Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên & quy luật phân phối xác suất

Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN & QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ Biến ngẫu nhiên là khái niệm trung tâm của lý thuyết xác suất ▪ Hiểu được khái niệm và cách phản ánh quy luật của biến ngẫu nhiên, thông qua quy luật phân phối xác suất ▪ Khái niệm về các tham số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên trong kinh tế - kinh doanh LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 51 NỘI DUNG CHƯƠNG 2 ▪ 2.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên ▪ 2.2. Quy luật phân phối xác suất • Bảng phân phối xác suất • Hàm phân phối xác suất • Hàm mật độ xác suất ▪ 2.3. Tham số đặc trưng • Kỳ vọng • Phương sai, độ lệch chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 52 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Định nghĩa 2.1. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên (random variable) nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. ▪ Viết tắt là BNN ▪ Ký hiệu: X, Y, Z hoặc X1, X2, ▪ Giá trị có thể có của X là x1, x2,. ▪ (X = x1), (X = x2) là các biến cố LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 53 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.1. Phân loại biến ngẫu nhiên ▪ Biến ngẫu nhiên là rời rạc (discrete) nếu các giá trị có thể có của nó lập thành một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được • Ví dụ: Điểm số, Số người vào cửa hàng • X = {x1, x2,, xn}; n có thể =  ▪ Biến ngẫu nhiên là liên tục (continuous) nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số • Ví dụ: Thời gian, Khoảng cách, Năng suất • X = (a, b) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 54 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên 2.2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó ▪ Ba cách thể hiện thông thường: • Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc) • Hàm phân phối xác suất (hàm tích lũy xác suất) • Hàm mật độ xác suất (chỉ cho BNN liên tục) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 55 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Bảng phân phối xác suất ▪ Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability) ▪ X rời rạc, X = {x1, x2,, xn} ; n có thể bằng  ▪ Xác suất: pi = P(X = xi), i = 1  n ▪ Tính chất: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 56 X x1 x2 xn P p1 p2 pn     1 0 1 & 1 n i i i p p Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Hàm phân bố xác suất F(x) ▪ Còn gọi là hàm tích lũy xác suất (cumulative probability function) ▪ Định nghĩa 2.2. Hàm phân bố xác suất của X, ký hiệu là F(x), x ℝ, được tính bởi công thức: F(x) = P(X < x) ▪ Nếu X rời rạc: F(x) = LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 57   i i x x p Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Ví dụ 2.1 ▪ BNN X rời rạc có: ▪ Hàm F(x) sẽ là: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 58 X 1 2 3 P 0,3 0,5 0,2 0 1 0 3 1 2 0 8 2 3 1 3           : , : ( ) , : : x x F x x x x x 1 2 3 0,8 0,3 1 0,3 0,5 0,2 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Tính chất của F(x) ▪ F(x) thuộc đoạn [0, 1] ▪ F(x) là hàm không giảm: x1 < x2 thì F(x1)  F(x2) • Hệ quả: P(a  X < b) = F(b) – F(a) • Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = 0 • Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a  X  b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a < X < b) ▪ F(–) = 0 và F(+) = 1 • Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì F(x) = 0 với x  a và F(x) = 1 với x > b LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 59 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất f(x) ▪ Biến ngẫu nhiên X liên tục thì hàm F(x) liên tục ▪ Định nghĩa 2.3. Hàm mật độ xác suất (probability density function: PDF) của BNN liên tục X, ký hiệu là f(x), x ℝ, là đạo hàm của hàm F(x): f(x) = F (x) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 60 x x F(x) f(x) Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Tính chất của f(x) ▪ Tính chất 1: f(x)  0  x ▪ Tính chất 2: ▪ Tính chất 3: ▪ Tính chất 4: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 61    ( ) ( ) b a P a X b f x dx    ( ) 1f x dx   ( ) ( ) x F x f x dx Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Ví dụ 2.2 ▪ Thời gian chờ của khách hàng (giờ) ở một cửa hàng có hàm mật độ: ▪ (a) Tính xác suất một khách chờ hơn nửa giờ ▪ (b) Tính xác suất một khách chờ từ 20 đến 40 phút ▪ (c) Tìm mức thời gian mà 20% số khách chờ lâu hơn mức đó LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 62 : [ , ] ( ) : [ , ] 0 0 1 2 0 1 x f x x x     Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất Ví dụ 2.2 ▪ Minh họa ví dụ ▪ Hàm F(x) có dạng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 63 x x f(x)        : ( ) : : x F x x x x 2 0 0 0 1 1 1 1/3 2/3 1 F(x) 4/9 1/9 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất 2.3. CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Các tham số đặc trưng xu thế trung tâm: Kỳ vọng toán, trung vị, mốt ▪ Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên ▪ Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số nhọn, hệ số bất đối xứng ▪ Tại đây tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch chuẩn, Giá trị tới hạn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 64 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Kỳ vọng toán ▪ Định nghĩa 2.4. Kỳ vọng toán (expected value) của BNN X, ký hiệu là E(X), được tính : • Nếu X rời rạc: • Nếu X liên tục: ▪ Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là số xác định ▪ Kỳ vọng có cùng đơn vị với X ▪ Kỳ vọng đo độ lớn về mặt trung bình LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 65   1 ( ) n i i i E X x p    ( ) ( )E X x f x dx Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Tính chất của kỳ vọng toán ▪ Nếu C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên ▪ Tính chất 1: E(C) = C ▪ Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X) ▪ Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y) • Hệ quả: 𝐸 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝐸(𝑋𝑖) ▪ Tính chất 4: Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = E(X).E(Y) • Hệ quả: Nếu các Xi độc lập: 𝐸 ς𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 = ς𝑖=1 𝑛 𝐸(𝑋𝑖) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 66 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Phương sai ▪ Định nghĩa 2.5. Phương sai (variance) của BNN X, ký hiệu V(X) được tính theo công thức: V(X) = E( X – E(X))2 ▪ Chứng minh được: V(X) = E(X2) – (E(X))2 • X rời rạc: • X liên tục: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 67   2 2 1 ( ) n i ii E X x p     2 2( ) ( )E X x f x dx Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Phương sai ▪ Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X quanh kỳ vọng toán ▪ Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X ▪ Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X) > V(Y) thì: • X biến động, dao động, phân tán hơn Y • Y ổn định, đồng đều hơn X LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 68 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Tính chất của phương sai ▪ Với C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên ▪ Tính chất 1: V(C) = 0 ▪ Tính chất 2: V(C.X) = C2V(X) ▪ Tính chất 3: Nếu X, Y độc lập: V(X + Y) = V(X) + V(Y) • Hệ quả: Nếu các Xi độc lập: • Hệ quả: V(C + X) = V(X) • Hệ quả: V(X – Y) = V(X) + V(Y) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 69    1 1 ( )n ni ii iV X V X Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Độ lệch chuẩn ▪ Định nghĩa 2.6. Độ lệch chuẩn (standard deviation) của BNN X, ký hiệu σX là căn bậc hai của phương sai ▪ Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ dao động, phân tán của X tương tự ý nghĩa phương sai, nhưng: ▪ Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với X ▪ Phương sai, độ lệch chuẩn đo độ biến động tuyệt đối LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 70 σ  ( ) X V X Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3 ▪ Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn của X: ▪ (a) Với X là số lần bán được hàng trong ngày, có bảng phân phối xác suất: ▪ (b) Với X là thời gian chờ đợi ở cửa hàng (giờ), có hàm mật độ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 71 X 1 2 3 P 0,3 0,5 0,2 : [ , ] ( ) : [ , ] 0 0 1 2 0 1 x f x x x     Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.4 Một người chơi trò chơi phải bỏ tiền. Nếu thắng sẽ được nhận 70 lần số tiền bỏ ra, nếu thua sẽ mất toàn bộ số tiền. Xác suất thắng bằng 1%. Tính kì vọng, phương sai của lợi ích về tiền khi: ▪ (a) Chơi một lần, bỏ ra 1 triệu đồng ▪ (b) Chơi một lần, bỏ ra 10 triệu đồng ▪ (c) So sánh khi chơi 1 lần 10 triệu và chơi 10 lần - mỗi lần 1 triệu, biết các lần chơi là độc lập nhau LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 72 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Hệ số biến thiên ▪ Định nghĩa 2.7. Hệ số biến thiên (coefficient of variation) của X ký hiệu là CV được tính theo công thức: ▪ Hệ số biến thiên đơn vị là % ▪ Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối ▪ Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều BNN khác nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 73 σ  100% | ( )| XCV E X Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Trung vị ▪ Định nghĩa 2.8. Trung vị (median) của BNN X ký hiệu là md là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất ▪ Nếu X rời rạc: md = xi thỏa mãn: F(xi)  0,5 < F(xi+1) ▪ Nếu X liên tục: md thỏa mãn: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 74   ( ) 0,5 d m f x dx Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Mốt (mode) ▪ Định nghĩa 2.9. Mốt (mode) của BNN X, ký hiệu m0 là giá trị - nếu có - ứng với xác suất lớn nhất (X rời rạc) hoặc hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục) ▪ BNN có thể không có mốt, có 1 mốt, hoặc nhiều mốt LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 75 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên Giá trị tới hạn ▪ Định nghĩa 2.10. Với X liên tục, giá trị tới hạn (cutoff point, critical value) mức  (0    1) ký hiệu là x là số thực sao cho: P(X > x) =  ▪ Ngoài ra còn Hệ số bất đối xứng (Skewness) và Hệ số nhọn (Kurtosis): tự đọc LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 76 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên TÓM TẮT CHƯƠNG 2 ▪ Biến ngẫu nhiên và giá trị có thể có ▪ BNN rời rạc và liên tục ▪ Quy luật phân phối xác suất: Bảng phân phối xác suất, hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất ▪ Các tham số và ý nghĩa: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 77 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật Bài tập cơ bản trong Giáo trình ▪ Trang 84: 2.1, 2.2 ▪ Trang 91: 2.7 ▪ Trang 98: 2.9, 2.12 ▪ Trang 113: 2.19, 2.22, 2.23 ▪ Trang 123: 2.30, 2.34, 2.36, 2.41, 2.42 ▪ Trang 133: 2.50, 2.51, 2.53 ▪ Trang 136: 2.65, 2.67, 2.74, 2.76, 2.77, 2.83, 2.85, 2.86 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 78 Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật