Bài giảng Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1 1 Baøøi giaûûng moân hoâ ïïc Ñieààu Khieåån Töïï Ñoääng GV: Nguyeãn Theá Huøng 01/2009 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2 Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.3 Hàm truyền 2.4 Sơ đồ khối 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.6 Graph tín hiệu 2.7 Phương trình trạng thái GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3 2.1 Phương trình vi phân ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu ra n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m £ n (nguyên lý nhân quả) 1 1 1 0 1 01 1 n n m m n n m mn n m m d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt - - - -- -+ + + = + + + Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4 Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m] n Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N] n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] 2 2 = = - -å i ms lx d ym F F(t) F F dt Áp dụng Định luật II Newton : 2 2 d y dym b ky(t) F(t) dtdt + + =Þ =ms dyF b dt =lxF ky(t) Lực giảm chấn : Lực lò xo : F(t) FmsFlx m (+) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 5 Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : Þ Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc + + =R L Cu u u u =L diu L dt 1 = òCu idtC =Ru Ri 2 2 C C C d u duLC RC u u dt dt + + = Trong đó: Þ = C dui C dt = C duRC dt 2 2= Cd uLC dt 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 6 Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô + = dvm bv(t) f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản (ma sát nhớt) n Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t) n Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t) f(t) b v(t) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 7 Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m] n Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m] n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] 2 2 d y dy drm b ky(t) b kr(t) dt dtdt + + = + 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 8 Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC 2 C C C d u duRLC L Ru Ru dt dt + + = 2 C C C d u du duRLC L Ru L dt dt dt + + = i i 2 + + =d i di duLC RC i C dt dt dt GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 5 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 9 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghieäm y(t) Nghieäm Y(s) 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 10 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa n Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t ³0, biến đổi Laplace của f(t) là: s : biến Laplace (biến số phức) L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t) Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn). st 0 F(s) L[f (t)] f (t)e dt ¥ -= = ò GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 6 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 11 2.2 Phép biến đổi Laplace n Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một hàm thời gian f(t) xác định bởi: Trong đó : q C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s q j là số ảo đơn vị (j2 =-1) 1 ts c 1f (t) L [F(s)] F(s)e ds 2 j -= = p òÑ t ³ 0 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 12 2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính 2) Ảnh của đạo hàm Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu: 2.2 Phép biến đổi Laplace (n 1)f (0), f (0), f (0), ..., f (0)-& && L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s) L[kf(t)] = kF(s) 0y( )& là vận tốc ban đầu (tại t=0). 2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0) 300 5 20 100+ + =&& &y(t) y(t) y(t) Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 7 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 13 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 2.2 Phép biến đổi Laplace ( ) ( 1) 1 [ ( )] ( ) (0)- - = -= å n n n n i i i L f t s F s s f 2300 5 20 100s Y(s) sY(s) Y(s) R(s)+ + = 2300 5 20 100( s s )Y(s) R(s)+ + = 2L[f (t)] s F(s) sf (0) f (0)= - -&& & (3) 3 2L[f (t)] s F(s) s f (0) sf (0) f (0)= - - -& && 300 5 20 100y(t) y(t) y(t) r(t)+ + =&& & Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được: Ví dụ, xét ptvp: ( )[ ( )] ( )=n nL f t s F s2b) Nếu các điều kiện đầu = 0 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 14 3) Ảnh của tích phân 2.2 Phép biến đổi Laplace 0 ( )( ) é ù =ê ú ë û ò t F sL f t dt s 4) Ảnh của hàm trễ f(t-T) = f(t) khi t³ T = 0 khi t<T TsL[f (t T)] e F(s)-- = 5) Ảnh của tích chập t t 1 2 1 2 1 20 0 f (t)*f (t) f ( ). f (t )d f (t ). f ( )d ÑN = t - t t = - t t tò ò 1 2 1 2L[f (t)*f (t)] F (s).F (s)= GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 8 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 15 6) Nhân hàm f(t) với e- at 2.2 Phép biến đổi Laplace 0 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ¥ -a -a -= = + a = + aòt t stL e f t e f t e dt L f t F s 8) Định lý giá trị đầu t 0 s f (0) limf (t) lim [s.F(s)] ® ®¥ = = Nhân f(t) với e-at Û thay s bằng (s+a) trong ảnh Laplace. 7) Định lý giá trị cuối t s 0 f ( ) lim f (t) lim [s.F(s)] ®¥ ® ¥ = = 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 16 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị 2.2 Phép biến đổi Laplace Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t): st st 0 0 1 1 1L[1(t)] e dt .e (0 1) s s s ¥ ¥- -= = - = - - =ò KL[K.1(t)] K.L[1(t)] s = = GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 9 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 17 2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac) 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 0 0 st 0 0 0 0 (t)e dt (t)e dt (t)dt 1 ¥ + + - -d = d = d =ò ò ò 3) Hàm mũ e -at (a <0) t st (s )t 0 0 e e dt e dt ¥ ¥ -a - - +a=ò ò (s ) t 0 e 1 s s - +a ¥ = - = + a + a tL[e ]-a = L[ (t)]d = t d(t) 0 t 0 1 ¥ a®0 a h 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 18 4) Hàm dốc đơn vị 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản t r(t) t.1(t) 0 ì = = í î khi t ³ 0 khi t < 0 steu t ; v s - = = - 2 2 st st st 0 0 0 te e 1 1L[t.1(t)] te dt dt 0 s s s s ¥ ¥- -¥ -= = + = + = -ò ò t 2 0 L[1(t)] 1L[t.1(t)] L 1(t)dt s s é ù = = =ê ú ë û ò Lấy tích phân từng phần Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân: udv uv vdu= -ò ò Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn … t.1(t) t0 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 10 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 19 5) Hàm lượng giác sinwt, coswt, … 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản j t j t cos t jsin t e cos t jsin t e w - w ì w + w = í w - w =î ( ) ( ) ( )( )s j t s j tj t j t st 0 0 1 1e e e dtL[cos t] e e dt 2 2 ¥ ¥ - - w - + ww - w -+ = +w = ò ò Công thức Euler: ( ) ( )j t j t j t j t1 1cos t e e ; sin t e e2 2j w - w w - wÞ w = + w = - 1 1 1... 2 j s L[sin s j t] j æ ö= -ç ÷- w + wè w ø = 1 1 1 2 s j s j æ ö= +ç ÷- w + wè ø 2 2 s s = + w 2 2s = w + w 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 20 Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20) 17 18 9 8 3 1(t)1 F(s)f(t)TT 2 2 s (s ) + a + a + w 2 2(s ) w + a + w te cos t-a w te sin t-a w 1 n(s )+ a 1 s + a 2 1 (s )+ a 1 / s te-a tte-a n 1 tt e (n 1)! - -a - GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 11 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 21 Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=? Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s: 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược m m 1 m m 1 0 n n 1 n n 1 0 b s b s ... bP(s)Y(s) Q(s) a s a s ... a - - - - + + + = = + + + n PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản. n Cách phân tích Y(s) hoàn toàn phụ thuộc vào loại nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức). n n 1 1 i i i 1 i 1 y(t) L [Y(s)] L [Y (s)] y (t)- - = = = = =å å (m<n) 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 22 1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác định bởi: n 1 2 nQ(s) a (s s )(s s )...(s s )= - - - 1 2 i n 1 2 i n A A A AP(s)Y(s) ... ... Q(s) s s s s s s s s = = + + + + + - - - - i i s si i i s s A lim [(s s ).Y(s)] [(s s ).Y(s)] = ® = - = - i 1 2 n n s t s t s t s t i 1 2 n i 1 y(t) A e A e A e ... A e = = = + + +å Tra bảng ta có: i1 i i i s tAL A e s s - é ù =ê ú-ë û Þ Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn Khi đó có thể phân tích : GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 12 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 23 2 s 2 s 2 5s 3 7A lim [(s 2)Y(s)] lim 2s(s 5) 12®- ®- + = + = = + 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ : Tìm y(t) biết 31 2 AA A5s 3Y(s) 2s(s 2)(s 5) s s 2 s 5 + = = + + + + + + 1 s 0 s 0 5s 3 3A lim [s.Y(s)] lim 2(s 2)(s 5) 20® ® + = = = + + Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5 và hệ số an=2. Do đó có thể phân tích : 2 5s 3Y(s) s(2s 14s 20) + = + + 3 s 5 A lim [(s 5)Y(s)] ®- = + s 5 5s 3 22 11lim 2s(s 2) 30 15®- + = = - = - + 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 24 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 3 7 11Y(s) 20s 12(s 2) 15(s 5) = + - + + 2t 5t3 7 11y(t) e e 20 12 15 - -= + -Þ Þ t 0 y(0) lim[y(t)] 0 ® = = t y( ) lim[y(t)] 3 / 20 ®¥ ¥ = = s 0 y( ) lim[s.Y(s)] 3 / 20 ® ¥ = = s y(0) lim[s.Y(s)] 0 ®¥ = = Nhận xét: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 13 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 25 2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược r n 1 n r kQ(s) a (s s )...(s s )(s s )-= - - - ( ) ( ) 1 n r r 2 1 r 2 1 n r kk k A A B B BY(s) ... ... s s s s s ss s s s - - = + + + + + + - - -- - i i i s s A lim [(s s ).Y(s)] ® = - Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-r và một nghiệm bội sk lặp r lần Khi đó có thể phân tích : s sk r i r i kr i 1 dB lim (s s ) .Y(s) (r i)! ds® - - ì üé ù= -í ýë û- î þ ( i=r,r-1,…,1) ( i=1,2,…,n-r) 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 26 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược s sk r i r i kr i 1 dB lim (s s ) .Y(s) (r i)! ds® - - ì üé ù= -í ýë û- î þ 2 2 2 k 1 ks s s sk k dB lim (s s ) .Y(s) ; B lim (s s ) .Y(s) ds® ® ì üé ù é ù= - = -í ýë û ë ûî þ Þ i k k k r 1n r s t s t s t s t i r 2 1 i 1 ty(t) A e B e ... B te B e (r 1)! -- = = + + + + -å ( ) ( ) 1 n r r 2 1 r 2 1 n r kk k A A B B BY(s) ... ... s s s s s ss s s s - - = + + + + + + - - -- - n Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B2 , B1 : ( i=r,r-1,…,1) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 14 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 27 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ : Tìm y(t) biết ( ) 1 2 2 1 22 A A B B5s 24Y(s) s(s 4)(s 3) s s 4 s 3s 3 + = = + + + + + + ++ 1 2s 0 s 0 5s 24A lim [s.Y(s)] lim (s 4)(s 3)® ® + = = = + + Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s1=0 ; s2=-4 và một nghiệm kép sk =-3 nên có thể phân tích : 2 5s 24Y(s) s(s 4)(s 3) + = + + 2 2s 4 s 4 5s 24A lim [(s 4)Y(s)] lim s(s 3)®- ®- + = + = = + 2 2 s 3 s 3 5s 24B lim [(s 3) Y(s)] lim s(s 4)®- ®- + = + = = + 24 2 36 3 = 4 1 4 = - - 9 3 3 = - - 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 28 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2 1 s 3 s 3 d d 5s 24B lim [(s 3) Y(s)] lim ds ds s(s 4)®- ®- ì üé ù+ì ü= + =í ý í ýê ú+î þ ë ûî þ 1 2 2s 3 5s(s 4) (2s 4)(5s 24) 3 1B lim 9 3s (s 4)®- + - + + = = = + ( ) ( )2 2 1 3 1Y(s) 3s s 4 3(s 3)s 3 = - - + + ++ Þ 4t 3t 3t2 1y(t) e 3te e 3 3 - - -= - - +Þ 2 'u u v v u v v ¢ ¢-æ ö =ç ÷ è ø Lưu ý: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 15 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 29 3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược n 1 n 2 1 2Q(s) a (s s )...(s s )(s p )(s p )-= - - - - ( ) 1 n 2 1 2 2 2 1 n 2 A A C (s a) CY(s) ... s s s s s a - - - + w = + + + - - - + w Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-2 và 2 nghiệm phức p1,2 = a ± jw Khi đó có thể phân tích : 2 2 n 1 n 2Q(s) a (s s )...(s s )[(s a) ]-= - - - + w Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng : - Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, - hoặc Tính theo công thức: 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 30 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược i is si A lim [(s s )Y(s)] ® = - [ ]{ }1 1 2 1s p1C Im (s p )(s p )Y(s) == - -w [ ]{ }2 1 2 1s p1C Re (s p )(s p )Y(s) == - -w ( ) 1 n 2 1 2 2 2 1 n 2 A A C (s a) CY(s) ... s s s s s a - - - + w = + + + - - - + w (i=1,…,n-2) i n 2 s t at at i 1 2 i 1 y(t) A e C e cos t C e sin t - = = + w + wå Biến đổi ngược Laplace hàm ảnh Y(s) ta được : GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 16 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 31 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu. 2 2 2 2 2 2 sin t cos t sin t cos t æ öa b a w ± b w = a + b w ± wç ÷ç ÷a + b a + bè ø ( )2 2 sin t cos cos tsin= a + b w j ± w j 2 2 sin( t )= a + b w ± j Trong đó : 2 2 2 2 arccos arcsina bj = = a + b a + b 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 32 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ: Tìm y(t) biết 1 2 2 2 C (s 3) 4C2s 5 AY(s) s(s 6s 25) s s 6s 25 + ++ = = + + + + + Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p1,2 =-3± 4j nên có thể phân tích : 2 2s 5Y(s) s(s 6s 25) + = + + 2 1 1 2 2 (A C )s (6A 3C 4C )s 25AY(s) s(s 6s 25) + + + + + = + + 25A 5= 1A C 0+ = 1 26A 3C 4C 2+ + = A 1/ 5= 1C 1/ 5= - 2C 7 / 20= So sánh với Y(s) đã cho, ta được: Þ GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 17 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 33 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2 2 2 2 2 1 7 1 7(s 3) (4) (s 3) ( )1 15 20 5 20Y(s) 5s s 6s 25 5s (s 3) 4 (s 3) 4 4 - + + - + = + = + + + + + + + + 1 3t 3t1 1 7y(t) L [Y(s)] e cos 4t e sin 4t 5 5 20 - - -= = - + 3t1 1 e (7sin 4t 4cos 4t) 5 20 -= + - 3t1 65 7 4e sin 4t cos4t 5 20 65 65 - æ ö= + -ç ÷ è ø 3t1 65 e sin(4t ) 5 20 -= + - j 7 4arccos arcsin 65 65 j = =Vôùi 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 34 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 20 0s s 2s 5 1A lim [sY(s)] lim 5s 6s 25® ® + = = = + + [ ]1 2 3 4 j1s p s 2s 5D (s p )(s p )Y(s) s - += = +æ ö= - - = ç ÷ è ø { }1 1 1 4 1C Im D 4 5 5 æ öæ ö= = - = -ç ÷ç ÷w è øè ø n Cũng có thể tính A, C1 , C2 bằng công thức : ( )( ) 2 1 8j 3 4j1 8j 35 20 j 7 4D j 3 4j 25 5 59 16j - + - -- + - = = = = - - + - { }2 1 1 7 7C Re D 4 5 20 æ öæ ö= = =ç ÷ç ÷w è øè ø GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 18 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 35 Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=? 2 18s 126Y(s) s(s 23s 126) + = + + 2 s 20Y(s) s(2s 16s 30) + = + + (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 3s 40Y(s) s(s 5)(s 3) + = + + 2 6s 15Y(s) s(s 1)(s 8s 16) + = + + + 2 s 5Y(s) s(s 4s 5) + = + + 2 15s 225Y(s) s(s 18s 225) + = + + 9t 14t4 9y(t) 1 e e 5 5 - -= + - 9t 9t1y(t) 1 e cos12t e sin12t 2 - - -= + 2ty(t) 1 2e sin t 4 - pæ ö= - +ç ÷ è ø 3t 5t2 17 3y(t) e e 3 12 4 - -= - + t 4t 4t15 3 1y(t) e te e 16 4 16 - - +- - -= 5t 3t 3t8 5 31 13y(t) e te e 9 4 6 36 - -- - -= + 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 36 2.3 Hàm truyền 1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0. Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục : n n 1 m m 1 n n 1 0 m m 1 0n n 1 m m 1 d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt - - - -- -+ + + = + + + Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được : n n 1 m m 1 n n 1 0 m m 1 0(a s a s ... a )Y(s) (b s b s ... b )R(s) - - - -+ + + = + + + m m 1 m m 1 0 n n 1 n n 1 0 b s b s ... bY(s)G(s) R(s) a s a s ... a - - - - + + + = = + + + Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta được hàm truyền G(s): GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 19 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 37 2) Nhận xét n Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống (hay phần tử) tuyến tính bất biến. n Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra. n Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống. n Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số. Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số: 2.3 Hàm truyền G(s) Y(s) / R(s) Y(s) R(s).G(s)= ® = Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 38 2.3 Hàm truyền 3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính - Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính: Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính có thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4). n n 1 n n 1 0A(s) a s a s ... a - -= + + + n n 1 n n 1 0a s a s ... a 0 - -+ + + = - Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình đặc tính: 4) Mô tả hệ MIMO Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền. Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra. ij i jG Y / R=Hệ MIMO 1Y M 1R M 3R 4Y GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 20 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 39 2.3 Hàm truyền 5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi Trong đó: zi (i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero. pi (i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực (pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính. 1 2 m 1 2 n Y(s) (s z )(s z )...(s z )G(s) K R(s) (s p )(s p )...(s p ) - - - = = - - - m n bK a = _ là độ lợi (gain). 2 2 4s 28s 40 (s 2)(s 5)G(s) 4 (s 3)(s 10)s 13s 30 + + + + = = + ++ + Ví dụ: 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 40 2.4 Sơ đồ khối 2.4.1 Các thành phần cơ bản 1) Khối chức năng : Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền Y(s) = U(s)*G(s)G(s) U(s) Y(s) 3) Điểm rẽ nhánh : Tín hiệu ở các nhánh là như nhau u u u e= u1- u2u1 u2 2) Bộ tổng : Tín hiệu ra = tổng đại số các tín hiệu vào u= u1+u3u1 u3 (Bộ so) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 21 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 41 2.4 Sơ đồ khối n Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương để rút gọn các sơ đồ khối. n Hai sơ đồ khối là tương đương nếu chúng có cùng quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra. n Để tìm hàm truyền của hệ thống có cấu trúc phức tạp, ta thường tìm cách: 1) Biến đổi SĐK để làm xuất hiện các kết nối cơ bản. 2) Lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo nguyên tắc rút gọn dần từ trong ra ngoài. n Sau đây là một số quy tắc biến đổi cơ bản: 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 42 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 1) Hệ nối tiếp: Hàm truyền chung G = tích các hàm truyền Gi G1 U G2 Y Gn Y1 Y2 Y G U 1 2 n 1 2 n YU.G .G ...G Y G G .G ...G U = ® = = 1 2 nY U.G U.G ... U.G= + + + 1 2 n YG G G ... G U ® = = + + + 2) Hệ song song: Y G UU G1 G2 Gn Y Y1 Y2 Yn Hàm truyền chung G = tổng các hàm truyền Gi U U U GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 22 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 43 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 3) Hệ hồi tiếp n Hệ hồi tiếp âm k Y G( Y.H R)G Y G R 1 G.H - + = ® = = + YR k GG 1 G.H = + k Y G(Y.H R)G Y G R 1 G.H + = ® = = - R Y G H YR k GG 1 G.H = - n Hệ hồi tiếp dương: R Y G H Y Yht E 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 44 2.4.2 Đại số sơ đồ khối YR k GG 1 G = + c c k R c G .GY( Y.H R)G G Y G G R 1 G .G.H - + = ® = = = + n Hệ hồi tiếp có nhiễu n Hệ hồi tiếp âm đơn vị (hàm truyền hồi tiếp H(s)=1 ) Œ Xét riêng tác động của tín hiệu vào R (coi Z1& Z2=0): R Y G ±Z2 R Y Gc H G ±Z1 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 23 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 45 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 1c 1 Z 1 c Y G[( Y.H.G ) Z ]G Y G Z 1 G .G.H ± - ± = ® = = + 2c 2 Z 2 c Y 1( Y.HG G) Z Y G Z 1 G .G.H ± - ± = ® = = + c 1 2 i c c c G .G.R G.Z ZY Y 1 G .G.H 1 G .G.H 1 G .G.HS = = ± ± + + +å Đáp ứng tổng hợp: (áp dụng nguyên lý xếp chồng) Ž Xét riêng tác động của nhiễu Z2 :  Xét riêng tác động của nhiễu Z1 : ±Z2 R Y Gc H G ±Z1 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 46 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối: => Thêm khối G Y Y U G Y G G Y U 5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối: => Thêm khối (1/G) Y G U U Y G 1/G U U 6) Chuyển bộ tổng ra trước một khối: => Thêm khối (1/G) Y= U1G-U2U1 G U2 1/G U1 G U2 Y= U1G-U2 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 24 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 47 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 7) Chuyển bộ tổng ra sau một khối: => Thêm khối (G) U1 G U2 Y=(U1-U2 )G Y= U1G-U2GU1 G U2G 8) Đảo vị trí, tách, nhập hai bộ tổng liền nhau: được phép U1 U2 U3 Y U2 U1 U3 YU1 U3 U2 Y Y=U1-U2+U3 Y=U1+U3-U2 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 48 2.4.2 Đại số sơ đồ khối Œ Kh