Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4B: – Trị riêng – Dạng toàn phương

1Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương CHƯƠNG 4. TRỊ RIÊNG –DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1. Trị riêng và vector riêng 2. Dạng toàn phương trên Rn ----------------------------------------- 2Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 1. Trị riêng và vector riêng 1.1. Các định nghĩa • Số thực λ được gọi là một trị riêng của ( )∈ ℝnA M nếu ℝ \ { } :n E Ex A x xθ λ   ∃ ∈ =    , (1) trong đó Ex   chỉ tọa độ của vector x theo cơ sở chính tắc E của ℝn . 3Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Vector θ∈ℝ \ { }nx thỏa (1) được gọi là một vector riêng của A tương ứng với trị riêng λ . VD 1. Cho 4 2 1 1  − =     A . • 3λ= là một trị riêng của A ; ( )2 1= ;x là vector riêng của A tương ứng với trị riêng 3λ= . • 1λ= là một trị riêng của A ; ( )1 1= ;x là vector riêng của A tương ứng với trị riêng 1λ= . 4Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 2. 1λ=− là một trị riêng của 0 0 1 0 1 0 1 0 0      =     A , vector riêng tương ứng là ( )1 0 1= − ; ;x . 5Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Cho ( )∈ ℝnA M . Đa thức đặc trưng của A , ký hiệu là ( )AP λ , được xác định bởi ( )λ λ= −A nP A I . (2) • ( ) 0λ =AP được gọi là phương trình đặc trưng. VD 3. Tìm đa thức đặc trưng của 1 1 3 4  − =     A . 6Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương Mệnh đề. Cho ( )ℝnA M∈ . Khi đó, λ ∗ là trị riêng của A⇔ ( )AP λ∗ = 0. VD 4. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận 2 1 1 1 2 1 1 1 2  − −    = − −   − −  A . 7 8Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 1.2. Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng Bước 1. Tìm đa thức đặc trưng ( )λAP . Bước 2. Giải ( ) 0λ =AP để tìm trị riêng của A . Bước 3. Giải hệ phương trình: ( )n E EA I xλ θ   − =    . Nghiệm không tầm thường của hệ này là vector riêng của A ứng với trị riêng λ . 9Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 5. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận 3 1 1 7 5 1 6 6 2  − −    = − −   − −  A . VD 6. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận 4 2 1 6 4 3 6 6 5  −    = − −   − −  B . 10 11 12 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương Mệnh đề. Cho λ là một trị riêng của ( )ℝ∈ nA M . Khi đó, tập hợp ( ) { }ℝ :n E EE x A x xλ λ   = ∈ =    (3) là một không gian vector con của ℝn . Ta nói ( )E λ là không gian riêng của A tương ứng với trị riêng λ . 13 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 7. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian riêng ứng với các trị riêng của ma trận C  −    = − −   − −  4 2 1 6 4 3 6 6 5 . 14 15 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 2. Dạng toàn phương 2.1. Các khái niệm về dạng toàn phương • Dạng toàn phương (DTP) trên ℝn là một ánh xạ →ℝ ℝ: nq được xác định bởi ( ) 21 2 1 2 = < = +∑ ∑, ,..., n n ii i i j i j i i j q x x x a x a x x . 16 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 8. Ánh xạ ( ) 2 21 2 1 2 1 22 3 4= + −,q x x x x x x là dạng toàn phương trên 2ℝ . VD 9. Ánh xạ ( ) 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 32 3 2 6 10= + − + + −q x x x x x x x x x x với ( )1 2 3= , ,x x x x , là dạng toàn phương trên 3 ℝ . 17 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Nếu giả sử =j i i ja a với >j i , thì 11 12 1 21 22 2 1 2        =       ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a được gọi là ma trận của dạng toàn phương q. 18 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 10. Tìm ma trận của dạng toàn phương ( ) 2 21 2 1 2 1 22= − +,q x x x x x x . VD 11. Tìm ma trận của dạng toàn phương ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 32 2= + − + −, ,q x x x x x x x x x x . • Nếu A là ma trận của dạng toàn phương q thì ( ) ℝ, T n E Eq x x A x x   = ∀ ∈    . 19 20 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Giả sử trong ℝn , ta có một cơ sở B . Khi đó, với mọi ∈ℝnx , vì E BE Bx P x→   =    , nên ( ) ( ) T BB Bq x x A x   =     , trong đó ( )→ →= T B E B E BA P AP . Ta gọi BA là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở B . 21 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 12. Tìm ma trận của dạng toàn phương ( ) 2 21 2 1 2 1 23 4 2= + +,q x x x x x x trong cơ sở ( ) ( ){ }1 21 1 2 3= = − = −; , ;B u u . 22 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Nếu trong ℝn , tồn tại một cơ sở B mà ma trận của dạng toàn phương q trong cơ sở này có dạng ( )diag , ,...,B nA λ λ λ= 1 2 , thì ta nói q được đưa về dạng chính tắc. 23 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 2.2. Thuật toán chéo hóa trực giao Cho DTP ( ),..., nq x x1 trên ℝ n có ma trận của DTP là A . Để đưa ( ),..., nq x x1 về dạng chính tắc thì ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm trị riêng jλ và cơ sở jB cho các không gian riêng ( )jE λ , ,...,j k=1 . 24 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương Bước 2. Đặt { }∪ ∪ ∪... , ,...,k nB B B B u u u= =1 2 1 2 . Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cơ sở { },..., nB u u= 1 thành cơ sở trực chuẩn { },..., nS w w= 1 . Bước 3. Đặt E SP P →= thì P là ma trận trực giao. Dùng phép đổi biến E Ex P y   =    thì ta nhận được dạng chính tắc ( ),..., ...n n ng y y y yλ λ= + + 2 2 1 1 1 . 25 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 13. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng thuật toán biến đổi trực giao ( ),q x x x x x=− +21 2 2 1 23 4 . VD 14. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng thuật toán biến đổi trực giao ( ), ,q x x x x x x x x x x= + + − +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 35 9 9 12 6 . 26 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 2.3. Thuật toán Lagrange Xét dạng toàn phương ... ... ... . n n nn n q a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 22 2 23 2 3 2 2 2 27 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Đối với nhóm các hạng tử chứa x 1 , ta biến đổi + + +... n na x a x x a x x 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 ( )... naa na aa x x x x x= + + + 112 11 11 2 11 1 1 2 1 2 2 ( ) ( )... ...n na aa an na a a aa x x x x x    = + + + − + +     1 112 12 11 11 11 11 2 2 11 1 2 2 . 28 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Đặt = + + +... naa na ay x x x 112 11 11 1 1 2 thì = +q a y q2 11 1 1 , trong đó q 1 là dạng toàn phương chỉ lệ thuộc vào −n 1 biến x 2 , x 3 , ..., nx . • Tiếp tục khử số hạng x 2 , .... 29 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 15. Đưa dạng toàn phương ( ), ,q x x x x x x x x x= + + +2 21 2 3 1 2 1 2 2 32 2 4 về dạng chính tắc. 30 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương Chú ý 1. Trong trường hợp hệ số =a 11 0, nghĩa là không có thừa số x2 1 trong q, thì ta gom các số hạng chứa x 2 trước ... VD 16. Đưa dạng toàn phương q x x x x x x x= + + − +2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 4 4 2 về dạng chính tắc. 31 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương Chú ý 2. Nếu = = = =... nna a a11 22 0, nghĩa là không có số hạng , ,..., nx x x 2 2 2 1 2 thì ta xét một số hạng tích chéo, chẳng hạn x x 1 2 , và dùng ẩn phụ  = +  = − x y y x y y 1 1 2 2 1 2 thế vào biểu thức của q thì = −x x y y2 2 1 2 1 2 , tiếp tục thực hiện như bước trước. 32 Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 17. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc q x x x x x x= + − 1 2 1 3 2 3 3 8 . --------- Hết chương -----------