Bài giảng Ma trận thống kê

Chương 3: Ma trận thống kê KE 3.1 – Mở đầu Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng (q,t) với q là ký hiệu toàn bộ tọa độ của hệ. Trị trung bình của đại lượng F tính qua toán tử F theo biểu thức: Vì có nhiều hàm sóng (q,t) nên giá trị trung bình thống kê được tính bởi trung bình lấy theo các hàm sóng: 3.1 – Mở đầu Toán tử mômen xung lượng có các hàm riêng trực giao n và các trị riêng ln thỏa biểu thức: Chuyển L vì hàm sóng không phụ thuộc t Để thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn mômen xung lượng: 3.2 – Trung bình thống kê Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng thái riêng. Khai triển hàm (q,t) theo các hàm n (q) Thay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết lại như sau: Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngoài TP: 3.3 – Ma trận thống kê Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là: Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là Tập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận thống kê ký hiệu là: Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F: 3.4 – Phần tử ma trận Tập hợp n các giá trị (3.8) cũng tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận F trong L (và ma trận nghịch đảo của F): Từ 2 ma trận 3.11 và 3.12 nếu nhân 2 ma trận đó và sau đó lấy Tổng các TP đường chéo của MT tích thì nó = biểu thức trung bình của F: Ký hiệu SP của ma trận X là lấy tổng của các phần tử nằm trên đường chéo của ma trận X Bài tập 3.1 Tính SP của ma trận X với: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì SP (X) có giá trị đơn vị (được chuẩn hóa) Đáp ám là m = Matrix of Statistics Bài tập 3.2 Cho các hàm sóng ( 0  x  a) Tính ma trận thống kê?: Xác định b (thỏa DKCH) Cho toán tử Tính ma trận của Px? Tính giá trị trung bình của Px (Theo 3.13) Hướng dẫn (1) Tính các số hạng c(t) ( 0  x  a) Tính ma trận thống kê (công thức 3.9) Hướng dẫn (2) Tính cụ thể b (theo ĐK Chuẩn Hóa) Kết quả MT thống kê: Hướng dẫn (3) Tính ma trận của tt P * Tính các phần tử ma trận Hướng dẫn (4) Tính giá trị Trung bình của toán tử P HD-Tính trung bình Xung lượng trung bình theo phương x là bằng không có nghĩa là tổng xung lượng theo chiều dương bằng tổng xung lượng theo chiều âm 3.5 – Tính chất ma trận thống kê 1-Các số hạng trên đường chéo trong ma trận thống kê luôn dương : 2. Tính chuẩn hóa 3. Vì C là hàm theo biến t nên Ma trận thống kê phụ thuộc thời gian Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta được: 3.6 – Phương trình Liouville Trong đó Ma trận của toán tử Hamilton thỏa pt Schrodinger là: Nhân 2 vế 3.20 theo phía trái cho n* lấy tích phân theo q và dùng ĐKCH ta tính ra Dạng phương trình Photo of Liouville Lưu ý Đạo hàm của ma trận Lấy đạo hàm của tất cả các phân tử Thí dụ : tính đạo hàm theo x của ma trận: 3.6 – CM.Phương trình Liouville Để chứng minh tính đạo hàm theo t của 1 phần tử ma trận: Thay 3.21 và 3.22 vào vế phải của 3.23 tính vế trái: Đưa dấu tổng ra: 3.6 – CM.Phương trình Liouville Đưa dấu tổng ra: Viết cho cả ma trận thống kê ta có PT Liouville lượng tử dạng: 3.7 – Áp dụng PT Liouville Ở trạng thái cân bằng – Ma trận thống kê không phụ thuộc t Về hình thức, Bài tập 3.3 Cho các hàm sóng ( 0  x  a) Tính ma trận thống kê?: Xác định b (thỏa DKCH) Viết tường minh phương trình Liouville (Hint)