Bài giảng Ma trận của ánh xạ tuyến tính

CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ BUỔI DUYỆT GIẢNGGV : THÂN VĂN ĐÍNHLỚP K16 CĐSP TIN HỌCNỘI DUNG BÀI GIẢNGCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH1. Định nghĩa2. Tính chất3. Ma trận đổi cơ sở, ma trận đồng dạng4. Vec tơ riêng, giá trị riêng5. Chéo hóa ma trậnCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riênga. Đa thức đặc trưngTìm đa thức đặc trưng của ma trận : Kết quả : fA() = Tìm đa thức đặc trưng của TTTT T : V V ? B1 : Tìm ma trận biểu diễn của T là AB2 : Đa thức đặc trưng của T là : fT() = fA()CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riênga. Đa thức đặc trưng Đa thức đặc trưng của ma trận A là : fA () = det(A - I) Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính T là: fT () = det(A - I)( trong đó : A là ma trận của toán tử tuyến tính T) CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHb. Giá trị riêng, vec tơ riêng4. Vec tơ riêng, giá trị riêng Cách tìm giá trị riêngGiải nghiệm của đa thức đặc trưng ta được GTR Cách tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng Nghiệm cơ bản của hpt thuần nhất ( A - I)[x] = 0 là vectơ riêng ứng với giá trị riêng CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHVí dụ 1. Tìm GTR và VTR của toán tử T trên R3, biết T có ma trận biểu diễn là :4. Vec tơ riêng, giá trị riêngb. Giá trị riêng, vec tơ riêngĐa thức đặc trưng : fA() = ( - 1)( - 2)T có hai vectơ riêng là:  = 1,  = 2.Ví dụ 1. (tt)Với  = 1. Giải hệTa được một vetơ riêng là : v1 = (1, 0, 2) Với  = 2. Ta tìm được một vectơ riêng: v2 = (1,1,2) KL : T có hai vectơ riêng v1 = (1, 0, 2) và v2 = (1,1,2) tương ứng với hai giá trị riêng :  = 1 và  = 2 CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riêngb. Giá trị riêng, vec tơ riêngTập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính T ứng với giá trị riêng  lập thành một không gian con riêng. Kí hiệu : V Vậy : V = { v  V : f(v) = v }c. Không gian con riêngVí dụ 2 : Tìm các không gian con riêng của T trong Ví dụ 1 ở trên ? CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riêngKQ5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhĐiều kiện cần và đủ để một ma trận vuông hay một toán tử tuyến tính là chéo hóa được?Toán tử T : V  V chéo hóa được khi và chỉ khi một trong các điều sau thỏa:V có một cơ sở gồm các vectơ riêng của TGiả sử T có tất cả các giá trị riêng 1,, k và ni = dimVk thì : n1 +. . . + nk = dimVCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHCác bước chéo hóa một ma trận vuông A hay chéo hóa một toán tử T ?B1 : Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứngNếu không có giá trị riêng nào thì KL ma trận A không chéo hóa được.Nếu A có k giá trị riêng với số bội là n1, n2, . . ., nk mà n1 + n2 + . . . + nk < dimV thì A không chéo hóa được.B2 : Với mỗi giá trị riêng i, tìm dimVi ( nếu có dimVi < ni thì A không chéo hóa được.)B3 : Lập ma trận C làm chéo hóa A là các cột của VTR5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHChú ýChú ý : Chéo hóa toán tử T ( với [f ]B = A )được thực hiện tương tự chéo hóa ma trận A, nhưng ma trận C là ma trận đổi cơ sở từ B sang cơ sở mới mà trong đó ma trận của f có dạng chéo.Ví dụ 3. Chéo hóa các ma trận sau :5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHXét A1 A1 có một giá trị riêng  với bội số bằng 3 Khi đó, (A1 – 2I) = Vậy A1 không chéo hóa được5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHXét A2Đa thức đặc trưng : det(A2 - I) = (4 - )(2 + 4)Do đó, A2 chỉ có một giá trị riêng đơn  = 4. Vậy A2 không chéo hóa được.Xét A3Đa thức đặc trưng : det(A3 - I) = (-1)2(3 - ) A3 có 2 giá trị riêng  = 1( bội 2),  = 3 (đơn). 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHXét A3Với  = 1, giải hệ (A3 – I)X = 0, tức là giải hệTa được hai VTR (-1,1,0), (-3,0,2)Với  = 3, giải hệ (A3 – 3I)X = 0, tức là giải hệTa được một VTR (1,1,-1)5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHXét A3Vậy, dimV1 + dimV3 = 3 nên A3 chéo hóa được.Ma trận làm chéo hóa A3 là Ma trận chéo đồng dạng với A3 là 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHNhận xétNếu A3 là ma trận biểu diễn của một toán tử tuyến tính f trên V thì trong cơ sở B = {(-1,1,0),(-3,0,2),(1,1,-1), ma trận của f có dạng chéo D.5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhCHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHKIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NẮM1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng2. Thực hiện chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính.BÀI HỌC KẾT THÚC !KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ