Bài giảng môn Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hàm nhiều biến - Nguyễn Văn Tiến

03/04/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm hai biến • Định nghĩa: Cho không gian: • Ánh xạ: • Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D • Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z • x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc     : , , f D R x y z f x y     2 2, : ,R x y x y R va D R   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm ba biến • Định nghĩa: Cho không gian: • Ánh xạ: • Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D • Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với một số thực u • x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc     : , , , , f D R x y z u f x y z     3 3, , : , ,R x y z x y z R va D R   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tập xác định hàm hai biến • Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực. • Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:       2) , ) , ln 2 1 a f x y y x b f x y x y      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tập xác định hàm ba biến • Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. • Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x. • Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x. • Ký hiệu: • Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y ' x z z hay x   03/04/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. • Các đạo hàm riêng của z theo x,y: • Lấy đạo hàm riêng theo từng biến là đạo hàm của hàm một biến khi xem các biến còn lại như hằng số.             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , ' lim , , , ' lim x x x y y y f x y f x y f x yz z x x x x f x y f x y f x yz z y y y y                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số • Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số) • Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) 3 2 43z x xy y   3' 6 4 y z xy y  2 2' 3 3 x z x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân hàm nhiều biến • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng z’x; z’y • Khi đó biểu thức: • Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến đã cho. • Ý nghĩa: ' 'x ydz z dx z dy  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số • Có vi phân toàn phần là 3 2z x y xy      23 2dz x y dx x y dy    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng z’x; z’y • Đây là các đạo hàm riêng cấp 1 • Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi là đạo hàm riêng cấp 2 • Các đạo hàm riêng cấp 2         2 2 '' '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' ' ' ' xx xyx x y yx yy yx y x x y y z z z z z z z z z z       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 • Các đạo hàm riêng cấp 2 còn được ký hiệu lần lượt là: • Ví dụ: Các đạo hàm riêng của: 2 2 2 2 2 2 ; ; ; z z z z x x y y x y           3 2z x y xy   2' 3 ' 2 " 6 " 1 " 1 " 2 x y xx xy yy z x y z y x z x z z z          yx 03/04/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 • Bài tập: Tính các đhr cấp 2 của hàm số: ) ) ) lny xy x a z x b z e c z y          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp 2 • Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z=f(x,y) là biểu thức có dạng: • Chú ý: 2 2 2 2 2" 2 " "xyx yd z z dx z dxdy z dy       2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' " " " " " 2 " " x y xx xy yx yy xyx y d z d dz d z dx z dy d z z dx z dxdy z dydx z dy d z z dx z dxdy z dy           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • VD1. Vi phân cấp 2 của hàm số: • là • VD2. Tính vi phân cấp 2 của hàm số:     2 2 2 3 3 2 2 ) ln ) ) z sin a z x y b z xy x y c x y       3 2z x y xy   2 2 26 2 2d z xdx dxdy dy   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm hai biến_Cực đại • Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D • Xét điểm M0(x0; y0) ∈ • Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có: • Thì M0 gọi là điểm cực đại của hàm số.        0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm hai biến_Cực tiểu • Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D • Xét điểm M0(x0; y0) ∈ • Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có: • Thì M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số.        0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm cực trị • Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị. • Ví dụ: Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 và điểm M0 1; 0 ∈ = 2 • Ta có: • Vậy • M0 là điểm cực tiểu của hàm số.           0 22 2 2 1;0 2 , 2 3 1 2 2 f M f f M f x y x y x x y                  0 0f M f M M M  03/04/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị của hàm nhiều biến • Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm nhiều biến. • Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D. • Điểm là điểm: • Cực đại khi? • Cực tiểu khi? 1 2( , ,...., )nM x x x D Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điều kiện cần để có cực trị • Nếu hàm số f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm thì • Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng. • Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. 1 2( , ,...., )nM x x x D 1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n i f x x x i n x      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận Hess • Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,,xn) có đạo hàm riêng cấp 2. Khi đó, ma trận vuông cấp n gọi là ma trận Hess của hàm số. Nếu hàm số f(x1,x2,,xn) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì ma trận Hess là ma trận đối xứng. 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f H f f f                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ma trận Hess của hàm 3 biến • là ma trận 2 4 5 2 3 5 2 4 4 2 3 5 3 2 5 3 3 4 2 4 4 3 3 4 3 4 3 6 12 15 12 12 20 15 20 20 x y z x y z x y z H x y z x y z x y z x y z x y z x y z            3 4 5( , , )f x y z x y z Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điều kiện đủ của cực trị • Giả sử • là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,,xn) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. • Đặt: 1 2( , ,...., )nM x x x D 2 1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n i j f a x x x i j n x x       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điều kiện đủ để có cực trị • Ma trận Hess: • Xét các định thức con chính: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a H a a a                    11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 211 12 1 11 2 21 2 1 2 1 2 , , , , , k n k n k n k k kk n n nn a a a a a a a a a a a aa a D a D D D a a a a a a a a                     03/04/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn xét cực trị • i) Nếu D1>0, D2>0, , Dn>0 thì M là điểm cực tiểu của hàm số • ii) Nếu D10, , (-1) n Dn>0 thì M là điểm cực đại của hàm số • iii) Nếu Di≥0 (hay (-1) i Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phương của hàm số tại . Hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại điểm M. Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác. • iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải là điểm cực trị. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Áp dụng cho hàm 2 biến • Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục M0(x0, y0) và điểm M0(x0, y0) là điểm dừng của hàm số. • Ta đặt: 2 2 0 0 0 02 2 2 0 02 ( ; y ) B ( ; y ) ( ;y ) f f A x x x x y A Bf C x AC B B Cy               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Áp dụng cho hàm 2 biến • i) Nếu A>0, ∆>0 thì M0 là điểm cực tiểu • ii) Nếu A0 thì M0 là điểm cực đại • iii) Nếu ∆<0 thì M0 không là điểm cực trị • iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các bước tìm cực trị hàm 2 biến • 1. Tìm tập xác định • 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 • 3. Giải hệ pt tìm điểm dừng • 4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng • 5. Xét dấu định thức cấp 2 • 6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có) ' 0 ' 0 x y z z    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số • Đ/S: cực tiểu tại M(1;1) 3 3( , ) 3f x y x y xy   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số • Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2) 3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y       03/04/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập • Tìm cực trị của hàm số: 4 4 2 2 5 5 2 2 3 3 ) 2 ) 5 8 ) ) 3 6 ) 6 a z x y x xy y b z xy x y x c z y d z x xy y x y x y e z x y xy                    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN • a) Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biến chọn và một phương trình ràng buộc. • b) Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biến chọn và một phương trình ràng buộc Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số: • Với điều kiện:  , 2f x y xy x  8 4 120x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK cần • Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0 • Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho: • Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. • Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 f x y x y x x f x y x y y y x y                      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK cần • Ta viết lại phương trình đã cho dạng: • Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) • Giải phương trình ta có λ, x0,y0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 L x y x L x y y L x y          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK đủ • Ta xét giá trị của định thức • Hoặc • Tại các điểm dừng tìm được xx xy x yx yy y x y L L L D L L L L L L               0x y x y x xx xy x xx xy y yx yy y yx yy L L L D L L L L L L L L L L                            03/04/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK đủ • Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm số. • Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số. • Nếu D=0 thì chưa có kết luận gì về điểm M(x0;y0) đang xét. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số • với điều kiện: • Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3) • Cực đại tại N(-4/3;-5/3) ( , ) 6 4 3f x y x y   2 2 1.x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến n biến chọn (tham khảo) • Cho hàm số z=f(x1,x2,,xn) với ràng buộc ϕ(x1,x2,,xn)=0. Giả sử: • là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho: • Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. • Hàm số L(x1,x2,,xn,λ)=f(x1,x2,,xn)+ λϕ(x1,x2,,xn) được gọi là hàm số Lagrange. 1 2( , ,...., )nM x x x 1 2 1 2 1 2 ( , ,...., ) ( , ,...., ) 0 ( , ,...., ) 0 n n i i n f x x x x x x x x x x x            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến n biến chọn (tham khảo) • Ta viết lại hệ phương trình: 1 2 1 2 ( , ,...., ) 0 ; 1,2, , ( , ,...., ) 0 n i n L x x x i n x L x x x          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến n biến chọn (tham khảo) • Ta lập ma trận: • Trong đó: 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 0 n n n n n n nn L L L H L L L L L L                               1 2 2 1 2 ( , ,...., ) ; 1,2, , ( , ,...., , ) ; , 1,2, , k n k ij n i j x x x k n x L L x x x i j n x x               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến n biến chọn (tham khảo) • Xét các định thức: • Nếu D2>0, D3<0, , (-1) nDn>0 thì M là điểm cực đại có điều kiện của hàm số. • Nếu D2<0, D3<0, , Dn<0 thì M là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số. 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 0 ( 2,3, , ) k k k k k k k kk L L L D L L L k n L L L                   03/04/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện: 2. Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện:  , 5f x y x y   2 2 1x y   , 8 15 2f x y x y   2 22 3 107x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến GTLN, GTNN (tham khảo) • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, bị chặn • Cho D là tập đóng, bị chặn trong miền có biên cho bởi phương trình ϕ(x1,x2,,xn)=0 • Giả sử f(x1,x2,,xn) là hàm số liên tục trên D. • Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên D. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến GTLN, GTNN (tham khảo) • B1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiện ϕ(x1,x2,,xn)=0. • B2. Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,,xn) thuộc D. • B3. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm tại các điểm tìm được ở trên. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm • trong miền • Đ/S: 2 2( , ) x 2f x y y x   2 2: 1D x y  1 1 1 3 9 min ,0 ; max , 2 4 2 2 4D D f f f f                 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Miền D: 2 + 2 ≤ 1 • Biên của miền D là 2 + 2 = 1 • Bước 1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: • Bước 2. Tìm các điểm dừng thuộc D của hàm số • Bước 3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm tìm được và kết luận. 2 2 1 0x y   2 2( , ) 2f x y x y x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 1. • Hàm Lagrange: • Ta có hệ phương trình:    2 2 2 2, , 2 1L x y x y x x y             2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 10 2 1 2 0 0 0 4 2 0 2 0 2 1 00 1 0 1 0 x y x xL x x y L y y y x yL x y x y                                                   03/04/2017 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải tiếp hpt ta có 4 nghiệm • Như vậy có 4 điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: • Đặt 4 điểm như sau: 1/ 2 3 / 2 2 2 0 0 1/ 2 1 / 2 1 1 3 / 2 3 / 2 y y x x x x y y                                      2 2 1 0x y          1 2 3 41;0 ; 1;0 ; 1 / 2; 3 / 2 ; 1/ 2; 3 / 2M M M M   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 2. • Hệ phương trình tìm điểm dừng: • Ta nhận điểm này vì thuộc miền D do:  5 0 2 1 0 1 / 2 1/ 2;0 0 4 0 0 x y f x x M f y y                 2 2 1 10 1 4 4 x y     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 3. • Ta có: • Tương tự:     2 21 1;0 1 2.0 1 0f M f                   2 2 2 3 4 5 1;0 1 2.0 1 2 1 3 9 1 3 9 ; ; ; 2 2 4 2 2 4 1 1 ;0 2 4 f M f f M f f M f f M f                                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • So sánh giá trị hàm số tại M1, M2, M3, M4, M5 ta có:       5 3 4 1 1 min ,0 2 4 1 3 9 max , 2 2 4 D D f f M f f f M f M f                     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm ẩn • Cho phương trình F(x,y)=0 • Nếu với mỗi giá trị của x ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị của y thỏa mãn phương trình trên thì F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y theo x. • Kí hiệu: y = , ∈ (; ) • Nếu giải được phương trình F(x,y)=0 để có thể biểu diễn y theo x bằng biểu thức thì ta có thể đưa y về dạng hàm tường minh. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho phương trình: • Giải phương trình này ta có được hàm của y theo x: • Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y theo x trong R.   3, 1 0F x y x y    3 1y x  3 1y x  03/04/2017 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho phương trình: • Với mỗi giá trị của x ta có: • Ta nói phương trình x2+y2-1=0 không xác định hàm ẩn nào của y theo x.   2 2, 1 0F x y x y    21y x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm ẩn • Trong nhiều trường hợp, mặc dù ta có thể chứng minh được rằng phương trình F(x,y)=0 xác định một hàm số y=y(x) nhưng ta không thể biểu diễn y theo x một cách trực tiếp. Trong trường hợp đó ta phải xét hàm số y gián tiếp dưới dạng phương trình F(x,y)=0. • Kí hiệu y=y(x) chỉ mang ý nghĩa hình thức để nói y là hàm số của biến số x. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ẩn • Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y)=0. Ta có: ( , ) ( ) ( , ) F x y xy x F x y y       ' ' ' x x y F y F   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình: • Đ/S:  2 22 1 0 0x y y    2 'x x y y   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm nhiều biến trong kinh tế • Hàm sản xuất • Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận • Hàm lợi ích • Hàm cung, hàm cầu 03/04/2017 11 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm sản xuất • Hàm sản xuất là hàm dạng: Q=Q(K,L) • trong đó K là vốn, L là lao động. • Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng: • trong đó a, α, β là hằng số dương. ,Q aK L  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận • Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì: TC=WKK+WLL+C0 • trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định. • Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là giá thị trường của sản phẩm. • Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lợi ích • Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy nhất u=u(x,y,z) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cung, hàm cầu • Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng là P1, P2,,Pn. Khi đó • Hàm cung: • Hàm cầu: 1 2( , , , )iS i nQ S P P P  1 2( , , , )iD i nQ D P P P  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng và giá trị cận biên • Xét mô hình hàm kinh tế: • trong đó xi là các biến số kinh tế. • Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M được gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó. • Biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi.  1 2, ,..., nw f x x x Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị cận biên_hàm sx • Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L) • Các đạo hàm riêng: • được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) t