Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG ▪ Giới thiệu một số quy luật phân phối xác suất thông dụng nhất trong kinh tế, gồm hai nhóm: ▪ Các quy luật rời rạc: Không-một, Nhị thức, Poisson ▪ Các quy luật liên tục: Đều, Chuẩn, Khi-bình phương, Student, Fisher ▪ Các ứng dụng của các quy luật trong kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 79 Chương 3. NỘI DUNG CHƯƠNG 3 ▪ 3.1. Quy luật Không-một – A(p) ▪ 3.2. Quy luật Nhị thức – B(n, p) ▪ 3.3. Quy luật Poisson – P() ▪ 3.4. Quy luật Đều – U(a, b) ▪ 3.5. Quy luật Chuẩn – N(, σ2) ▪ 3.6. Quy luật Khi bình phương – 2(n) ▪ 3.7. Quy luật Student – T(n) ▪ 3.8. Quy luật Fisher Snedecor – F(n1, n2) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 80 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1. QUY LUẬT KHÔNG-MỘT – A(p) ▪ Còn gọi là quy luật Bernoulli ▪ X rời rạc chỉ nhận hai giá trị 0, 1 ▪ P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 – p ▪ Hay: ▪ X gọi là phân phối theo quy luật Không-một với tham số p ▪ Ký hiệu X ~ A(p) ▪ Tham số đặc trưng E(X) = p ; V(X) = p(1 – p) ; 𝜎𝑋 = 𝑝(1 − 𝑝) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 81    1( ) (1 ) ; 0,1x xP X x p p x Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1 Ví dụ 3.1 ▪ Có 4 người bắn vào bia độc lập nhau, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất trúng của mỗi người lần lượt là 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9. ▪ (a) Số viên đạn trúng bia của mỗi người có quy luật phân phối thế nào? ▪ (b) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số viên đạn trúng bia ▪ (c) Nếu có n người và xác suất trúng của mỗi người đều là 0,6 thì câu (b) có kết quả thế nào? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 82 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1. Quy luật Không-một 3.2. QUY LUẬT NHỊ THỨC – B(n, p) ▪ Biến ngẫu nhiên X rời rạc có giá trị có giá trị có thể có là X = {0, 1, 2,, n} ▪ Công thức tính xác suất ▪ X gọi là phân phối theo quy luật Nhị thức (Binomial) với hai tham số n và p ▪ Ký hiệu X ~ B(n, p) ▪ Có thể tra giá trị xác suất qua Phụ lục 1 (trang 939) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 83    ( ) (1 ) ; 0,1,2,...,x x n x n P X x C p p x n Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Tham số đặc trưng của quy luật B(n, p) ▪ Nếu X ~ B(n, p) thì X = X1 + X2 + + Xn với mỗi Xi đều phân phối Không-một: Xi ~ A(p) ▪ Kỳ vọng: E(X) = np ▪ Phương sai: V(X) = np(1 – p) ▪ Độ lệch chuẩn: 𝝈𝑿 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) ▪ Mốt m0 thỏa mãn: (n + 1)p – 1  m0  (n + 1)p LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 84 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức Quy luật phân phối của tần suất ▪ X ~ B(n, p) thì tần suất là f : ▪ Tần suất f phân phối theo quy luật Nhị thức tỷ lệ ▪ Tham số đặc trưng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 85  X f n σ      (1 ) (1 ) ( ) ; ( ) ; f p p p p E f p V f n n Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức Ví dụ 3.2 ▪ Một đề thi trắc nghiệm gồm 60 câu hỏi, mỗi câu có 4 lựa chọn, chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một thí sinh làm tất cả bằng cách chọn ngẫu nhiên, độc lập. ▪ (a) Quy luật phân phối xác suất của số câu đúng như thế nào? ▪ (b) Tính kỳ vọng, phương sai của số câu đúng ▪ (c) Số câu đúng có khả năng xảy ra nhiều nhất? ▪ (d) Tỷ lệ đúng phân phối thế nào, kỳ vọng và phương sai bằng bao nhiêu? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 86 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức 3.3. QUY LUẬT POISSON – P() ▪ BNN rời rạc X có giá trị có thể có: 0, 1, 2, và xác suất được tính bởi công thức: ▪ X gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số , ký hiệu X ~ P() ▪ Tham số đặc trưng: E(X) = ; V(X) = ;  – 1  m0   ▪ X ~ B(n, p) với n lớn, p nhỏ thì X xấp xỉ ~ P( = np) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 87 , , ,... ( ) ; ! λλ λ      0 1 2 0 x xe P X x x Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.3. 3.4. QUY LUẬT ĐỀU – U(a, b) ▪ BNN X liên tục nhận giá trị trong khoảng (a, b) ▪ X gọi là phân phối theo quy luật Đều (Uniform) với hai tham số a và b, ký hiệu: X ~ U(a, b) ▪ Tham số đặc trưng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 88     2( ) ( ) ; ( ) 2 12 a b b a E X V X 1 : ( , ) ( ) 0 : ( , )       x a b f x b a x a b Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.4. 3.5. QUY LUẬT CHUẨN – N(, σ2) ▪ BNN liên tục X nhận giá trị trong khoảng (-, +) có hàm mật độ: ▪ gọi là phân phối theo quy luật Chuẩn (Normal) với hai tham số  và σ2 ▪ Ký hiệu: X ~ N(, σ2) ▪ Hàm phân phối xác suất: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 89 ( ) ( ) μ σ σ π    2 22 1 2 x f x e   ( ) ( ) x F x f x dx Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Tính chất f(x) và F(x) ▪ Hàm mật độ f(x) • Hình quả chuông, đối xứng trục qua x =  • Đỉnh cao 1/(𝜎 2𝜋) tại x =  • Tiệm cận ngang với trục hoành • Điểm uốn tại x =   σ ▪ Hàm phân phối F(x) • Tiệm cận trái Ox, tiệm cận phải đường y = 1 • Đối xứng tâm tại ( , ½) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 90 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Tham số đặc trưng ▪ X ~ N(, σ2) thì: ▪ Kỳ vọng: E(X) =  ▪ Phương sai: V(X) = σ2 ▪ Độ lệch chuẩn: σX = σ ▪  tăng thì f(x), F(x) dịch sang phải ▪ σ tăng thì f(x) thấp xuống và rộng ra LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 91 f(x) F(x) μ μ’ 1 ½ 1 σ 2π Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1) ▪ X ~ N(, σ2), đặt ▪ BNN U có hàm mật độ: ▪ Hàm phân phối xác suất: ▪ Khi đó U là biến ngẫu nhiên Chuẩn hóa, U ~ N(0,1) ▪ Và X =  + σ.U LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 92 φ π   2 2 1 ( ) 2 u u e φ    ( ) ( ) u u u du μ σ   X U Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1) ▪ Hàm (u): Hình chuông, đối xứng qua trục tung ▪ Đặt 0(u) = (u) – 0,5 = P(0 < U < u) ▪ Tính chất: • 0(–u) = –0(u) • 0(u : u  4)  0,5 ▪ Giá trị cho trong Bảng phụ lục 5 • P(0 < U < 1,5) = 0(1,5) • P(–1,5 < U < 0) = P(0 < U < 1,5) • P(–1,5 < U < 1,5) = 2P(0 < U < 1,5) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 93 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Bảng giá trị hàm 0(u) ▪ Bảng chi tiết tại phụ lục 5 giáo trình (trang 951) ▪ Bảng giản lược LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 94 u 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159 1 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713 2 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981 3 .4987 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .5000 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Công thức tính xác suất ▪ X ~ N(, σ2) thì: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 95 μ μ σ σ            ( ) a b P a X b P U μ μ σ σ               b a μ μ σ σ               0 0 b a μ μ σ σ                 a a P a X 0( ) 1 0,5 μ μ σ σ                 b b P X b 0( ) 0,5 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Ví dụ 3.3 ▪ Khối lượng của sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 100g, phương sai là 25g2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm, Tính xác suất: ▪ (a) Sản phẩm nặng hơn 105g ▪ (b) Sản phẩm nhẹ hơn 110g ▪ (c) Sản phẩm nặng trong khoảng 97g đến 102g ▪ (d) Khối lượng của sản phẩm sai lệch với trung bình không quá 4g LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 96 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Xác suất “sai lệch với kỳ vọng” ▪ X ~ N(, σ2), xác suất X sai lệch với kỳ vọng một khoảng không quá  là: P(|X –  | <  ) = 20( / σ) ▪ Ba trường hợp riêng • Quy tắc 1-sigma: P(|X –  | < σ) = 0,6826 • Quy tắc 2-sigma: P(|X –  | < 2σ) = 0,9544 • Quy tắc 3-sigma: P(|X –  | < 3σ) = 0,9974 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 97 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Tổ hợp các biến phân phối Chuẩn ▪ X1, X2,, Xn độc lập, phân phối Chuẩn ▪ Xi ~ N(i , σi 2), i = 1  n ▪ Tổng là BNN: ▪ Thì Y phân phối Chuẩn: Y ~ N(Y , σY 2) với ▪ Tương tự với Z: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 98   1 n ii Y X μ μ   1 n Y ii σ σ 2 2 1 n Y ii 1 n i ii Z Xα   Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Hội tụ về quy luật Chuẩn ▪ Khi n đủ lớn thì quy luật Nhị thức hội tụ về quy luật Chuẩn ▪ X ~ B(n, p) • Khi n  100 thì X ~ N(, σ2) • Với  = np và σ2 = np(1 – p) ▪ Ví dụ: Đề thi gồm 100 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 lựa chọn, trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một thí sinh trả lời toàn bộ bằng cách chọn bừa, tính xác suất thí sinh đó đúng trên 30 câu. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 99 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn Giá trị tới hạn Chuẩn mức  ▪ Ký hiệu là u : P(U > u ) =  ▪ Tính chất: u1 = – ; u0 = + ; u0,5 = 0; u1– = – u ▪ Tra bảng phụ lục 6 ▪ Hai giá trị quan trọng: u0,05 = 1,645; u0,025 = 1,96 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 100 u 1.645 0.05 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn 3.6. QUY LUẬT KHI BÌNH PHƯƠNG - 2(n) ▪ BNN liên tục 𝜒2 tuân theo quy luật Khi bình phương với n bậc tự do (degree of freedom: df) ▪ Ký hiệu: 𝜒2~𝜒2(𝑛) ▪ Tham số: 𝐸(𝜒2) = 𝑛; 𝑉 𝜒2 = 2𝑛 ▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu 𝜒𝛼 2(𝑛) 𝑃 𝜒2(𝑛) > 𝜒𝛼 2(𝑛) = 𝛼 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 101 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.6. Giá trị tới hạn mức  ▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 7 giáo trình ▪ Bảng giản lược LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 102 α n 0.975 0.95 0.05 0.025 α n 0.975 0.95 0.05 0.025 1 0.001 0.004 3.841 5.024 20 9.591 10.85 31.41 34.17 2 0.051 0.103 5.991 7.378 24 12.40 13.85 36.42 39.36 3 0.216 0.352 7.815 9.348 30 16.79 18.49 43.77 46.98 4 0.484 0.711 9.488 11.14 39 23.65 25.70 54.57 58.12 5 0.831 1.145 11.07 12.83 50 32.36 34.76 67.50 71.42 10 3.247 3.940 18.31 20.48 99 73.36 77.05 123.2 128.4 15 6.262 7.261 25.00 27.49 120 91.57 95.70 146.6 152.2 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.6. Quy luật Khi bình phương 3.7. QUY LUẬT STUDENT – T(n) ▪ BNN liên tục T tuân theo quy luật Student với n bậc tự do, ký hiệu: T ~ T(n) ▪ Tham số: E(T) = 0; V(T) = n / (n – 2) ▪ Giá trị tới hạn mức , kí hiệu: 𝑡𝛼 (𝑛) 𝑃 𝑇(𝑛) > 𝑡𝛼 (𝑛) = 𝛼 ▪ Tính chất: • 𝑡0 (𝑛) = +∞; 𝑡1 (𝑛) = −∞; 𝑡1−𝛼 𝑛 = −𝑡𝛼 (𝑛) • Với n > 30 thì có thể lấy 𝑡𝛼 (𝑛) ≈ 𝑢𝛼 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 103 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.7. Giá trị tới hạn mức  ▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 8 giáo trình ▪ Bảng giản lược LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 104 α n 0.1 0.05 0.025 α n 0.1 0.05 0.025 10 1.372 1.812 2.228 17 1.333 1.740 2.110 11 1.363 1.796 2.201 18 1.330 1.734 2.101 12 1.356 1.782 2.179 19 1.328 1.729 2.093 13 1.350 1.771 2.160 20 1.325 1.725 2.086 14 1.345 1.761 2.145 24 1.318 1.711 2.064 15 1.341 1.753 2.131 30 1.310 1.697 2.042 16 1.337 1.746 2.120  1.282 1.645 1.960 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.7. Quy luật Student 3.8. QUY LUẬT FISHER – F(n1, n2) ▪ BNN liên tục F tuân theo quy luật Fisher-Snedecor (gọi tắt là Fisher) với hai bậc tự do n1 và n2 ▪ Ký hiệu: F ~ F(n1, n2) ▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu: 𝑓𝛼 (𝑛1,𝑛2) 𝑃 𝐹 𝑛1, 𝑛2 > 𝑓𝛼 (𝑛1,𝑛2) = 𝛼 ▪ Tính chất: 𝑓1−𝛼 (𝑛1,𝑛2) = 1 𝑓𝛼 (𝑛2,𝑛1) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 105 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.8. Giá trị tới hạn mức  ▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 9 giáo trình; Bảng giản lược: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 106 n2 n1 α 24 39 59 99 120 24 0.025 2.27 2.15 2.08 2.03 2.01 0.05 1.98 1.90 1.84 1.80 1.79 39 0.025 2.02 1.89 1.82 1.75 1.74 0.05 1.80 1.70 1.65 1.60 1.58 49 0.025 1.94 1.81 1.73 1.66 1.65 0.05 1.74 1.64 1.58 1.53 1.52 59 0.025 1.89 1.75 1.67 1.60 1.59 0.05 1.70 1.60 1.54 1.49 1.47 99 0.025 1.79 1.65 1.56 1.49 1.46 0.05 1.63 1.52 1.45 1.39 1.38 Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.8. Quy luật Fisher TÓM TẮT CHƯƠNG 3 ▪ Quy luật Không một: A(p) ▪ Quy luật Nhị thức: B(n, p) ▪ Quy luật Chuẩn và Chuẩn hóa, cách tính xác suất ▪ Các giá trị tới hạn Chuẩn, Khi bình phương, Student, Fisher LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 107 Chương 3. Một số quy luật thông dụng Bài tập cơ bản trong Giáo trình ▪ Trang 149: 3.3, 3.4 ▪ Trang 156: 3.5, 3.7, 3.11, 3.17 ▪ Trang 163: 3.20, 3.22, 3.25 ▪ Trang 189: 3.39, 3.40, 3.43, 3.46 ▪ Trang 201: 3.51, 3.60, 3.61, 3.65, 3.68 ▪ Trang 204: 3.78, 3.80, 3.84, 3.87, 3.89, 3.90, 3.93 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 108 Chương 3. Một số quy luật thông dụng Sử dụng Microsoft Excel LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 109 Quy luật Giá trị Hàm X ~ B(n,p) P(X  x) = BINOMDIST(x,n,p,1) X ~ B(n,p) P(X = x) = BINOMDIST(x,n,p,0) X ~ P(λ) P(X  x) = POISSON(x, λ,1) X ~ P(λ) P(X = x) = POISSON(x, λ,0) X ~ N(,2) P(X  x) = F(x) = NORMDIST(x,μ,σ,1) X ~ N(,2) Hàm mật độ f(x) = NORMDIST(x,μ,σ,0) U ~ N(0,1) Phân vị mức α = NORMINV(α,0,1) Chương 3. Một số quy luật thông dụng Sử dụng Microsoft Excel LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 110 Quy luật Giá trị Hàm U ~ N(0,1) Tới hạn uα = – NORMINV(α,0,1) = NORMINV((1–α),0,1) T ~ T(n) P(T  c) = 1– TDIST(c,n,2) T ~ T(n) Tới hạn 𝑡𝛼 (𝑛) = TINV(2*α,n) χ2 ~ χ2(n) P(χ2  c) = 1 – CHIDIST(c,n) χ2 ~ χ2(n) Tới hạn χ𝛼 2(𝑛) = CHIINV(α,n) F ~ F(n1,n2) P(F  c) = 1 – FDIST(c,n1,n2) F ~ F(n1,n2) Tới hạn 𝑓𝛼 (𝑛1,𝑛2) = FINV(α,n1,n2) Chương 3. Một số quy luật thông dụng