Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 67 ▪ 3.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên ▪ 3.2. Bảng phân phối xác suất ▪ 3.3. Hàm phân phối xác suất ▪ 3.4. Các tham số đặc trưng ▪ 3.5. Phân phối Không-Một ▪ 3.6. Phân phối Nhị thức ▪ 3.7. Phân phối Poisson BÀI 3 – BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc. Gọi 𝑋 là số chấm xuất hiện 𝑋 có thể nhận 1, 2, 3, 4, 5, 6 ▪ Ví dụ: Gọi 𝑌 là điểm kiểm tra môn xác suất 𝑌 nhận các giá trị 0, 1, 2, ,10 ▪ Ví dụ: Gọi 𝑍 là năng suất lúa 𝑍 nhận các giá trị trong khoảng (0; 10) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 68 3.1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Một biến số là biến ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó chỉ nhận 1 và chỉ 1 trong các giá trị có thể có của nó . ▪ Kí hiệu biến ngẫu nhiên: 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑋1, 𝑋2, ▪ Giá trị có thể có của 𝑋: 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛) • (𝑋 = 𝑥𝑖) là các biến cố 𝑋 nhận giá trị 𝑥𝑖 • 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) là xác suất 𝑋 nhận giá trị 𝑥𝑖 ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc: Nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được. ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục: Nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 69 Khái niệm biến ngẫu nhiên LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 70 3.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có và các xác suất tương ứng. Các phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 71 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận các giá trị 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛 với xác suất tương ứng 𝑝1, 𝑝2, , 𝑝𝑛 Bảng trên gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑘 𝑥𝑛 𝑃 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑘 𝑝𝑛 1 0 1, 1 n i i i p p =   = Bảng phân phối xác suất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 72 Ví dụ 3.1. Hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Lấy đồng thời 2 sản phẩm. Gọi 𝑋 số sản phẩm tốt lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của 𝑋 ▪ Gọi 𝑋 là số chính phẩm lấy được; 𝑋 = 0, 1, 2 𝑋 0 1 2 𝑃 ? ? ? Bảng phân phối xác suất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 73 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, kí hiệu 𝐹(𝑥), là xác suất để biến ngẫu nhiên 𝑋 nhận giá trị nhỏ hơn 𝑥, với 𝑥 là số thực bất kì 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) ▪ Ý nghĩa: Hàm phân bố xác suất 𝐹(𝑥) phản ánh mức độ tập trung xác suất ở bên trái điểm x. 3.3. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ Tính chất 1: 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 ▪ Tính chất 2: 𝐹(𝑥) là hàm không giảm 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎) ▪ Tính chất 3: 𝐹 𝑥 = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 < 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝐹(𝑥) = 1 𝑛ế𝑢 𝑥 > 𝑥𝑚𝑎𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 74 Tính chất hàm phân phối xác suất ▪ KÌ VỌNG (EXPECTED VALUE) ▪ Kì vọng của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝐸(𝑋) ▪ 𝑬 𝑿 = σ𝒊 𝒙𝒊𝒑𝒊 ▪ Ví dụ: Tính kì vọng của biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 75 3.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG 𝑋 1 2 3 4 5 𝑃 0,1 0,4 0,25 0,2 0,05 ▪ Kì vọng phản ánh giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. ▪ 𝐸(𝑋) đơn vị trùng với đơn vị của 𝑋 ▪ Tính chất: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 76 Kì vọng 𝐸 𝐶 = 0 , 𝐶: hằng số 𝐸 𝐶 + 𝑋 = 𝐶 + 𝐸(𝑋) 𝐸 𝐶. 𝑋 = 𝐶. 𝐸(𝑋) 𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌) 𝐸 𝑋. 𝑌 = 𝐸 𝑋 . 𝐸 𝑌 nếu 𝑋, 𝑌 độc lập ▪ Ví dụ: ▪ So sánh điểm số giữa 2 lớp LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 77 Điểm lớp A 6 7 8 Số SV 40 20 40 Xác suất 0,4 0,2 0,4 Điểm lớp B 5 7 9 Số SV 40 20 40 Xác suất 0,4 0,2 0,4 Phương sai 𝑉(𝑋) = 𝐸 𝑋 – 𝐸 𝑋 2 Biến đổi ta có: 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) – 𝐸 𝑋 2 Trong đó: 𝐸 𝑋2 = σ𝑥𝑖 2𝑝𝑖 ▪ Chú ý: 𝑉(𝑋) ≥ 0 ▪ Tính chất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 78 Phương sai 𝑉 𝐶 = 0 , 𝐶: hằng số 𝑉 𝑋 + 𝐶 = 𝑉 𝑋 𝑉 𝐶 × 𝑋 = 𝐶2 × 𝑉 𝑋 𝑉 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 với 𝑋 và 𝑌 độc lập ▪ Ý nghĩa: Phương sai phản ánh độ phân tán của biếngẫu nhiên. Phương sai lớn thì độ phân tán lớn. Phương sai phản ánh độ rủi ro, độ ổn định, độ đồng đều ▪ Đơn vị của phương sai? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 79 Phương sai ▪ Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝜎(𝑋), là căn bậc hai của phương sai: 𝜎𝑋 = 𝑉 𝑋 ▪ Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn phản ánh độ phân tán của biến ngẫu nhiên. ▪ Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của 𝑋 ▪ Đơn vị của độ lệch chuẩn là đơn vị của 𝑋 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 80 Độ lệch chuẩn ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1 với xác suất được tính bằng công thức ▪ Bảng phân phối xác suất ▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐴(𝑝) ▪ Tham số đặc trưng: 𝐸(𝑋) = 𝑝; 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 81 𝑋 0 1 𝑃 1 − 𝑝 𝑝 1( ) (1 ) ; 0,1x xP X x p p x−= = − = 3.5. PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT ▪ Xét n phép thử độc lập ▪ Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p ▪ 𝑋 là số lần A xảy ra trong 𝑛 lần thử ▪ 𝑋 có thể nhận các giá trị 0, 1, 2,, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức: 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐶𝑛 𝑥𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 ; 𝑥 = 0,1, , 𝑛 ▪ 𝑋 gọi là phân phối Nhị thức với tham số 𝑛 và 𝑝. ▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 82 3.6. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Các tham số đặc trưng: ▪ Kì vọng 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝; ▪ Phương sai 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). ▪ Mốt 𝑚0 (giá trị có xác suất lớn nhất) thỏa mãn 𝑛𝑝 + 𝑝 – 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝 Ví dụ: Một người đi chào hàng ở 10 địa điểm độc lập nhau. Xác suất bán được hàng ở mỗi đại điểm đều bằng 0,2. a) Tính xác suất bán được hàng ở đúng 3 địa điểm. b) Tính xác suất bán được hàng ở ít nhất 2 địa điểm. c) Tính kì vọng, phương sai, mốt của số địa điểm bán được LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 83 Phân phối Nhị thức ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận một trong các giá trị có thể có là 0, 1,2, với các xác suất tương ứng được tính theo công thức gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số 𝜆. ▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝑃(𝜆) ▪ Nếu 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝) với 𝑛 khá lớn, 𝑝 khá nhỏ và 𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑝𝑞 thì coi như 𝑋 ~ 𝑃(𝜆) • Các tham số đặc trưng 𝐸(𝑋) = 𝜆; 𝑉(𝑋) = 𝜆; 𝜆 − 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝜆 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 84 ( ) ; 0,1,2,... ! x xP P X x e x x  −= = = = 3.7. PHÂN PHỐI POISSON