Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 1: Biến cố - Các công thức tính xác suất

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƯƠNG 1 Biến cố – Các công thức tính xác suất 1. Phép thử và biến cố 1.1 Khái niệm Phép thử ngẫu nhiên. Không gian mẫu Ω. Biến cố. Biến cố A xảy ra. Biến cố chắc chắn Ω. Biến cố không thể ∅. Ví dụ “Tung xúc sắc và xem mặt nào xuất hiện". 1 chấm: ω1, 2 chấm: ω2,..., 6 chấm: ω6. Không gian mẫu Ω = {ω1, ω2,, ω6}. A = {ω1, ω6} là một biến cố. 1.2 Các phép toán biến cố Biến cố là tập hợp. Dựa theo các phép toán và quan hệ trên tập hợp ta có các phép toán biến cố. 1.2.1 Biến cố kéo theo, biến cố tương đương A ⊂ B: A kéo theo B, ký hiệu A ⇒ B. A = B: A và B tương đương, ký hiệu A = B. 1.2.2 Biến cố tổng A+B (A∩B) xảy ra khi A hay B xảy ra. A1 + A2 +...+ An ( n i i 1 A = ∑ hay n i i 1 A = ∪ ) xảy ra khi có một biến cố Ai xảy ra. Nếu A1 + A2 +...+ An = Ω thì A1, A2, ..., An gọi là họ biến cố đầy đủ. Kết quả phép thử phải xảy ra một biến cố trong họ đầy đủ. 1.2.3 Biến cố hiệu A–B (A\B) xảy ra khi biến cố A xảy ra nhưng biến cố B không xảy ra. A= Ω–A gọi là biến cố đối lập của A. Một biến cố không xảy ra thì biến cố đối lập với nó xảy ra. 1.2.4 Biến cố tích A.B (A∪B) xảy ra khi A và B đồng thời xảy ra. A1.A2...An ( n i i 1 A = ∏ hay n i i 1 A = ∩ ) xảy ra khi mọi biến cố Ai đều xảy ra đồng thời. Nếu A.B = ∅ ta nói hai biến cố A và B là xung khắc. Một biến cố xảy ra thì biến cố xung khắc với nó không xảy ra. A1, A2, ..., An là họ biến cố xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong họ là xung khắc. Ghi chú Trong hai biến cố đối lập phải xảy ra một. Hai biến cố xung khắc có thể đều không xảy ra. Phải xảy ra một và chỉ một biến cố trong họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. A và A là họ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Ví dụ Xét phép thử tung xúc sắc. {ω1} và {ω2} là hai biến cố xung khắc. {ω1, ω3, ω3} và {ω2, ω4, ω6} là hai biến cố đối lập. {ω1}, {ω2}, ..., {ω6} là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Ví dụ (1) Trong lớp có sinh viên giỏi Toán, giỏi Anh văn. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Gọi A là biến cố "sinh viên này giỏi Toán", B là biến cố "sinh viên này giỏi Anh văn". A+B là biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán hay giỏi Anh văn". (giỏi ít ra là một môn). A.B là biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán và giỏi Anh văn". (giỏi cả hai môn). A+B là biến cố "gặp sinh viên không phải giỏi Toán hay giỏi Anh văn". (không giỏi môn nào cả). A .B là biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán và không giỏi Anh văn". (không giỏi môn nào cả). A.B là biến cố "gặp sinh viên không phải giỏi Toán và giỏi Anh văn". (không giỏi cả hai môn). A+B là biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán hay không giỏi Anh văn". (không giỏi cả hai môn). AB, AB, AB+AB là gì ? Ghi chú Ta luôn luôn có: A+B+... = A .B... A.B... = A+B+... (2) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng rồi đếm xem đã lấy được bao nhiêu phế phẩm. Gọi Ao (A1, A2, A3) là biến cố "có 0 (1, 2, 3) phế phẩm (trong 3 sản phẩm đã lấy ra)". A là biến cố "có tối đa 1 phế phẩm". B là biến cố "có ít nhất 1 phế phẩm". A = Ao + A1 B = A1 + A2 + A3 = A o Ao, A1, A2, A3 là họ đầy đủ, xung khắc từng đôi. Ghi chú Gọi X là số phế phẩm thì: A = (X ≤ 1) = (X = 0) + (X = 1) B = (X ≥ 1) = (X = 1) + (X = 2) + (X = 3) = ( =X 0) (3) Hộp I (II) đều có một số bi trắng và bi đen. Lấy 1 bi từ hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy 1 bi từ hộp II bỏ vào hộp I. Gọi A1 (A2) là biến cố "lấy được bi trắng từ hộp I (II)". B là biến cố "số bi trắng và bi đen của hộp I không đổi". B = A1.A2 + 1A . 2A . Lưu ý A1.A2 và 1A . 2A là hai biến cố xung khắc. (4) Mua 3 bao gạo, mỗi bao từ một cửa hàng khác nhau. Gọi A1 (A2, A3) là biến cố "bao gạo mua từ cửa hàng I, (II, III) là bao gạo tốt". A là biến cố "mua được 2 bao gạo tốt". A = A1.A2. 3A + A1. 2A .A3 + 1A .A2. A3 Lưu ý A1.A2. 3A , A1. 2A .A3, 1A .A2.A3 là họ biến cố xung khắc từng đôi. Ghi chú Gọi X là số bao gạo tốt mua được thì: (X = 2) = A1.A2. 3A + A1. 2A .A3 + 1A .A3. A3 (5) Gieo đồng xu nhiều lần, đếm số mặt sấp, đến khi được mặt sấp 2 lần thì ngừng. Gọi X là số lần gieo. Gọi S1 (S2, ...) là biến cố "được mặt sấp tại lần gieo I (II, ...)". (X = 3) = S1 2S S3 + 1S S2S3 (6) Một lô sản phẩm được kiểm tra bằng cách lấy ngẫu nhiên 15 sản phẩm rồi đếm số chính phẩm. Nếu có từ 8 chính phẩm trở lên thì lô hàng đạt yêu cầu. Nếu không đạt yêu cầu nhưng số chính phẩm trên 5 thì trả lại 15 sản phẩm, lấy ngẫu nhiên 20 sản phẩm rồi đếm số chính phẩm. Nếu có từ 10 chính phẩm trở lên thì lô hàng đạt yêu cầu. Gọi A là biến cố "lô hàng đạt yêu cầu". Gọi X (Y) là số chính phẩm có trong 15 (20) sản phẩm được lấy ra. A = (X ≥ 8) + (5 < X < 8).(Y ≥ 10) 2. Định nghĩa xác suất 2.1 Khái niệm Để đo khả năng xảy ra của một biến cố sau phép thử, biến cố được gán một con số trong khoảng [0, 1] sao cho biến cố càng dễ xảy ra thì con số này càng lớn. Giá trị được gán vào biến cố A gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A). Hàm P phải thoả các tính chất: (i) P(Ω) = 1 (ii) P(A+B) = P(A) + P(B) nếu A.B = ∅ Có 3 định nghĩa xác suất thoả các điều kiện trên và chúng đều tương thích nhau. Tuỳ trường hợp cụ thể của phép thử, ta sẽ vận dụng định nghĩa thích hợp để việc tính xác suất được thuận lợi. 2.2 Định nghĩa cổ điển của xác suất Phép thử có hữu hạn kết quả và khả năng xảy ra của mỗi kết quả là như nhau (đồng khả năng). n: số kết quả đồng khả năng (n trường hợp). Biến cố A gồm m kết quả (m trường hợp thuận lợi). Xác suất của biến cố A được định nghĩa là: P(A) = m n n cũng chính là số phần tử của không gian mẫu Ω còn m là số phần tử của biến cố A. Ví dụ Tung con xúc sắc. Có 6 biến cố đồng khả năng xảy ra (n = 6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẳn thì A có 3 trường hợp thuận lợi (m = 3). Vậy: P(A) = 3 6 = 50%. 2.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê Thực hiện phép thử n lần, quan sát thấy biến cố A xuất hiện m lần. (m : tần số xuất hiện A). tỷ số fn(A) = m n gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Khi số phép thử rất lớn, fn(A) sẽ gần bằng một giá trị cố định P(A). P(A) được định nghĩa là xác suất của biến cố A. Người ta chứng minh được rằng fn(A) luôn luôn hội tụ về P(A) theo nghĩa: n n 0, lim P( f (A) P(A) ) 1 →∞ ∀ε > − < ε = Trong thực tế, khi n đủ lớn, fn(A) được xem là P(A). Ví dụ (1) Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 7 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy này. Xác suất của biến cố "gặp phế phẩm" là 7/200 = 3,5%. (2) Trong 80 lần đá phạt đền của một cầu thủ thì có 62 lần đá vào. Xác suất đá thành công quả phạt đền của cầu thủ này là 62/80 = 77,5%. 2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Xét một tập hợp Ω gọi là không gian mẫu. Một σ-đại số là một họ A gồm các tập con của Ω thỏa: (i) Ω ⊂ A (ii) A ∈ A ⇒ A∈ A (iii) Ai∈A (i=1, 2, ...) ⇒ i i 1 A +∞ = ∑ ∈ A Xác suất trên (Ω, A) là hàm P: A → [0, 1] thoả: (i) P(Ω) = 1 (ii) P( i i 1 A +∞ = ∑ ) = i i 1 P(A ) +∞ = ∑ Ai∈A và Ai.Aj = ∅ ∀i≠j (Ω, A, P) gọi là một không gian xác suất. Mỗi phần tử thuộc A gọi là một biến cố. Bài tập So sánh ưu điểm, nhược điểm của các định nghĩa. 2.5 Một số nguyên lý xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ: biến cố có xác suất nhỏ (từ 5% trở xuống) không xảy ra trong thực tế. Nguyên lý xác suất lớn: biến cố có xác suất lớn (từ 5% trở lên) chắc chắn xảy ra trong thực tế. Nguyên lý hợp lý tối đa: nếu trong bài toán có (các) tham số chưa biết thì (các) tham số này phải có giá trị sao cho xác suất của (các) biến cố đã xảy ra có giá trị lớn nhất. 3. Các ví dụ tính XS theo định nghĩa cổ điển (1) Một lớp gồm 22 nữ và 28 nam. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất gặp được sinh viên nữ. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên thì có 50 trường hợp xảy ra (n = 50). Gặp được sinh viên nữ thì có 22 trường hợp thuận lợi (m = 22). Xác suất cần tính là p = 22 50 = 44%. (2) Một hộp gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Tính xác suất lấy được (đúng) 2 chính phẩm. Số trường hợp xảy ra khi lấy ra 3 sản phẩm từ 10 sản phẩm là n = 310C . Biến cố "lấy được đúng 2 chính phẩm trong 3 sản phẩm" là biến cố "lấy được 2 chính phẩm" và "lấy được 1 phế phẩm". Số trường hợp lấy được 2 chính phẩm từ 6 chính phẩm là 26C . Số trường hợp lấy được 1 phế phẩm từ 4 phế phẩm là 14C . Vậy số trường hợp thuận lợi là m = 26C . 1 4C . Xác suất cần tính p = 2 1 6 4 3 10 C .C C = 60 120 = 50%. Mô hình trên thường gặp trong các bài toán xác suất. Tổng quát hoá, ta có: Công thức siêu bội Tập hợp có N phần tử trong đó có M phần tử tốt. Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Gọi X là số phần tử tốt lấy được. P(X=k) = k n k M N M n N C C C − − 4. Các công thức tính xác suất 4.1 Công thức cộng P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) * P(A ) = 1 – P(A) * P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A.B) – P(B.C) – P(C.A) + P(A.B.C) * P(A1+A2++An) = P(A1) + P(A2) + + P(An) A1, A2,..., An xung khắc từng đôi Ví dụ (1) Một lô hàng gồm 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm. Tính xác suất lấy được không quá 1 phế phẩm. Lấy được không quá 1 phế phẩm tức là có đúng một phế phẩm hoặc không có phế phẩm. Đặt: A là biến cố "không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra". B là biến cố "có 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra". A, B là 2 biến cố xung khắc (chúng không thể xảy ra đồng thời). Xác suất cần tính là P(A+B). Ta có: P(A) = 6 8 6 10 C C = 14 105 P(B) = 1 5 2 8 6 10 C .C C = 56 105 Theo công thức cộng và do A, B xung khắc: P(A+B) = P(A) + P(B) = 14 105 + 56 105 ≈ 67% (2) Một giỏ cam gồm 12 trái trong đó có 7 trái cam ngon. Mua ngẫu nhiên 6 trái. Tính xác suất có được ít ra 2 trái cam ngon. (3) Một lớp 50 học sinh trong đó có 20 học sinh giỏi Toán, 30 giỏi Văn, 10 giỏi cả hai môn. Gặp ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất gặp được học sinh giỏi ít ra là một môn. (4) Một lớp gồm 50 sinh viên thi 2 môn. Có 40 sinh viên đạt môn I, 30 sinh viên đạt môn II, 5 sinh viên không đạt cả hai môn. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất sinh viên này đạt cả hai môn. 4.2 Công thức nhân 4.2.1 Xác suất có điều kiện Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết B, ký hiệu P(A/B). Ví dụ Xét phép thử tung xúc sắc. A là biến cố "xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 3", B là biến cố "xuất hiện mặt chẳn". Tính P(A/B). Khi đã biết biến cố B xảy ra thì các trường hợp về số chấm xuất hiện là 2, 4, 6. Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A lúc này là 4, 6. Vậy P(A/B) = 2/3. 4.2.2 Tính độc lập của biến cố Nếu P(A/B) = P(A) thì biến cố A gọi là độc lập với biến cố B. Do A độc lập với B thì B cũng độc lập với B nên ta nói A, B là hai biến cố độc lập với nhau. Lúc này việc biết hay chưa biết biến cố này xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Họ biến cố A1, A2, ..., An gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố Ai độc lập với mọi tổ hợp tích của các biến cố còn lại trong họ. Ví dụ Tung đồng xu 2 lần. Gọi A (B) là biến cố được mặt sấp tại lần tung I (II). Tính P(B): Các trường hợp là SS, SN, NS, NN. Các trường hợp thuận lợi là SS, NS. Vậy P(B) = 1/2. Tính P(B/A): Khi biết lần I đã ra mặt sấp thì các trường hợp là SN, SS. Các trường hợp thuận lợi là SS. Vậy P(B/A) = 1/2. Do P(B) = P(B/A) nên hai biến cố "lần I tung được mặt sấp", "lần II tung được mặt sấp" là độc lập nhau. 4.2.3 Công thức nhân P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) * P(A/B) = P(A.B) P(B) = P(B/A).P(A) P(B) * P(A.B.C) = P(A).P(B/A).P(C/A.B) * P(A1.A2...An) = P(A1).P(A2)...P(An) A1, A2,..., An độc lập toàn phần. Ví dụ (1) Hộp I có 2 bi trắng và 10 bi đen, hộp II có 8 bi trắng và 4 bi đen. Lấy ra một bi từ mỗi hộp. Tính xác suất được cả 2 bi trắng. Gọi A là "lấy được bi trắng từ hộp I", B là "lấy được bi trắng từ hộp II" thì 2 biến cố này độc lập. Xác suất cần tính là P(A.B). Theo công thức nhân: P(A.B) = P(A).P(B) = 2 12 × 8 12 ≈ 11% (2) Một xạ thủ bắn 2 phát vào bia. Xác suất bắn trúng phát I là 90%, xác suất bắn trúng cả 2 phát là 80%. Tính xác suất phát II bắn trúng nếu biết phát I đã bắn trúng. (3) Một người muốn mua 2 món hàng bằng cách đấu giá. Xác suất mua được món hàng I (II) là 90% (85%). Nếu biết đã mua được món hàng I thì xác suất mua được món hàng II là 92%. Tính xác suất người này mua được món hàng I nếu biết người này đã mua được món hàng II. (4) Biết rằng 80% sinh viên đạt điểm khá giỏi là đã làm đầy đủ các bài tập về nhà. Lớp có 16% sinh viên đã làm đầy đủ các bài tập về nhà. Vậy việc đã làm đầy đủ các bài tập về nhà làm tăng khả năng đạt điểm khá giỏi lên bao nhiêu lần? Gặp ngẫu nhiên một sinh viên, gọi G là "sinh viên đạt điểm khá giỏi", B là "sinh viên làm đầy đủ các bài tập về nhà". Tỷ lệ cần tính là P(G/B)/P(G). Ta có: P(B/G) = 80% P(B) = 16% P(G/B) P(B/G) P(G) P(B) = = 80%/16% = 5 Việc đã làm đầy đủ các bài tập về nhà làm tăng khả năng đạt điểm khá giỏi lên 5 lần. (5) Một người tìm việc làm bằng cách nộp đơn xin việc tại 3 công ty. Xác suất được nhận vào làm việc lần lượt là 90%, 88%, 85%. Tính xác suất người này xin được việc làm. (6) Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 câu trả lời trong đó chỉ có một câu đúng. Một thí sinh làm 5 câu hỏi trắc nghiệm và đều chọn câu trả lời một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất thí sinh này đúng được 2 câu. Gọi A là biến cố "thí sinh chọn đúng câu trả lời" thì p = p(A) = 1/4 và P(A ) = 1 – p. Sau khi thí sinh trả lời xong 5 câu hỏi trắc nghiệm thì biến cố xảy ra có dạng B1.B2.B3.B4.B5 trong đó Bi là A hoặc là A . Do thí sinh này chọn ngẫu nhiên nên việc trả lời mỗi câu trắc nghiệm sẽ độc lập, tức là họ biến cố B1, B2, B3, B4, B5 độc lập toàn phần. Vậy: P(B1.B2.B3.B4.B5) = P(B1).P(B2).P(B3).P(B4).P(B5) Để chọn đúng được 2 câu, trong 5 vị trí Bi phải có đúng 2 vị trí là A và 3 vị trí còn lại là A . Vậy xác suất của biến cố dạng B1.B2.B3.B4.B5 là: P(B1.B2.B3.B4.B5) = p 2(1 – p)3 Các biến cố ta quan tâm có dạng "chọn ra 2 vị trí để ghi A, 3 vị trí còn lại ghi A " nên sẽ có 25C biến cố dạng này. Ngoài ra chúng xung khắc từng đôi vì có khác một vị trí A thì không thể xảy ra đồng thời. Theo công thức cộng, xác suất cần tính là: p2 = 2 5C .p 2(1 – p)3 ≈ 26% Mô hình trên thường gặp trong các bài toán xác suất. Tổng quát hoá, ta có: Công thức Nhị thức (Bernoulli) Sau phép thử biến cố A xảy ra với xác suất p. Lập lại phép thử n lần độc lập. Gọi X là số lần xảy ra biến cố A. P(X=k) = k k n knC p (1 p) − − 4.3 Công thức Xác Suất Đầy Đủ A1, A2,..., An là họ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi, B là một biến cố. P(B) = n i i i 1 P(B/A ).P(A ) = ∑ Công thức cũng đúng nếu họ A1, A2, ..., An xung khắc từng đôi và B ⊂ A1+A2+...+An. Ví dụ (1) Một lớp có 50 nam và 70 nữ. Tỷ lệ nam biết luật bóng đá là 90%, của nữ là 60%. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất sinh viên này biết luật bóng đá. Gọi B là "gặp được sinh viên biết luật bóng đá", A1 là "gặp sinh viên nam", A2 là "gặp sinh viên nữ". A1, A2 là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Xác xuất cần tính là P(B). Ta có: P(A1)= 50 120 P(A2)= 70 120 P(B/A1)=90% P(B/A2)=60% Theo công thức Xác Suất Đầy Đủ: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) ≈ 73% (2) Nhà máy gồm 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng I sản xuất 20% sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,1%, phân xưởng II sản phẩm 30% với tỷ lệ phế phẩm là 0,5%, nhà máy III sản xuất 50% với tỷ lệ phế phẩm là 0,6%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính xác suất gặp phế phẩm. 4.4 Công thức Bayes A1, A2, ..., An là họ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi, B là một biến cố. P(Ai/B) = i i P(B/A ).P(A ) P(B) Ví dụ (1) Một hộp gồm 4 bi trắng và 2 bi đen. Lấy lần lượt ra 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất lần I lấy được bi trắng nếu biết lần II lấy được bi trắng. Gọi B là "lần II lấy được bi trắng", A1 là "lần I lấy được bi trắng", A2 là "lần I lấy được bi đen". A1, A2 là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Xác suất cần tính là P(A1/B). Ta có: P(A1) = 4 6 P(A2) = 2 6 P(B/A1) = 3 5 P(B/A2) = 4 5 Theo công thức Bayes: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) = 2 3 P(A1/B) = P(B A ) P(A ) P(B) 1 1/ . = 60% (2) Số sản phẩm phân xưởng I sản xuất chiếm 25% tổng số sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 1%, phân xưởng II sản xuất 25% với tỷ lệ phế phẩm 5%, nhà máy III sản xuất 50% với tỷ lệ phế phẩm 10%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy đây là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm này được sản xuất từ nhà máy III. (3) Trên bàn có 10 cây viết trong đó có 3 cây viết đỏ. Lấy ngẫu nhiên một cây viết bỏ vào cặp. Trong cặp đã có 4 viết đỏ và 2 viết xanh. Lấy ngẫu nhiên một cây viết từ cặp. Tính xác suất cây viết này là cây viết đã lấy từ bàn học biết rằng đây là cây viết đỏ. (4) (Theo New York Times ngày 5/9/1987) Tỷ lệ nhiễm một loại bệnh trong một cộng đồng là 1/10.000. Người ta dùng một loại xét nghiệm để tìm bệnh nhân. Xét nghiệm này cho kết quả dương tính nếu mẩu thử nhiễm bệnh nhưng đôi khi cũng cho kết quả dương tính với mẫu thử không nhiễm bệnh với tỷ lệ 1/20.000. Một người đi xét nghiệm và thấy kết quả dương tín