Bài giảng phần lượng giác

◘ ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Đơn vị đo góc và cung: Độ và Radian (Rad). 2. Đổi độ sang Radian (rad) 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thường dùng: BÀI GIẢNG PHẦN LƯỢNG GIÁC Độ Rad II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Định nghĩa: 2. Đường tròn lượng giác: Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: III. Định nghĩa giá trị lượng giác 1. Đường tròn lượng giác: A: điểm gốc của cung lượng giác. x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) y'Oy : trục sin ( trục tung ) t'At : trục tang u'Bu : trục cotang 2. Định nghĩa các giá trị lượng giác Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R=1), điểm M(x;y) thuộc (O;R), gọi: ta có: 2. Định nghĩa các giá trị lượng giác: a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho số đo cung AM = α. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu. Ta có: b. Các tính chất : c. Tính tuần hoàn: IV. Giá trị lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt: 2. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: 3. Các hệ thức cơ bản: Hệ quả: Giá trị lượng giác các góc liên quan đặc biệt: 1. Hai góc đối nhau: 2. Hai góc bù nhau: 3. Hai góc hơn, kém π: 4. Hai góc phụ nhau: 5. Hai góc hơn nhau π/2: 1. Hai góc đối nhau: 2. Hai góc bù nhau: 3. Hai góc hơn, kém π: 4. Hai góc phụ nhau: 5. Hai góc hơn nhau π/2: V. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng góc: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2. Công thức góc nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa . cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a. 3. Công thức hạ bậc: 4. Công thức góc nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa 5. Công thức sinx, cosx, tanx, cotx theo : 5. Công thức biến đổi tổng thành tích: 6. Công thức biến đổi tích thành tổng: Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Các hàm số y = sinx và y = cosx. a) Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cosin của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là y = cosx. Tập xác định của y = sinx và y = cosx là R. Do đó: sinx là hàm số lẻ. Bởi vì: cosx là hàm số chẵn. Bởi vì: A A’ B B’ Trục cosin Trục sin M H K x 0 b. Tính chất tuần hoàn của y = sinx, y = cosx Ta có: sin(x + k2π) = sinx và cos(x + k2π) = cosx . Trong các số dạng k2π (k thuộc Z) thì số 2π là số nhỏ nhất, do đó hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π . c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π nên ta chỉ cần khảo sát hàm số trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng hạn trên [-π ; π] . Chiều biến thiên: Hàm số giảm trên Hàm số tăng trên A A’ B B’ Trục cosin Trục sin M H K x 0 Bảng biến thiên: Đồ thị: c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cosx Do hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π nên ta chỉ cần khảo sát hàm số trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng hạn trên Chiều biến thiên: Hàm số tăng trên Hàm số giảm trên Chú ý: có thể tịnh tiến đồ thi hàm số y = sinx dọc theo trục Ox một đoạn bằng π/2 ta được đồ thi hàm số y = cosx A A’ B B’ Trục cosin Trục sin M H K x 0 Bảng biến thiên: Đồ thị: GHI NHỚ Hàm số y = sinx Có tập xác định là R. Có tập giá trị là [-1;1] Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn chu kì 2π. Đồng biến trong mỗi khoảng: Nghịch biến trong mỗi khoảng: Có đồ thị là đường hình sin. Hàm số y = cosx Có tập xác định là R. Có tập giá trị là [-1;1] Là hàm số chẵn. Là hàm số tuần hoàn chu kì 2π. Đồng biến trong mỗi khoảng: Nghịch biến trong mỗi khoảng: Có đồ thị là đường hình sin. 2. Các hàm số y = tanx và y = cotx. a) Định nghĩa: Đặt: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x thuộc D1 với với số thực: được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Đặt: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x thuộc D2 với với số thực: được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của y = tanx là D1 và của y = cotx là D2. Do đó: tanx là hàm số lẻ. Bởi vì: cotx là hàm số lẻ. Bởi vì: A A’ B B’ Trục cotang Trục tang M H K x 0 I S b. Tính chất tuần hoàn của y = tanx, y = cotx Ta có: tan(x + kπ) = tanx và cot(x + kπ) = cotx . Trong các số dạng kπ (k thuộc Z) thì số π là số nhỏ nhất, do đó hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì π . c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx Do hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π nên ta chỉ cần khảo sát hàm số trên một đoạn có độ dài π, chẳng hạn trên Chiều biến thiên: Hàm số tăng trên các khoảng A A’ B B’ Trục cotang Trục tang M H K x 0 I S Đồ thị hàm số y = tanx c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cotx Do hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π nên ta chỉ cần khảo sát hàm số trên một đoạn có độ dài π, chẳng hạn trên Chiều biến thiên: Hàm số giảm trên các khoảng: A A’ B B’ Trục cotang Trục tang M H K x 0 I S Đồ thị hàm số y = cotx GHI NHỚ Hàm số y = tanx Có tập xác định là Có tập giá trị là R. Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn chu kì π. Đồng biến trong mỗi khoảng: Có đồ thị nhận mỗi đườngthẳng làm đường tiệm cận. Hàm số y = cotx Có tập xác định là: Có tập giá trị là R. Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn chu kì π. Nghịch biến trong mỗi khoảng: Có đồ thị nhận mỗi đườngthẳng làm đường tiệm cận. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: Lời giải: a) Hàm số có tập xác định D = R, vì: b) Hàm số xác định c) Hàm số xác định d) Hàm số xác định Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số Lời giải: Vậy hàm số lẻ. Vậy hàm số không chẵn và không lẻ. Vậy hàm số không chẵn và không lẻ. Vậy hàm số lẻ. Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: Lời giải: Bài 4. Cho các hàm số: f(x) = sinx, f(x) = cosx; f(x) = tanx và các khoảng Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng J1? Trên khoảng J2? Trên khoảng J3? Trên khoảng J4? Lời giải: Ta có: -3π/2 3π/2 π π/4 -π/4 0 Bài 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? khẳng định nào sai? Giải thích vì sao. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến. b) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin2x đồng biến thì hàm số y = cos2x nghịch biến. Lời giải: a) sai. Vì chẳng hạn trên khoảng Ta có hàm số y = sinx đồng biến mà hàm số y = cosx không nghịch biến. b) đúng. Vì chẳng hạn trên khoảng J mà hàm số y = sin2x đồng biến, thì với x1, x2 tùy ý mà x1 sin2x2, từ đó ta có cos2x1 = 1 - sin2x1 cos2x2 Vậy hàm số y = cos2x nghịch biến trên J. Bài 6. Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý, luôn có f(x+kπ) = f(x) với mọi x. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên c) Vẽ đồ thị hàm số y = 2sin2x. Lời giải: b) Bảng biến thiên: c) Đồ thị: Luyện tập Bài 7. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: Lời giải: Ta có: Vậy hàm số không chẵn và không lẻ. Vậy hàm số chẵn. Vậy hàm số lẻ. Bài 8. Cho các hàm số Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đó đều có tính chất: f(x+kπ) = f(x) với k thuộc Z, x thuộc tập xác định của f. Lời giải: Bài 9. Cho hàm số y = f(x) = Asin(ωx+α) (A, ω, α là các hằng số; A, ω khác 0) Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý, luôn có Lời giải: Ta có: Luyện tập Bài 10. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng y = x/3 với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn Lời giải: Ta có: Bài 8. Từ đồ thị hàm số y = sinx hãy suy ra đồ thị các hàm số sau và vẽ đồ thi các hàm số đó: Lời giải: §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ: . §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 1. Nghiệm của phương trình là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (A) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 2. Nghiệm của pt: là: Chọn một đáp án sau: Đáp án là : (B) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 3. Nghiệm của phương trình: là: Chọn một đáp án sau: Đáp án là : (A) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 4. Nghiệm của phương trình là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (D) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 5. Nghiệm của pt: là: Chọn một đáp án sau: Đáp án là : (B) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 6. Nghiệm của pt: là: Chọn một đáp án sau: Đáp án là : (C) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 7. Nghiệm của pt : là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (B) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 8. Nghiệm của pt: là: Chọn một đáp án sau: Đáp án là : (D) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 9. Số nghiệm nằm trong [-π;π] của pt: Cot3x = -1 là: Chọn một đáp án sau: Đáp án là : (A) A. B. C. D. Gợi ý: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ  Phương trình lượng giác cơ bản Câu 10. Nghiệm nằm trong [-5π/2;3π/2] của pt: là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (A) A. B. C. D. Gợi ý: II. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atan2x + btanx + c = 0 4) acot2x + bcotx + c = 0 Phương pháp giải toán: Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tanx, t = cotx) và điều kiện của t (nếu có). Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0. Bước 3. Thay vào t = cosx (hoặc t = sinx, t = tanx, t = cotx) giải tìm x. Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải Đặt t = sinx, với -1 ≤ t ≤ 1, ta có: Vậy (1) có các họ nghiệm: Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải Đặt t = sinx, với -1 ≤ t ≤ 1, ta có: Vậy (2) có các họ nghiệm: Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải Đặt t = cot3x, ta có: Vậy (3) có các họ nghiệm: Ví dụ 4. Giải phương trình: Giải Đặt t = cosx, với -1 ≤ t ≤ 1, ta có: Vậy (3) có các họ nghiệm: 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx : asinx + bcosx + c = 0 (*)(a và b khác 0) Phương pháp giải toán: Cách 1: Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt Bước 2. Biến đổi (*) . Cách 2: Bước 1. Chia hai vế (*) cho và đặt: Bước 2. (*) Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải Cách 1: Cách 2: Ví dụ 2. Giải phương trình: Cách 1: Cách 2: 3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx, cosx :a. Đẳng cấp bậc hai: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0(*) Phương pháp giải : Cách 1: Bước 1. Kiểm tra x = π/2 + kπ có là nghiệm của (*) ?. Bước 2. Với x ≠ π/2 + kπ , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: (*)  atan2x + btanx + c = 0. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải Nhận thấy x = π/2 + kπ không thỏa (1). Với x ≠ π/2 + kπ , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được: Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Cách khác: b. Phương trình đẳng cấp bậc cao: Phương pháp giải toán: Cách 1: Bước 1. Kiểm tra x = π/2 + kπ có là nghiệm của phương trình không. Bước 2. Với x ≠ π/2 + kπ , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tanx. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích. Ví dụ 3. Giải pt: 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3). Giải Cách 1. Nhận thấy x = π/2 + kπ không thỏa (3). Với x ≠ π/2 + kπ , chia hai vế của (3) cho cos5x ta được: Cách 2: 4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx:a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp giải toán: Bước 1. Đặt Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t. Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx. Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải Đặt t = sinx + cosx suy ra sin2x = t2 – 1. với Thay vào (1) ta được: . Ví dụ 2. Giải phương trình: sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2) Giải Đặt t = sinx – cosx Thay vào (2) ta được: 5. Dạng phương trình khác: Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải. Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Giải: Ví dụ 2. Giải phương trình: sin2x + sin4x = sin6x (2). Giải: Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị của biểu thức là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (C) A. B. C. D. BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 2. Giá trị của cot1485o là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (B) A. Không xác định. B. 1 C. -1 D. 0 BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 3. Thu gọn biểu thức Ta được: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (A) A. -tan4x . B. tan4x C. –tan3x D. tan3x BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 4. Biểu thức Có giá trị là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (C) A. -2. B. -1/2 C. 1/2 D. 2 BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 5. Biểu thức Có giá trị là: Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (A) A. -1/4. B. -1 C. 2 D. 1/4 BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 6. x, y đều là góc nhọn và dương, có: Tổng x + y bằng : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (B) A. B. C. D. BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 7. Rút gọn biểu thức : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (C) A. 0 B. -cosx C. -2cosx D. sinx - cosx BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (ĐH NH) Câu 1. Cho khi đó sinα bằng : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (C) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng công thức: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 2. Cho khi đó sinα bằng : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (B) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng công thức: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 3. Cho khi đó sinα bằng : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (D) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng công thức: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 4. Cho khi đó cotα bằng : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (C) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng công thức: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 5. Cho khi đó cotα bằng : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (A) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng công thức: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của α sao cho cosα = 0 : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (D) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng đường tròn đơn vị: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của α sao cho sinα = -1 : Chọn một đáp án dưới đây: Đáp án là : (B) A. B. C. D. Gợi ý: Dùng đường tròn đơn vị: BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 8. Có sinα =1/5, tanα 0 C. m < 3 D. Không có m. Gợi ý: ĐỀ THI TOÁN LỚP 11 – LẦN 1Phần lượng giác (4 điểm) Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số Bài 2. Giải phương trình ĐÁP ÁN Bài 1.(1 đ) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số Vậy hàm số lẻ. Vậy hàm số không chẵn và không lẻ. Bài 2.(3 đ) Giải phương trình Bài 2. Giải phương trình (tiếp theo) Phần Đại số tổ hợp (3 điểm) Bài 3. Trong 1 lớp học có 30 HS nam và 13 HS nữ. Thầy giáo cần 5 HS nam và 3 HS nữ thành lập một đội đi tham gia chiến dịch "Mùa hè xanh" của Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội? Bài 4. Xét khai triển (1+2x)7 . Tìm hệ số của x5 trong khai triển. Bài 5. Một chiếc hộp có 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. a) Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn. b) Tính xác suất để kết quả nhận được là một số lẻ. Bài 3. (1 đ) Số cách chọn 5 HS nam trong 30 HS nam là Số cách chọn 3 HS nữ trong 13 HS nữ là Vậy số cách lập đội là Bài 4. (1 đ) Xét khai triển (1+2x)7, ta có: Bài 5. (1 đ) a) Kết quả nhận được là một số chẵn khi và chỉ khi một trong hai thẻ là thẻ chẵn. Gọi A là biến cố “Rút được hai thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố “Rút được hai thẻ chẵn”. Khi đó biến cố “Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là A U B. Vì A và B xung khắc nên P(AUB) = P(A) + P(B). Vì có 4 thẻ chẵn, 5 thẻ lẻ nên ta có b) hai thẻ đều là số lẻ thì tích mới là số lẻ, cho nên ta có xác suất là Phần Hình học (3 điểm) Bài 6.(1,5 đ) Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. Bài 7.(1,5 đ) Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N, lần lượt là trung điểm cạnh AB, CD, Điểm P nằm trên BC sao cho BP = 2PC. Gọi K là giao điểm của mp(PMN) và cạnh AD. Chứng minh rằng AK = 2KD. Bài 6.(1,5 đ) Lời giải: Nếu BC là đường kính thì H chính là điểm A. BC không là đường kính, ta gọi H’ là giao điểm của AH với đường tròn Ta có góc BCH’ = góc BCH (vì cùng bằng góc BAH’). Do đó hai tam giác vuông HKC và H’KC bằng nhau; suy ra HK = H’K. Cho nên H’ là ảnh của H qua phép đối xứng trục BC. Vậy H thuộc đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục BC. K Bài 7.(1,5 đ) Lời giải: Gọi I là giao điểm của QN với BD. Ta có K là giao điểm của IM với AD. Suy ra K là giao điểm của mp(PMN) và cạnh AD. Gọi E là trung điểm của BP, ta có DE // NP; vì vậy D là trung điểm của BI. Do đó K là trọng tâm của tam giác ABI, cho nên AK = 2KD.