn tắc: Biến ngẫu nhiên liên tục U có phân phối theo quy luật chuẩn N(0;1) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. Hàm mật độ xác suất của U được ký hiệu là  x 2   x21x e 2    Hàm phân phối xác suất của U được ký hiệu là .  x      2x x 21x e dx Trước tiên ta định nghĩa hàm như sau: Từ đó ta thấy:  0 x       2x x 2 0 0 1 x e dx 2 2    1x x02   v1.0012107210 17Giá trị của hàm có thể được tra trong bảng phân phối chuẩn tắc.  x 5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) 2N ,  Công thức tính xác suất: Biến ngẫu nhiên liên tục 2X ~ N( , )  Đặt: ; Suy ra: U ~ N(0,1)XU    Ta có các công thức tính xác suất cho biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối chuẩn:   0 0b ap a X b                  v1.0012107210 18 5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) 2N ,  Giá trị tới hạn chuẩn tắc Giá trị được gọi là giá trị tới hạnu chuẩn tắc mức của biến ngẫu nhiên U nếu:  0 1    Về ặt hì h h là diệ tí h ủ  P U u  m n ọc, n c c a tam giác cong giới hạn bởi đường cong hàm mật độ , trục Ox, và   x đường thẳng x u v1.0012107210 19 6. QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI – BÌNH PHƯƠNG 2x (n) Định nghĩa Nếu là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối h ẩ tắ N(0 1) thì 1 2 nX ,X ,..., X c u n c ; : là một biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối n 2 2x X 2x (n) Ta chứng minh được: i i 1  2E(x ) n Chú ý 2V(x ) 2n : Khi n càng lớn (n>40) thì phân phối sẽ hội tụ về phân phối chuẩn2x (n) v1.0012107210 21 7. QUY LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT T(n) Khái niệm Cho U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập: Đặt UT U ~ N(0,1) 2V ~ x (n) : V n  Quy luật phân phối xác suất của T gọi là quy luật Student với n bậc tự do: T ~ T(n) Chú ý: • Với n càng lớn (n>30) thì biến ngẫu nhiêu có phân phối Student sẽ hội tụ rất nhanh về biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc u:  nt • Cho giá trị được gọi là giá trị tới hạn mức α của phân phối Student nếu u  (0,1) (n)t v1.0012107210 22 (n)P{ | T | t }   8. QUY LUẬT PHÂN PHỐI FISHER – SNEDECOR 1 2F(n ,n ) Khái niệm: Cho hai biến ngẫu nhiên 1 2V ,V ; V /n 2 1 1V ~ x (n ) 2 2 2V ~ x (n ) Đặt Quy luật phân phối xác suất của F gọi là 1 1 2 2 F V /n  quy luật Fisher-Snedecor với bậc tự do.  1 2n ,n Kí hiệu:  1 2F n ,n . v1.0012107210 23 9. QUY LUẬT PHÂN PHỐI LŨY THỪA Khái niệm • Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là phân phối theo quy luật lũy thừa (quy luật mũ) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: 0 x 0 f(x)  Trong đó là một hằng số dương xe x 0     • Hàm phân phối xác suất của của nó có dạng như sau: x x x xF(x) f(x)dx e dx 1 e    • Các tham số đặc trưng của quy luật phân phối lũy thừa: 0     và1E(X)   2 1V(X)   v1.0012107210 24 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide