Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều

Chương 4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU ▪ Biến ngẫu nhiên xét trong các chương trước là 1 chiều: chỉ có 1 đại lượng ▪ Trong thực tế phải xét nhiều chiều cùng lúc, vì một đối tượng cần phải xét trên nhiều góc độ. ▪ Ví dụ: Đánh giá một sản phẩm trên các chiều: kích thước, trọng lượng, giá thành, giá bán. ▪ Ví dụ: Đánh giá một phương án kinh doanh qua các chiều: lợi nhuận, doanh thu, tốc độ tăng trưởng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 111 Chương 4. NỘI DUNG CHƯƠNG 4 ▪ 4.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều ▪ 4.2. Bảng phân phối xác suất BNN hai chiều ▪ 4.3. Bảng phân phối xác suất có điều kiện ▪ 4.7. Tham số đặc trưng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 112 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU ▪ Hệ gồm n biến ngẫu nhiên đồng thời (X1, X2,, Xn) có giá trị có thể có là (x1, x2,, xn) ▪ Trường hợp đơn giản nhất: hai chiều (X, Y) ▪ Nếu X và Y liên tục thì có BNN hai chiều liên tục ▪ Nếu X và Y rời rạc thì có BNN hai chiều rời rạc ▪ (X, Y) với X = {x1, x2,, xn} và Y = {y1, y2,, ym} ▪ Chương này chỉ xét biến hai chiều rời rạc LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 113 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.1. 4.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2 CHIỀU ▪ Ví dụ 4.1: X là số người đi làm, Y là số người phụ thuộc trong các hộ gia đình ở một khu vực LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 114 Y X 0 1 2  1 0,05 0,05 0,1  0,2 2 0,1 0,15 0,25  0,5 3 0,05 0,1 0,15  0,3      0,2 0,3 0,5  1 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều ▪ Bảng phân phối xác suất (biên) của X và Y LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 115 X 1 2 3 P 0,2 0,5 0,3 Y 0 1 2 P 0,2 0,3 0,5 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều Bảng phân phối xác suất hai chiều ▪ Tổng quát nếu X = {x1, x2,, xn} và Y = {y1, y2,, ym} ▪ pij = P(X = xi , Y = yj) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 116 Y X y1 y2 ym P(X) x1 p11 p12 p1m P(x1) x2 p21 p22 p2m P(x2) xn pn1 pn2 pnm P(xn) P(Y) P(y1) P(y2) P(ym) 1 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều Bảng phân phối biên – tính độc lập ▪ Bảng phân phối xác suất biên (marginal) của X và Y ▪ X và Y độc lập  P(X = xi).P(Y = yi) = pij i, j ▪ Tồn tại ít nhất một cặp (xi, yj) không thỏa mãn thì X, Y không độc lập (phụ thuộc) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 117 X x1 x2 xn P(X) P(x1) P(x2) P(xn) Y y1 y2 ym P(Y) P(y1) P(y2) P(ym) Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều 4.3. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN ▪ Ví dụ 4.1 (tiếp) ▪ (a) X và Y có độc lập với nhau không? ▪ (b) Tìm phân phối xác suất của số người phụ thuộc trong số hộ có số người đi làm là 1. ▪ Hay phân phối của Y khi X = 1, ký hiệu (Y | X = 1) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 118 (Y | X = 1) 0 1 2 P , , , 0 05 0 2 0 25 , , , 0 05 0 2 0 25 , , , 0 1 0 2 0 5 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.3. Bảng phân phối xác suất có điều kiện ▪ Bảng phân phối của (X | Y = yj): ▪ Bảng phân phối của (Y | X = xi) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 119 (X | Y = yj) x1 x2 xn P P(x1 | yj ) P(x2| yj) P(xn | yj) (Y | X = xi) y1 y2 ym P P(y1 | xi ) P(y2| xi ) P(ym | xi ) ( , ) ( | ) ( )  i j i j j P x y P x y P y Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.3. 4.4. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG ▪ Tham số tính cho từng thành phần: ▪ Kỳ vọng: E(X), E(Y) ▪ Phương sai: V(X), V(Y) ▪ Hiệp phương sai (covariance): Cov(X, Y) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 120    ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ). ( )        1 1 n m i j i j i j Cov X Y E X E X Y E Y x y P x y E X E Y Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Tham số đặc trưng ▪ Tính chất của hiệp phương sai • Cov(X, Y) = Cov(Y, X) • X, Y độc lập  Cov(X, Y) = 0 • Cov(X, Y) > 0 thì X, Y có “tương quan dương” • Cov(X, Y) < 0 thì X, Y có “tương quan âm” ▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát • V(X  Y) = V(X) + V(Y)  2Cov(X, Y) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 121 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng Tham số đặc trưng ▪ Hệ số tương quan (correlation) của X và Y: X,Y : ▪ X,Y = Y,X ▪ –1  X,Y  1 ▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều ▪ X,Y = 0: không tương quan ▪ X, Y độc lập X,Y = 0 ▪ X,Y =  1: X, Y có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 122 , ( , ) . ρ σ σ X Y X Y Cov X Y Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng Tham số đặc trưng ▪ Dựa trên bảng phân phối xác suất có điều kiện ▪ Kỳ vọng có điều kiện • E(Y | X = xi) • E(X | Y = yj) ▪ Phương sai có điều kiện • V(Y | X = xi) • V(X | Y = yj) ▪ Đây là khái niệm cơ sở cho hồi quy và Kinh tế lượng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 123 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng Tham số đặc trưng ▪ Ví dụ 4.1 (tiếp) ▪ (c) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số người trong hộ gia đình theo hai cách: • Lập bảng phân phối xác suất của X + Y • Theo công thức phương sai của tổng ▪ (d) X và Y có tương quan với nhau không? Hệ số tương quan bằng bao nhiêu? ▪ (e) Tìm kì vọng và phương sai của số ăn theo trong hộ gia đình có 1 người đi làm LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 124 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng TÓM TẮT CHƯƠNG 4 ▪ Biến ngẫu nhiên hai chiều, nhiều chiều ▪ Bảng phân phối xác suất hai chiều ▪ Bảng phân phối xác suất biên ▪ Bảng phân phối xác suất có điều kiện ▪ Kỳ vọng, phương sai ▪ Hiệp phương sai, hệ số tương quan ▪ Kỳ vọng có điều kiện LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 125 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều Bài tập cơ bản trong Giáo trình ▪ Trang 213: 4.2, 4.3 ▪ Trang 229: 4.12, 4.13 ▪ Trang 236: 4.16, 4.17, 4.18 ▪ Trang 240: 4.23 ▪ Trang 258: 4.32, 4.35, 4.37 ▪ Trang 261: 4.46, 4.49, 4.64, 4.65 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 126 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều