Bài giảng Phương sai không đồng nhất

PHƯƠNG SAI KHÔNG ĐỒNG NHẤT Phương sai không đồng nhất Bản chất và hậu quả của phương sai không đồng nhất Bản chất của phương sai không đồng nhất Nguyên nhân của phương sai không đồng nhất Hậu quả của phương sai không đồng nhất Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát Phương pháp bình phương bé nhất có trọng số Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát Các phương pháp phát hiện phương sai không đồng nhất Xem xét đồ thị phần dư Kiểm định tương quan hạng Spearman Kiểm định Goldfeld-Quandt Kiểm định White Kiểm định dựa vào biến phụ thuộc Biện pháp khắc phục Bản chất và hậu quả của PSKĐN Trong mô hình hồi qui tuyến tính, có giả thiết không tồn tại phương sai không đồng nhất. Vậy: Bản chất của hiện tượng này là gì? Những nguyên nhân nào gây ra hiện tượng này? Nếu vi phạm giả thiết này, thì hậu quả sẽ ra sao? Bản chất Một giả thiết quan trọng trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là phương sai có điều kiện của mỗi phần nhiễu ui với giá trị của biến giải thích đã cho là không đổi nghĩa là: Phương sai có điều kiện của ui thay đổi theo Xi nghiã là Nguyên nhân của PSKĐN Bản chất của mối liên hệ kinh tế giữa các biến kinh tế Do kỹ thuật thu thập số liệu, phương sai sai số có xu hướng giảm Do con người học được hành vi trong quá khứ Do sự bất đối xứng trong phân phối của các biến có trong mô hình Hiện tượng này còn do số liệu có những phần tử bất thường Hiện tượng này còn có thể xuất hiện khi chúng ta sai lầm trong chỉ định biến Ngoài ra, hiện tượng này còn do: việc đổi biến sai hay dạng hàm của mô hình sai Hậu quả Các ước lượng bình phương bé nhất vẫn là ước lượng không chệch nhưng không hiệu quả. Ước lượng của các phương sai bị chệch, do đó các kiểm định mức ý nghĩa và khoảng tin cậy dựa theo phân phối T và F không còn đáng tin cậy nữa. Các phương pháp phát hiện PSKĐN Việc phát hiện phương sai không đồng nhất không đơn giản. Chúng ta chỉ biết khi có tài liệu đầy đủ về i2 tổng thể. Không có một phương pháp chắc chắn để phát hiện phương sai không đồng nhất mà chỉ có phương pháp chẩn đoán. Ta xét một số phương pháp sau: Xem xét đồ thị phần dư Kiểm định tương quan hạng Spearman Kiểm định Goldfeld-Quandt Kiểm định White Kiểm định dựa vào biến phụ thuộc Phương pháp đồ thị Trường hợp b, c, d: tồn tại phương sai không đồng nhất. Thực hiện hồi quy và tính các bình phương phần dư ûi2. Vẽ các ûi2 theo các Ŷi hay Xji. Quan sát đồ thị và có kết luận. Kiểm định Goldfeld-Quandt Phương pháp này dùng để kiểm định cặp giả thuyết: H0: Phương sai đồng nhất i2=2 H1:i2 có tương quan dương với 1 biến giải thích Qui tắc kiểm định, gồm các bước sau: Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần của biến Xj nào đó, Bỏ c quan sát ở giữa, phân chia số quan sát thành hai phần có số quan sát tương ứng n1 và n2, Thực hiện hồi quy theo OLS cho mỗi phần. Tính RSS1 cho mẫu đầu, RSS2 cho mẫu sau. Sau đó tính: F=(RSS2/df2)/(RSS1/df1) Với với df1 = n1-k; df2 = n2-k Nếu H0 đúng thì F~F(df2,df1) vậy: Nếu F > F(df2,df1): Bác bỏ H0 Tồn tại PSKĐN. Nếu F F(df2,df1): Chấp nhận H0 Tồn tại PSKĐN Kiểm định White Kiểm định White không đòi hỏi ui tuân theo phân phối chuẩn. Xét mô hình sau: Yi = 1 + 2 X2 + 3 X3+ ui (5-1) i2=1+2X2i+3X3i+4X2i2+5X3i2+6X2iX3i+vi Qui tắc kiểm định, gồm các bước: Xây dựng cặp giả thuyết: H0: 1=…=6=0 H1: Phương sai không đồng nhất. Thực hiện hồi qui (5.1), tính ûi2 và thực hiện hồi qui phụ ûi2=1+2X2i+ 3X3i+4X2i2+5X3i2+6X2iX3i+vi bằng OLS và tính R2. Ta có nR2~2(df) với df là số các hệ số của hồi qui phụ không kể số hạng chặn. Bác bỏ H0 nếu nR2 > 2(df): như vậy tồn tại PSKĐN   Kiểm định dựa vào biến phụ thuộc Giả định i2=1+2[E(Yi)]2 Trong thực hành, dùng ûi2 và Ŷi thay cho i2 và E(Yi) Trình tự kiểm định như sau: Xây dựng cặp giả thuyết H0: 2=0 và H1 20 Thực hiện hồi qui gốc bằng OLS, tính ûi2 và Ŷi,và thực hiện hồi qui ûi2=1+2Ŷi2 bằng OLS. Tính R2. Ta có nR2 ~ 2(1) Bác bỏ H0 nếu nR2 > 2(1)   Biện pháp khắc phục Để khắc phục phương sai không đồng nhất, chúng ta cần thực hiện một số biến đổi. Sự biến đổi phụ thuộc vào mối quan hệ giữa i2 với một biến giải thích nào đó. Để hình dung, thực hiện phép biến đổi đối với mô hình: Yi = 1 + 2X2 + ui (5-2) Giả sử mô hình này thoả mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển ngoại trừ giả thiết PSKĐN   Trường hợp 1: Var(ui) =i2 =2Xi Trong trường hợp này ta thực hiện hồi quy theo mô hình sau: Như vậy mô hình (5-3) thoả mãn đầy đủ các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển. Do đó có thể ước lượng mô hình (5-3) bằng OLS . Dùng kết quả để suy ngược cho mô hình (5-2) và dễ thấy rằng Var (vi) = 2 Trường hợp 2: Var(ui) =i2 =2Xi2 Trong trường hợp này ta thực hiện hồi quy theo mô hình sau: Như vậy mô hình (5-4) thoả mãn đầy đủ các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển.Do đó có thể ước lượng mô hình (5-4) bằng OLS . Dùng kết quả để suy ngược cho mô hình (5-2) Phép biến đổi để làm ổn định phương sai Khi biến phụ thuộc có một độ lệch chuẩn so với trung bình của nó là lớn (hệ số biến thiên, tình trạng hiện hành đối với các biến kinh tế), một phép biến đổi logarithmic nói chung cho phép: Giảm đi sự không đồng nhất phương sai của các sai số của mô hình Chuẩn hóa biến tiếp Phép biến đổi để làm ổn định phương sai Nói chung, sự ổn định của phương sai làm chuẩn hóa sự phân phối của biến Khi phương sai của các phần dư (residues) của mô hình tăng lên với giá trị của một biến độc lập, một phép biến đổi có thể là chia tất cả mô hình ban đầu cho X: Điều này là tương đương với việc áp dụng phương pháp bình phương bé nhất (WLS)