Bài giảng Phương pháp cơ bản giải bài toán lý thuyết đàn hồi tuyến tính

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH §5.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN- CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1.1. Các phương trình cơ bản : Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : sx, sy, sz, Txy, Tyz, Tzx. - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w. - Sáu thành phần biến dạng : ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx. Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau : 1. Về mặt tĩnh học : a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy: Hệ (2.1) b. Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3) 2. Về mặt hình học : a. Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1) b. Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13). 3.Về mặt vật lý : a. Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất : ; gxy = ; ey = ; gyz = ; (3a) ez= ; gzx = . b. Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng : sx = lq + 2Gex ; Txy = Ggxy ; sy = lq + 2Gey ; Tyz = Ggyz ; sz = lq + 2Gez ; Tzx = Ggzx. 5.1.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính : * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính. 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w. 2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất. 3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất. §5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản : 5.2.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : sx = lq + 2Gex Txy = Ggxy (a) Tzx = Ggzx 5.2.2. Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : ex = ; gyx = ; (b) gzx = ; Thay (b) vào (a) ta có : sx = lq + G + G Tyx = G (c) Tzx = G 3.Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy : (d) Thay (c) vào (d) ta có: Với Ñ2 = : Toán tử vi phân Laplace. =ex+ey+ez =q : Biến dạng thể tích tương đối (*)Û (l + G) + GÑ2u + fx = 0 ; Tương tự (l + G) + GÑ2v + fy = 0 ; (5.1) (l + G) + GÑ2w + fz = 0 ; Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê : Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa ứng suất và biến dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê l và G. Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke. 4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta có các hệ quả sau: a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các biến x, y, z ta có : (l + G) + GÑ2 = 0 ; + (l + G) + GÑ2 = 0 ; (l + G) + GÑ2 = 0 . (l + G). Ñ2q + GÑ2q = 0 Û Ñ2q = 0 (5.2) Do q tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có : Ñ2S = 0 (5.3) Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa. b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) : (l + G) + GÑ2u +fx = 0 (a) Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có : (l + G) + GÑ2 = 0 ; + (l + G) + GÑ2 = 0 ; (l + G) + GÑ2 = 0 . (l + G). Ñ2q + GÑ2Ñ2u = 0 (b) Theo hệ quả 1 ta có : Ñ2q = 0 thay vào (b) (b) Û Ñ2Ñ2u = 0 Tương tự Ñ2Ñ2v = 0 (5.4) Ñ2Ñ2w = 0 Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa. c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên. 5.3. GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT Chọn các ứng suất sx, sy, sz, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính. I. Trường hợp các lực thể tích là hằng số: 1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke ey = (*) Có S = sx + sy + sz (*) Û ey = Tương tự ez = (a) gyz = Tyz = Tyz 2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng : (b) Thay (a) vào (b) ta có : (1 + m)- m +(1 + m)- m = 2(1 + m) Û (1 +m) = 2(1 + m) (c) 3. Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- Cauchy. ; Þ (1) ; Þ (2) ; Þ (3) Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có : + ó (4) Thay (1) vào (4) ta có : (4) Û Û (d) Thay (d) vào (c) ta có : (1 + m) Û (1 + m) - m = 0 (**) Trong đó : Ñ2 = S = sx + sy + sz. (**) Û (1 + m) Û - (1 + m)Ñ2sx ++ Û - (1 + m)Ñ2sx ++= 0. Û (1 + m)Ñ2sx + = 0 Theo Hệ quả (1) ta có Ñ2S = 0 Û (1 + m)Ñ2sx + = 0 (1 + m)Ñ2sy + = 0 (5.5) (1 + m)Ñ2sz + = 0 (1 + m)Ñ2Txy + = 0 (1 + m)Ñ2Tyz + = 0 (5.6) (1 + m)Ñ2Tzx + = 0 Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.5) và (5.6) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi II. Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 : Ñ2sx + ; Ñ2sy + ; (5.7) Ñ2sz + ; (5.7) : Phương trình Beltrami-Michell. * Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const. Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính chất của các n0 ứng suất Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.5) : (1 + m) Ñ2sx + = 0 (1) Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có : (1 + m)Ñ2 + = 0 + (1 + m)Ñ2 + = 0 (1 + m)Ñ2 + = 0 (1 + m) Ñ2Ñ2sx + Ñ2S = 0 Theo hệ quả 1 Ñ2S = 0 Ta có : Ñ2Ñ2sx = 0. Tương tự ta có : Ñ4sij = 0. sij gồm có (sx, sy, sz, Txy, Tyz, Tzx). ® Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép. Þ Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: Ñ4sij = 0 ; Ñ4ui = 0 ; Ñ4eij = 0. (5.8) 5.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được. 3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. 4. Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực. Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”. Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang. 5.5. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho. ® * Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi đã cho là đa trị. * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất. Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới tác dụng của lực bề mặt , , . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau. sx, sy, sz, Txy, Tyz, Tzx sx, sy, sz, Txy, Tyz, Tzx Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học. (a) ... = sx.l + Tyx.m + Tzx.n = sx.l + Tyx.m + Tzx.n (b) ... Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có : (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= 0 (sx - sx).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c) Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có thể xem các ứng suất trong hệ phương trìnhh (c) là một hệ ứng suất mới khi không có lực thể tích và lực bề mặt. Theo giả thiết về trạng thái tự nhiên của vật liệu, các ứng suất này phải bằng 0. Do đó : sx - sx = 0 ; sy - sy = 0 ; Tyx - Tyx = 0; ... Hay sx = sx ; sy = sy ; Tyx = Tyx Có nghĩa 2 hệ ứng suất này trùng nhau. Đó là điều cần chứng minh!