Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất

2/13/2019 1 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 1nguyenvantien0405.wordpress.com 1.1 Phép thử và biến cố • Phép thử • Biến cố (kết quả, kết cục) • Không gian mẫu • Ký hiệu: Ω • Phân loại biến cố Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2nguyenvantien0405.wordpress.com Biến cố ngẫu nhiên • Biến cố sơ cấp wi • Biến cố (ngẫu nhiên) • Ký hiệu: A, B, C, A1, A2 • Biến cố ngẫu nhiên chứa một vài biến cố sơ cấp nào đó. 3Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019nguyenvantien0405.wordpress.com Biểu diễn • Không gian mẫu: chứa tất cả các kết quả của phép thử • Biến cố: tập con của không gian mẫu, chứa một vài kết quả của phép thử Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 4  BA  A và B là các biến cố trong không gian mẫu Ω  B chứa nhiều kết quả hơn A  Các kết quả nằm trong A đều nằm trong B nguyenvantien0405.wordpress.com 1.2 Quan hệ các biến cố • Kéo theo • Tương đương • Tổng (Hợp) • Đối lập • Tích (Giao) • Xung khắc • Hiệu Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 5nguyenvantien0405.wordpress.com Quan hệ kéo theo • Định nghĩa. Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. • Ký hiệu: AB, • Ta nói A là biến cố thuận lợi cho B • Biểu diễn: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 6  BA nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 2 Ví dụ 1 • Theo dõi 3 bệnh nhân đang được điều trị. • Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3) • B: có nhiều hơn 1 bệnh nhân khỏi bệnh. • Xét quan hệ kéo theo giữa các cặp biến cố sau: • A2 và B • A3 và B • A1 và B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 7nguyenvantien0405.wordpress.com Quan hệ tương đương • Định nghĩa. Biến cố A tương đương với biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại • Kí hiệu: A=B • Ví dụ 2. Mua ngẫu nhiên 5 bóng đèn • A: ít nhất 3 bóng hỏng • B: nhiều nhất 2 bóng tốt • A và B có tương đương? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 8 A B A B B A      nguyenvantien0405.wordpress.com Biến cố tổng • Định nghĩa. Biến cố C được gọi là tổng (union) của hai biến cố A và B nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. • Kí hiệu. C=A∪B hay C=A+B • Biến cố C xảy ra khi A hoặc B xuất hiện trong phép thử Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 9nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 3 • Mua ngẫu nhiên 2 bóng đèn. • A: biến cố bóng 1 hỏng • B: biến cố bóng 2 hỏng • Hãy mô tả biến cố A+B? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 10nguyenvantien0405.wordpress.com Biến cố đối lập • Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu 𝐴 là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. • Ta có: Ω 𝐴 = Ω\ Ω𝐴 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 11 A A A nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 4 • Khi gieo một con xúc sắc. • Gọi A: bc số chấm chẵn thì 𝐴 là bc số chấm lẻ Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 12       1,2,3,4,5,6 2,4,6 1,3,5 \A AA          nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 3 Biến cố tích • Định nghĩa. Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nến C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra. • Ký hiệu. C=A.B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 13nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 5 Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2. Cho các biến cố sau • A: sinh viên đậu Toán Cao cấp • B: sinh viên đậu Nguyên lý 2 a) A.B là biến cố nào? b) Biểu diễn các biến cố sau theo A, B i. C: Sinh viên không đậu cả hai môn ii. D: Sinh viên chỉ đậu môn Toán Cao cấp Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 14nguyenvantien0405.wordpress.com Quan hệ xung khắc • Định nghĩa. Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc với nhau nếu A và B không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử. • Ngược lại thì hai biến cố gọi là không xung khắc • Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 15   0 AB P AB   nguyenvantien0405.wordpress.com Xung khắc từng đôi • Định nghĩa. Các biến cố A1, A2,,An gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong n biến cố này cũng xung khắc với nhau. • Ví dụ 6. Tổ có 3 sinh viên, hãy chỉ ra nhóm các biến cố xung khắc từng đôi trong số các biến cố sau. • A1: có đúng 1 nam A2: có đúng 2 nam • A3: tất cả là nam A4: có ít nhất 1 nam • A5: có cả nam và nữ Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 16nguyenvantien0405.wordpress.com Biến cố hiệu • Định nghĩa. Biến cố xuất hiện biến cố A nhưng không xuất hiện biến cố B gọi là biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A\B. • Ta có: • Nghĩa là: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 17 \ .A B A B BA  A\B nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 7 • Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2 • A: sinh viên đậu Toán Cao cấp • B: sinh viên đậu Nguyên lý 2 • Mô tả các biến cố: • A\B; A+B • B\A; A + B; A + B ; A . B • Nhận xét gì về: A + B và A . B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 18nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 4 Tính chất Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 19           ) . . . ) . . ) ) . . ) ) . . ) . . . .                                   i A A A A A A A A A A A A ii A B B A A B B A iii A B C AB AC iv A BC A B A C v A A vi A B A B A B A B vii A B C A BC ABC A B C nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 8 • Có 3 xạ thủ bắn vào mục tiêu • A, B, C là bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng Biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C và các phép toán (các quan hệ). a) Có đúng một xạ thủ bắn trúng b) Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 20nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 9 a) Xác định biến cố X từ đẳng thức sau: b) Cho 4 sản phẩm. Gọi A là bc cả 4 sp đều tốt. B là bc có ít nhất 1 phế phẩm. Cho biết ý nghĩa các bc sau: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 21 X A X A B    , , , , , , , , . A B A B AB AB AB A B A B A B A B     nguyenvantien0405.wordpress.com 1.3 Xác suất của biến cố • Khái niệm • Các định nghĩa nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 22 Khái niệm • Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố trong phép thử. • Kí hiệu xác suất: P(A) • Tính chất: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 23       ) 0 1 ) 0, 1 i P A ii P P       nguyenvantien0405.wordpress.com Định nghĩa cổ điển • Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số biến cố thuận lợi cho A và tổng số các biến cố đồng khả năng có thể xảy ra. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 24 𝑃 𝐴 = n(A) n(Ω) = Số biến cố thuận lợi cho A Số biến cố có thể xảy ra nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 5 Ví dụ 10 Cơ quan có 50 người, trong đó có 25 người học về đại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10 người học cả hai, còn lại không ai học đại học. Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó: a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành b) Học ĐH ít nhất 1 ngành c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 25nguyenvantien0405.wordpress.com QUI TẮC ĐẾM • Quy tắc cộng • Quy tắc nhân • Tổ hợp chập k của n phần tử • Chỉnh hợp chập k của n phần tử • Hoán vị của n phần tử Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 26nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 11 • Một khách hàng chọn mua một hộp gồm 12 sản phẩm. Ông ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm của hộp để kiểm tra, nếu không có phế phẩm thì sẽ mua hộp sản phẩm đó. • Tính xác suất người đó mua hộp sản phẩm biết rằng trong hộp có 4 phế phẩm. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 27nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 12 Một nhóm gồm n người. Tìm xác suất để trong nhóm có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh (cùng ngày và tháng). Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 28nguyenvantien0405.wordpress.com Định nghĩa hình học • Nếu phép thử có không gian mẫu  được biểu diễn bởi miền hình học  và biến cố A được biểu diễn bởi miền hình học A: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 29       Ñoä ño mieàn A Ñoä ño mieàn     s A P A s nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 13 • https://brilliant.org/wiki/1-dimensional-geometric-probability/ • Your bus is coming at a random time between 12 pm and 1 pm. If you show up at 12:30 pm, how likely are you to catch the bus? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 30nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 6 Ví dụ 14 • Both the bus and you get to the bus stop at random times between 12 pm and 1 pm. When the bus arrives, it waits for 5 minutes before leaving. When you arrive, you wait for 20 minutes before leaving if the bus doesn't come. What is the probability that you catch the bus? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 31nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 15 • Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm nào đó từ 19h đến 20h. Mỗi người đến (chắc chắn sẽ đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20 phút; nếu không thấy người kia đến sẽ bỏ đi. Tìm xác suất để 2 người gặp nhau. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 32nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 16 • Ta có: x, y là thời điểm đến của mỗi người • A: bc hai người gặp nhau. Như vậy: • Biểu diễn: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 33 1 3 x y       , :19 20;19 20 1 , :19 20;19 20; 3 x y x y A x y x y x y                     5 9 P A  nguyenvantien0405.wordpress.com Định nghĩa thống kê • Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 34    n A f A n  nguyenvantien0405.wordpress.com Định nghĩa thống kê • Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 35     lim n n A P A n    p P A f A  nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 17 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 36 • Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu cân đối, đồng chất. • Tần suất dần tới 0.5 • https://seeing-theory.brown.edu/basic- probability/index.html#section2 nguyenvantien0405.wordpress.com Người tung Số lần tung Số lần sấp Tần suất Buyffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 2/13/2019 7 Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm): Nếu một biến cố có xác suất rất gần 0 thì thực tế có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. • Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 37nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 18 • Lớp có 50 sinh viên. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên thì cả 2 sinh viên đều không làm bài tập. • Hãy ước lượng số sinh viên không làm bài trong lớp? (sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ) Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 38nguyenvantien0405.wordpress.com 1.4 Các công thức tính xác suất • Xác suất điều kiện • Công thức nhân • Công thức cộng • Công thức Bernoulli • Công thức xác suất đầy đủ • Công thức Bayes Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 39nguyenvantien0405.wordpress.com Xác suất điều kiện • Định nghĩa. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A hay xác suất của A trong điều kiện B. • Kí hiệu: P(A|B) Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 40nguyenvantien0405.wordpress.com Tính độc lập • Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại. • Nếu hai biến cố A, B độc lập thì: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 41                P P B A B A P B P B A P P A P P A B A B     nguyenvantien0405.wordpress.com Độc lập từng đôi và độc lập toàn phần • Các biến cố A1, A2,,An gọi là độc lập từng đôi (pairwise independence) nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đó độc lập với nhau. • Các biến cố A1, A2,,An gọi là độc lập toàn phần (mutual independence) nếu mỗi biến cố độc lập với mọi tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 42nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 8 Công thức nhân xác suất • Hai biến cố bất kỳ • Hai biến cố độc lập Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 43          . .P AB P A P B A P B P A B       .P AB P A P B nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức nhân mở rộng • Các biến cố bất kỳ • Các biến cố độc lập toàn phần Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 44        1 2 1 2 1 1 2 1. ... ... . ...n n nP A A A P A P A A P A A A A         1 2 1 2. ... ...n nP A A A P A P A P A nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức xác suất điều kiện • Công thức: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 45       ( ) 0 P AB P A B neu P B P B   nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 19 • Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là 0,83 • Xác suất chuyến bay đến đúng giờ là 0,82 • Xác suất một chuyến bay vừa khởi hành đúng giờ vừa đến đúng giờ là 0,78 • a) XS chuyến bay đến đúng giờ biết nó đã khởi hành đúng giờ • b) Khởi hành đúng giờ biết nó đến không đúng giờ. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 46nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 19 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 47nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức cộng xác suất • Hai biến cố bất kỳ • Hai biến cố xung khắc Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 48        .P A B P A P B P A B         P A B P A P B   nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 9 Ví dụ 20 Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45. Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 49nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 21 • Sinh viên A sắp tốt nghiệp. Sau khi tham gia hội chợ việc làm tại trường, được 2 công ty phỏng vấn anh ta đánh giá như sau: • Xs anh ta được công ty A chọn là 0,8. • Xs anh ta được công ty B chọn là 0,6. • Xs anh ta được cả 2 công ty chọn là 0,5. • Tính xác suất anh ta được chọn bởi ít nhất 1 công ty? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 50nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức cộng mở rộng • Các biến cố xung khắc từng đôi • Các biến cố tùy ý Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 51        1 2 1 2... ...      n nP A A A P A P A P A  1 2 ... ???   nP A A A nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức cộng mở rộng • Cho 3 biến cố: • Cho n biến cố: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 52           1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 33 1 1 2 ( ) ( ) ( ) P A P A A A P A A P A A P A P A P A P A A AA                   1 2 1 1 1 2... 1 ... ( ... ) n n i i j i i j n n i j k n j k n i P A P A A P A A A P A A A A A P A                 nguyenvantien0405.wordpress.com Tính chất xác suất điều kiện • Khi cố định điều kiện A với P(A)>0. Ta có: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 53                     ) 0, 1 ) 1, 0 ) ) 1 i P B A P A A ii P A P A iii P B C A P B A P C A P BC A iv P B A P B A             nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 22 • Trong đợt đấu giải tennis, A sẽ gặp B và sau đó A sẽ gặp C. Xác suất A thắng B là 0,6 và xác suất A thắng C là 0,7. • Nếu A đã thắng B thì xác suất A thắng C là 0,85. • Tính xác suất: • a) A thắng cả B lẫn C. • b) A chỉ thắng một trong hai người • c) A thắng ít nhất 1 người Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 54nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 10 Ví dụ 23 • Hộp 1 có 7 bóng trắng và 3 bóng đen • Hộp 2 có 10 trắng và 5 đen • Lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2 (không nhìn bóng lúc bỏ) • Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ hộp 2 thì ta được bóng màu đen. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 55nguyenvantien0405.wordpress.com Dãy phép thử Bernoulli • i) Các phép thử độc lập • ii) Chỉ quan tâm biến cố A hoặc 𝐴 • iii) Xác suất xuất hiện biến cố A trong mọi phép thử là bằng nhau Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 56     1P A p P A p q    nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức Bernoulli Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong dãy n phép thử Bernoulli là: Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 57   k k n kn nP k C p q  nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 24 • Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8. Tính xác suất người đó: • A) Bán được ở đúng 1 nơi • B) Bán được ở đúng 2 nơi • C) Bán được ở ít nhất 1 nơi Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 58nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 25 • Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phần để lựa chọn trả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần của câu hỏi. Tính xác suất trong các trường hợp sau: • a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm). • b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi. Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 59nguyenvantien0405.wordpress.com Công thức xác suất đầy đủ • Hệ biến cố đầy đủ • “luôn có 1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xảy ra khi thực hiện phép thử” Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 60 1 2 ) . , ) ...         i j n i A A i j ii A A A nguyenvantien0405.wordpress.com 2/13/2019 11 Công thức xác suất đầy đủ Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 61       1 n i i i P A P H P A H   nguyenvantien0405.wordpress.com • Biến cố A phụ thuộc vào hệ biến cố đầy đủ Hi • Xác suất của biến cố A: Công thức Bayes Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 62           1 i i i n i i i P H P A H P H A P H P A H    nguyenvantien0405.wordpress.com https://www.bayestheorem.net/          P B A P A P A B P B Ví dụ 26 • Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 63 6 chính phẩm 4 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm HỘP 1 HỘP 3 HỘP 2 nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 27 • Công ty có 3 máy sản xuất các sản phẩm. Tương ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% và 25% sản phẩm của công ty. Theo đánh giá có 2%; 3% và 1% các sản phẩm của các máy tương ứng kém chất lượng. • Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xác suất sản phẩm này kém chất lượng là bao nhiêu? • Giả sử sp chọn ra là sp tốt. Khả năng cao nhất sp này do máy nào sx ra? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 64nguyenvantien0405.wordpress.com Tính xác suất của biến cố • 1. Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn đến biến cố đó. • 2. Biểu diễn biến cố thông qua các quan hệ để đơn giản hóa. • 3. Xác định công thức tính (cần chú ý các điều kiện đối với mỗi công thức sử dụng) Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 65nguyenvantien0405.wordpress.com Bài tập chương 1 • 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17 • 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37 • 1.38;.139;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50 • 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 66nguyenvantien0405.wordpress.com