Bài giảng quy hoạch tuyến tính Chương 2: Bài toán vận tải

Trường Đại học kinh tế kỹ thuật công nghiệp Bộ môn khoa học cơ bản BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 2: Bài toán vận tải TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP  BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG II:  BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.1. Dạng của bài toán vận tải 2.2. Xây dựng phương án cực biên 2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 2.4. Bài toán không cân bằng thu phát 2.1. Dạng của bài toán vận tải Ai (i =1,…m): các trạm phát Bj (j = 1,…n): các trạm thu ai: lượng hàng hoá có ở trạm phát Ai bj: lượng hàng hoá yêu cầu ở trạm thu Bj cij: chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát Ai (i = 1,.,m) đến trạm thu Bj (j = 1, 2,..., n) (cij > 0) xij: lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj , xij ≥ 0 (i, j) Hãy thành lập một phương án vận chuyển hàng hoá sao cho đáp ứng đầy đủ yêu cầu của các trạm thu bằng tất cả hàng hoá có ở các trạm phát với tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất. Tìm bộ giá trị sao cho: Nếu thì bài toán vận tải cân bằng thu phát Mô tả bài toán dưới dạng bảng: Giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) đặc trưng cho đoạn đường nối trạm phát Ai và trạm thu Bj , ở ô này ghi cij Một số khái niệm: Vòng: Là một tập hợp các ô đứng vị trí là đỉnh của một đường gấp khúc khép kín có các cạnh song song với các dòng và các cột của bảng, trong đó mỗi ô đều nằm cùng hàng (cùng cột) chỉ với một ô đứng trước nó, đồng thời nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ với một ô đứng sau nó. Một hệ vectơ điều kiện {Aij ; (i, j)  K} của bài toán vận tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tập hợp các ô thuộc K không tạo thành vòng. Vì số vectơ {Aij} độc lập tuyến tính cực đại trong bài toán là m + n – 1 nên số tối đa các ô không tạo thành vòng trong bảng m hàng và n cột cũng là m + n – 1. Phương án cực biên: x = {xij} là phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp các ô (i, j) tương ứng với các thành phần dương của phương án không tạo thành vòng. Một phương án cực biên có tối đa m + n – 1 thành phần dương. Tập hợp m + n – 1 ô không tạo thành vòng bao hàm tập ô tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x (xij > 0) gọi là tập ô cơ sở nó, ký hiệu là S. Ô (i, j)S gọi là ô cơ sở, (i, j)S gọi là ô phi cơ sở. Một ô phi cơ sở bất kỳ bao giờ cũng tạo thành một vòng duy nhất với các ô cơ sở. Một phương án cực biên không suy biến chỉ có một tập ô cơ sở duy nhất, đó chính là tập ô tương ứng với các thành phần dương của phương án. Một phương án cực biên suy biến có nhiều tập ô cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là tập ô ứng với các thành phần dương. 2.2. Xây dựng phương án cực biên Khi xác định được xịj = α , ta nói là đã phân phối cho ô (i, j) một lượng hàng là α. Nguyên tắc phân phối tối đa: Lấy ô (i, j) bất kỳ của bảng và phân phối cho nó một lượng hàng tối đa có thể, nghĩa là đặt xij = min{ai ,bj}. Ba trường hợp có thể xảy ra: - xij = ai , yêu cầu của trạm phát thỏa mãn, loại hàng i ra khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm thu: b’j = bj - ai - xij = bj , yêu cầu của trạm thu thỏa mãn, loại cột j ra khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm phát: a’i = ai - bj - xij = ai = bj ,yêu cầu của cả trạm thu và phát đều thỏa mãn, loại đồng thời hàng i và cột j ra khỏi bảng. Quá trình tiếp tục cho tới khi yêu cầu của mọi trạm thu và phát đều thoả mãn. Các ô được phân phối có xij > 0, đặt xij = 0 với những ô không được phân phối Khi đó sẽ thu được một phương án cực biên của bài toán. Nếu số ô được phân phối là m + n – 1 thì phương án cực biên thu được là không suy biến, tập ô được phân phối chính là tập ô cơ sở. Nếu số ô được phân phối nhỏ hơn m + n – 1 thì phương án cực biên tương ứng là suy biến. Để có được một tập ô cơ sở cần phải bổ sung, ô bổ sung có xij= 0 và không tạo thành vòng với những ô cơ sở đã có, bổ sung cho tới khi đủ m + n – 1 ô. Với những ô bổ sung khác nhau ta sẽ được các tập ô cơ sở khác nhau của cùng một phương án cực biên suy biến. Sử dụng nguyên tắc phân phối tối đa, tuỳ thuộc vào cách ưu tiên phân phối ta có những phương pháp khác nhau để xây dựng phương án cực biên: - Phương pháp tây-bắc: Luôn ưu tiên phân phối cho ô nằm ở góc tây bắc của bảng. - Phương pháp chi phí nhỏ nhất (đường gần): Luôn ưu tiên phân phối cho ô có cij nhỏ nhất trong bảng. - Phương pháp Fogels: Luôn ưu tiên phân phối cho ô có cij nhỏ nhất nằm trên hàng hoặc cột có hiệu số giữa chi phí nhỏ nhì và chi phí nhỏ nhất là lớn nhất. Phương pháp chi phí nhỏ nhất: [20] x x x x x x x [30] x x x [25] x [30] x [5] x [5] [35] [0] 2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải: Tiêu chuẩn tối ưu: Điều kiện cần và đủ để phương án x = {xij} của bài toán vận tải tối ưu là tồn tại một hệ thống số {ui, vj} thoả mãn: a) vj – ui  cij (i,j) b) vj – ui = cij nếu xij > 0 ui, vj gọi là các thế vị hàng và cột. Có thể xem ui là giá trị của một đơn vị hàng hoá ở nơi sản xuất Ai, còn vj là giá trị của nó tại nơi tiêu thụ Bj. Điều kiện b) có nghĩa là trong mọi phương án vận chuyển tối ưu nếu hàng hoá được đưa từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj thì giá trị của nó tại nơi tiêu thụ Bj phải bằng giá trị tại nơi sản xuất Ai cộng thêm chi phí vận chuyển cij . Điều kiện a) có nghĩa là chênh lệch của giá trị hàng hoá giữa nơi tiêu thụ và nơi sản xuất bất kỳ đều không vượt quá chi phí vận chuyển trực tiếp giữa hai nơi ấy. Thuật toán của phương pháp thế vị: Giả sử đã biết một phương án cực biên x với tập ô cơ sở S. Bước 1: Xây dựng hệ thống thế vị {ui ,vj}: Lấy một hàng i bất kỳ, cho nó một thế vị ui tùy ý. Các thế vị còn lại được xác định theo quy tắc: - Nếu hàng i đã có ui và (i, j)S thì thế vị của cột j được tính bởi: vj = ui + cij . - Nếu cột j đã có vj và (i, j)S thì thế vị của hàng i được tính bởi: ui = vj − cij . Quá trình tiếp tục cho tới khi xác định được toàn bộ hệ thống thế vị Bước 2: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu: Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở ((i, j)  S). -Nếu ∆ịj  0, (i, j)S thì phương án tương ứng là tối ưu. -Nếu tồn tại ∆ịj > 0, (ta gọi đó là các ô vi phạm) thì phải điều chỉnh phương án. Bước 3: Điều chỉnh phương án: Giả sử , ô (r, k) được lấy làm ô điều chỉnh. Tìm vòng V tạo bởi ô điều chỉnh với các ô cơ sở. Trên vòng đánh dấu lẻ chẵn các ô với ô điều chỉnh (r, k) là ô lẻ. Ký hiệu Vl , Vc tương ứng là tập ô lẻ, chẵn trên vòng. Xác định q = min {xij} , (i, j)  Vc . Thực hiện phép biến đổi trên vòng: Kết quả của quá trình biến đổi ta được phương án cực biên mới x’ tốt hơn x. Sau điều chỉnh ô điều chỉnh trở thành ô cơ sở, ô ứng với q sẽ trở thành ô phi cơ sở. Đối với x’ quay trở lại bước 1, quá trình lặp lại sau một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu. Ví dụ 1: Giải bài toán vận tải sau: Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát: [40] x x x [30] x x x [15] x x [88] x x [64] x [14] x [12] [48] 0 12 18 Cho u4 = 0, lần lượt tính các thế vị hàng và cột khác: 2 7 15 8 3 6 0 12 18 Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở 2 7 15 8 3 6 +4 +2 +1 0 12 18 , ô (1, 3) được lấy làm ô điều chỉnh. 2 7 15 8 3 6 +4 +2 +1 * (*) * (*) * (*) 0 12 14 Xác định q = min {88, 48, 64} = 48. Thực hiện phép biến đổi đối với các ô trên vòng, ta được phương án mới: 2 3 11 8 3 6 +1 * (*) * (*) 0 12 14 q = min {15, 60} = 15, điều chỉnh ta được phương án mới: 2 3 11 7 2 5 Sau khi xây dựng hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ta thấy: ∆ij ≤ 0 (i, j)S . Phương án tương ứng là tối ưu. Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là: f(x*) = 10.31 + 9.48 + 11.62 + 8.40 + 5.30 + 3.40 + 12.45 + 7.15 = 2659. Trường hợp suy biến: Trường hợp suy biến thì q có thể bằng 0. Khi q = 0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường, nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trở thành ô cơ sở với tư cách là ô bổ sung, còn ô tương ứng với q sẽ trở thành ô phi cơ sở. Kết quả điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên mà chỉ chuyển từ tập ô cơ sở này sang tập ô cơ sở khác. Ví dụ 2: Giải bài toán vận tải sau: Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát: [20] x x x [35] x x x [75] x x [20] x x [35] x [80] x [60] [45] 0 12 5 Xác định hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu 5 3 12 4 7 18 +2 +5 0 12 5 5 3 12 4 7 18 lấy ô (2, 5) làm ô điều chỉnh * (*) * (*) 0 2 5 0 3 12 4 7 13 q = min {20 ; 20} = 20 ứng với ô (2, 3) và (4, 5). Loại ô (4, 5) ra khỏi tập ô cơ sở được phương án mới: +2 +1 * (*) * (*) 0 6 5 2 3 7 13 2 12 q = min {80 ; 65} = 65 ứng với ô (4, 3). Loại ô (4, 3) ra khỏi tập ô cơ sở được phương án mới: +1 * (*) * (*) * (*) 0 6 5 2 3 7 13 3 12 q = min {65 ; 75 ; 60} = 60 ∆ij ≤ 0 (i, j)S . Phương án là tối ưu: f(x*) = 2610 2.4. Bài toán không cân bằng thu phát: 1. Trường hợp Lập một trạm thu giả Bn+1 với yêu cầu: chi phí vận chuyển bằng 0 2. Trường hợp Lập một trạm phát giả Am+1 với yêu cầu: chi phí vận chuyển bằng 0 Ví dụ 3: Giải bài toán vận tải sau: Bài toán không cân bằng thu phát : Thêm vào một trạm thu giả với yêu cầu: Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát: [12] x x x [56] x x x [24] x x [51] x x [29] x [50] x [60] [18] 0 6 16 13 2 10 18 11 0 +2 +3 +4 * (*) * (*) q = min {60 ; 12} = 12 0 2 11 12 2 16 9 14 8 +1 +2 * (*) * (*) * (*) q = min {50 ; 48 ; 24} = 24 0 0 12 14 9 10 0 9 6 ∆ij ≤ 0 (i, j)S . Phương án là tối ưu: f* = 1696 x*35 = 24 ; x*45 = 26 là lượng hàng giữ lại ở trạm phát A3 và A4