Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất - Nguyễn Mạnh Thế

ÀB I 4 Ộ Ố ÝM T S ĐỊNH L QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT TS N ễ M h Thế. guy n ạn v1.0012107210 1 NỘI DUNG • Định lý Poisson • Luật số lớn • Các định lý về giới hạn trung tâm:  Định lý Moivre – Laplace;  Định lý giới hạn trung tâm. v1.0012107210 2 1. ĐỊNH LÝ POISSON Xác suất của một biến cố xuất hiện k lần trong n phép thử (xác suất xuất hiện biến cố trong 1 phép thử là p) với n tương đối lớn, p << 1 và np λ, với λ cố định được tính xấp xỉ theo công thức: k k n k npn! (np)P (k) p (1 p) e  Xác suất biến cố đó xuất hiện từ k đến k lần trong n phép thử là: n k!(n k)! k!    1 2 2 2 kk k n 1 2 n k k k k ( )P (k ,k ) P (k) e k!     1 1  v1.0012107210 3 1. ĐỊNH LÝ POISSON (tiếp theo) í dV ụ: Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 quí là 800. Xá ất để ả ất ột hế hẩ là 0 005c xu s n xu ra m p p m , . Tìm xác suất để cho: 1 Có 3 sản phẩm là phế phẩm. . 2. Có không quá 10 sản phẩm bị hỏng. n = 800, p = 0,005 => λ = np = 4 344 800P (3) e 0,19543!   k10 4 4( )800 k 0 P 0,10 e 0,997 k!     v1.0012107210 4 2. LUẬT SỐ LỚN Định lý Bernoulli Nếu f là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập, p là xác suất xuất hiện biến cố đó trong mỗi phép thử thì với mọi ε dương nhỏ tùy ý ta luôn có: Luật số lớn n limP( f p ) 1     Giả sử X1, X2,, Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố với kỳ vọng chung μ và phương sai σ2 hữu hạn. Khi đó với mọi ε dương hỏ tù ý t l ô ón y a u n c : 1 2 n n X X ... X limP | | 1 n           v1.0012107210 5 3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý Moivre – Laplace Giả sử Xn là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n,p). Đặt: n n X np S np(1 p)   Khi đó với mọi ta có:x ( , )      nnlimP S x P Z x    trong đó Z là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc. Ta có công thức xấp xỉ sau:    21 / 2 k np / 2np(1 p)n kP (k) 2 e (x )       v1.0012107210 6 3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM (tiếp theo) Ví dụ: Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0,4. Tìm xác suất để trong 26 chi tiết sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt. Cần tìm P26(13) với n = 26 p = 0.4 q = 1 – p = 0 6 , k (k np)x 1,04 npq   k(x ) (1,04) 0,2323    26 0,2323P (13) 0,093 2,5    v1.0012107210 7 3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM (tiếp theo) Áp dụng để tính xấp xỉ cho giá trị :n 1 2P (k ,k ) n 1 2P (k ,k ) ( ) ( )      Trong đó 1(k np) npq 2(k np)  và npq 2x1 x 2 0 (x) e dx 2    v1.0012107210 8 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide