Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và quy luật phân phối xác suất

4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục 4.2. Hàm phân phối xác suất 4.3. Hàm mật độ xác suất 4.4. Các tham số đặc trưng 4.5. Phân phối Đều 4.6. Phân phối Chuẩn 4.7. Phân phối khác ▪ [1] Chương 2, trang 79 – 128. Chương 3, tr 167 – 196. ▪ [2] Chapter 1, pp. 177 – 223. ▪ [3] Chapter 6, pp. 265 – 297. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 85 BÀI 4 – BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 86 ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable) là biến ngẫu nhiên có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng 𝑎; 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Ví dụ ▪ Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên ▪ Lợi nhuận của nhà đầu tư cổ phiếu sau một năm ▪ Cân nặng của trẻ sơ sinh ở Việt Nam 4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC ▪ Hàm phân phối xác suất( hàm tích lũy xác suất - Cumulative Distribution Function) của biến ngẫu nhiên 𝑋 là: 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 87 4.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 88 ▪ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑜 = 0 ⇒ 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 Tính chất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 89 • 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ xác suất (Density Function) của 𝑋, ký hiệu 𝑓 𝑥 , là: 𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥) Hàm mật độ xác suất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 90 ▪ 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ▪ 𝐹 𝑥 = ׬−∞ x f(t) 𝑑𝑡 ▪ ׬−∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 ▪ 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = ׬𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Tính chất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 91 ▪ Kỳ vọng: 𝐸 𝑋 = න −∞ +∞ 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ▪ Phương sai: 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 𝐸 𝑋2 = න −∞ +∞ 𝑥2. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ▪ Độ lệch chuẩn: 𝜎 = 𝑉 𝑋 4.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 92 ▪ Trung vị Trung vị, ký hiệu 𝑚𝑑, là giá trị chia phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau. ׬−∞ 𝑚𝑑 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0,5 ▪ Mốt Mốt, ký hiệu 𝑚𝑜, là giá trị mà tại đó hàm mật độ xác suất 𝑓 𝑥 đạt giá trị cực đại. Trung vị và Mốt LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 93 Giá trị tới hạn mức 𝛼 của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu 𝑥𝛼, là giá trị của 𝑋 thỏa mãn: 𝑃 𝑋 > 𝑥𝛼 = 𝛼 Giá trị tới hạn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 94 ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối Đều (Uniform Distribution) trên khoảng 𝑎; 𝑏 nếu hàm mật độ xác suất của 𝑋 có dạng: 𝑓 𝑥 = ቐ 1 𝑏 − 𝑎 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) 0 𝑥 ∉ (𝑎; 𝑏) ▪ Ký hiệu: 𝑋 ∼ 𝑈 𝑎; 𝑏 4.5. PHÂN PHỐI ĐỀU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 95 ▪ 𝐸 𝑋 = 𝑎+𝑏 2 ▪ 𝑉 𝑋 = 𝑏−𝑎 2 12 ▪ 𝑃 𝑐 < 𝑋 < 𝑑 = 𝑑−𝑐 𝑏−𝑎 a c d b Phân phối đều 4.6. QUY LUẬT CHUẨN ▪ 𝐵 (𝑛; 𝑝 = 0,5) với 𝑛 = 10; 20; 100 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 96 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 1 7 131925313743495561677379859197 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 20 40 60 80 100 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 97 ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có phân phối Chuẩn (Normal Distribution) nếu hàm mật độ xác suất của 𝑋 có dạng: 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 𝑥−𝜇 2 2𝜎2 ▪ Đồ thị của 𝑓 𝑥 có dạng quả chuông và đối xứng qua đường thẳng 𝑥 = 𝜇 ▪ Ký hiệu: 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎2 Phân phối Chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 98 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎2 ▪ 𝐸 𝑋 = 𝜇 ▪ 𝑉 𝑋 = 𝜎2 Khi  tăng thì đồ thị của 𝑓(𝑥) dịch sang phải Khi 𝜎 tăng thì đồ thị của 𝑓(𝑥) thấp xuống và rộng ra Các tham số LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 99 ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑍 được gọi là có phân phối Chuẩn hóa (Standardzied Normal Distribution), nếu 𝑍 có phân phối Chuẩn với 𝜇 = 0 và 𝜎2 = 1. 𝑍 ∼ 𝑁 0; 1 ▪ Hàm mật độ xác suất của 𝑍 có dạng: 𝜑 𝑧 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑧2 2 ▪ Đồ thị hàm mật độ có dạng hình quả chuông đối xứng qua trục tung. Phân phối Chuẩn hóa LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 100 ▪ Hàm phân phối xác suất Φ 𝑥 = න −∞ 𝑥 𝜑 𝑧 𝑑𝑧 = 1 2𝜋 න −∞ 𝑥 𝑒− 𝑧2 2 𝑑𝑧 ▪ Tính chất: Φ −𝑥 + Φ 𝑥 = 1 Phân phối Chuẩn hóa LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 101 ▪ Cho 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎2 Đặt 𝑍 = 𝑋−𝜇 𝜎 Khi đó: 𝑍 ∼ 𝑁 0; 1 • 𝑃 𝑍 < 𝑏 = Φ 𝑏 • 𝑃 𝑍 > 𝑎 = 1 − Φ 𝑎 • 𝑃 𝑍 > −𝑎 = 𝑃 𝑍 < 𝑎 = Φ 𝑎 • 𝑃 𝑎 < 𝑍 < 𝑏 = Φ 𝑏 − Φ(𝑎) ▪ Ví dụ Tính 𝑃 𝑍 > 1,96 𝑃 −2 ≤ 𝑍 ≤ 2 Phân phối Chuẩn hóa LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 102 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎2 • 𝑃 𝑋 < 𝑏 = 𝑃 𝑋−𝑏 𝜎 < 𝑏−𝜇 𝜎 = 𝑃 𝑍 < 𝑏 − 𝜇 𝜎 = Φ 𝑏 − 𝜇 𝜎 • 𝑃 𝑋 > 𝑎 = 1 − Φ 𝑎−𝜇 𝜎 • 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = Φ 𝑏−𝜇 𝜎 − Φ 𝑎−𝜇 𝜎 Công thức tính xác suất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 103 Ví dụ 4.6: Lợi nhuận (đv: triệu) của một dự án là biến ngẫu nhiên có phân phối Chuẩn, với trung bình bằng 500, phương sai bằng 400. Tính xác suất để: a) Lợi nhuận cao hơn 540. b) Lợi nhuận thấp hơn 570. c) Lợi nhuận từ 480 đến 550. Ví dụ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 104 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎2 𝑃 𝑋 –  <  = 2Φ 𝜀 𝜎 − 1 Ba trường hợp riêng: • Quy tắc 1-sigma: 𝑃(|𝑋 –  | < 𝜎) = 0,6826 • Quy tắc 2-sigma: 𝑃 𝑋 –  < 2𝜎 = 0,9544 • Quy tắc 3-sigma: 𝑃 𝑋 –  < 3𝜎 = 0,9974 Xác suất biến ngẫu nhiên sai lệch so với kì vọng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 105 ▪ 𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑛 độc lập ▪ 𝑋𝑖 ∼ 𝑁 𝜇𝑖 , 𝜎𝑖 2 , 𝑖 = 1,2, , 𝑛 thì: ▪ Thì: 𝑌 = σ𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖𝑋𝑖 ∼ 𝑁 𝜇𝑌, 𝜎𝑌 2 Trong đó: 𝜇𝑌 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖𝜇𝑖 ; 𝜎𝑌 2 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 2𝜎𝑖 2 Tổ hợp của các BNN phân phối chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 106 𝑋 ~ 𝐵 𝑛; 𝑝 ▪ Khi n  100 thì 𝑋 ~ 𝑁 , 𝜎2 ▪ Với  = np và 𝜎2 = 𝑛𝑝 1 – 𝑝 Ví dụ Xác suất để một khách hàng vào siêu thị mua sản phẩm của hãng A là 0,3. Tính xác suất để trong 200 khách vào siêu thị có: a) Nhiều hơn 70 khách mua hàng của hãng A. b) Từ 40 đến 50 khách mua hàng của hãng A. Hội tụ của phân phối B(n;p) về Chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 107 ▪ Giá trị tới hạn Chuẩn mức 𝛼, ký kiệu là 𝑧𝛼, được xác định bởi: 𝑃 𝑍 > 𝑧𝛼 = 𝛼 ▪ Ví dụ 𝑃 𝑍 > 1,96 = 0.025 ⇒ 𝑧0,025 = 1,96 ▪ Tính chất: 𝑧1−𝛼 = −𝑧𝛼 Giá trị tới hạn chuẩn 4.7. PHÂN PHỐI KHÁC ▪ Phân phối Khi bình phương ▪ Phân phối Student ▪ Phân phối Fissher LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 108 ▪ BNN liên tục 𝜒2 tuân theo quy luật Khi bình phương với n bậc tự do (degree of freedom: df) ▪ Ký hiệu: 𝜒2~𝜒2(𝑛) ▪ Tham số: 𝐸(𝜒2) = 𝑛; 𝑉 𝜒2 = 2𝑛 ▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu 𝜒𝛼 2(𝑛) 𝑃 𝜒2(𝑛) > 𝜒𝛼 2(𝑛) = 𝛼 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 109 Phân phối Khi bình phương ▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 7 giáo trình ▪ Bảng giản lược LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 110 α n 0.975 0.95 0.05 0.025 α n 0.975 0.95 0.05 0.025 1 0.001 0.004 3.841 5.024 20 9.591 10.85 31.41 34.17 2 0.051 0.103 5.991 7.378 24 12.40 13.85 36.42 39.36 3 0.216 0.352 7.815 9.348 30 16.79 18.49 43.77 46.98 4 0.484 0.711 9.488 11.14 39 23.65 25.70 54.57 58.12 5 0.831 1.145 11.07 12.83 50 32.36 34.76 67.50 71.42 10 3.247 3.940 18.31 20.48 99 73.36 77.05 123.2 128.4 15 6.262 7.261 25.00 27.49 120 91.57 95.70 146.6 152.2 Phân phối Khi bình phương ▪ BNN liên tục T tuân theo quy luật Student với 𝑛 bậc tự do, ký hiệu: 𝑇 ~ 𝑇(𝑛) ▪ Tham số: 𝐸(𝑇) = 0; 𝑉 𝑇 = 𝑛 𝑛−2 ▪ Giá trị tới hạn mức , kí hiệu: 𝑡𝛼 (𝑛) 𝑃 𝑇(𝑛) > 𝑡𝛼 (𝑛) = 𝛼 ▪ Tính chất: • 𝑡1−𝛼 𝑛 = −𝑡𝛼 (𝑛) • Với n > 30 thì 𝑡𝛼 (𝑛) ≈ 𝑢𝛼 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 111 Phân phối Student ▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 8 giáo trình ▪ Bảng giản lược LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 112 α n 0.1 0.05 0.025 α n 0.1 0.05 0.025 10 1.372 1.812 2.228 17 1.333 1.740 2.110 11 1.363 1.796 2.201 18 1.330 1.734 2.101 12 1.356 1.782 2.179 19 1.328 1.729 2.093 13 1.350 1.771 2.160 20 1.325 1.725 2.086 14 1.345 1.761 2.145 24 1.318 1.711 2.064 15 1.341 1.753 2.131 30 1.310 1.697 2.042 16 1.337 1.746 2.120  1.282 1.645 1.960 Phân phối Student ▪ BNN liên tục F tuân theo quy luật Fisher-Snedecor (gọi tắt là Fisher) với hai bậc tự do n1 và n2 ▪ Ký hiệu: 𝐹 ~ 𝐹(𝑛1, 𝑛2) ▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu: 𝑓𝛼 (𝑛1,𝑛2) 𝑃 𝐹 𝑛1, 𝑛2 > 𝑓𝛼 (𝑛1,𝑛2) = 𝛼 ▪ Tính chất: 𝑓1−𝛼 (𝑛1,𝑛2) = 1 𝑓𝛼 (𝑛2,𝑛1) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 113 Phân phối Fisher ▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 9 giáo trình; Bảng giản lược: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 114 n2 n1 α 24 39 59 99 120 24 0.025 2.27 2.15 2.08 2.03 2.01 0.05 1.98 1.90 1.84 1.80 1.79 39 0.025 2.02 1.89 1.82 1.75 1.74 0.05 1.80 1.70 1.65 1.60 1.58 49 0.025 1.94 1.81 1.73 1.66 1.65 0.05 1.74 1.64 1.58 1.53 1.52 59 0.025 1.89 1.75 1.67 1.60 1.59 0.05 1.70 1.60 1.54 1.49 1.47 99 0.025 1.79 1.65 1.56 1.49 1.46 0.05 1.63 1.52 1.45 1.39 1.38 Phân phối Fisher