Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương III: Đặc trưng hình học của mặt cắt

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG III: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT Thời lượng: 6 tiết 2Đặt vấn đề 11/04/2020 3 1. Đặc trưng hình học của mặt cắt 11/04/2020 4 2. Diện tích của hình phẳng 53. Mômen tĩnh của hình phẳng 11/04/2020 6 4. Trọng tâm của hình phẳng ;y xA A A A xdA ydA Q Q x y A AdA dA         11/04/2020 7 5. Mômen tĩnh của hình phẳng thông qua trọng tâm x y Q y A Q x A     86. Tính chất của mômen tĩnh [ Chieudai3 ]: m3, cm3, mm3, in3, ft3, v.v Mômen tĩnh có thể âm (0), hoặc bằng 0 phụ thuộc vào tọa độ trọng tâm của hình phẳng 0 0 x y Q y A Q x A         0 0 x y Q y A Q x A         96. Tính chất của mômen tĩnh 0 0 x y Q y A Q x A         0 0 x y Q y A Q x A         0xQ y A   0yQ x A   0x yQ Q  10 6. Tính chất của mômen tĩnh Bất cứ một trục nào đi qua trọng tâm C của mặt cắt đều được gọi là trục trung tâm và chia mặt cắt ra làm 2 phần có giá trị mômen tĩnh đối với trục ấy bằng nhau về môđun nhưng ngược nhau về dấu. 11/04/2020 11 6. Tính chất của mômen tĩnh Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì trọng tâm C của mặt cắt ấy phải nằm trên trục đối xứng này. Trục đối xứng của 1 mặt cắt luôn chia mặt cắt ra làm 2 phần với:  Diện tích bằng nhau  Mômen tĩnh đối nhau 11/04/2020 12 6. Tính chất của mômen tĩnh Nếu mặt cắt có 2 trục đối xứng thì trọng tâm C của mặt cắt ấy là giao điểm của 2 trục đối xứng trên. 11/04/2020 13 6. Tính chất của mômen tĩnh Nếu với bất cứ 1 điểm A nào trên mặt cắt đều tồn tại 1 điểm A’ đối xứng với nó qua 1 điểm C duy nhất thì C chính là tâm đối xứng của mặt cắt ấy.  Tâm đối xứng của 1 mặt cắt chính là trọng tâm của mặt cắt ấy. Bất cứ 1 trục nào đi qua tâm đối xứng của 1 mặt cắt đều chia mặt cắt ấy ra 2 phần với:  Diện tích bằng nhau  Mômen tĩnh đối nhau 14 6. Tính chất của mômen tĩnh Mômen tĩnh của 1 mặt cắt ghép-khoét phức hợp đối với 1 trục bằng tổng đại số các mômen tĩnh của từng mặt cắt thành phần đối với trục ấy. Thành phần ghép có diện tích dương, thành phần khoét có diện tích âm. Trọng tâm của mặt cắt phức hợp 15 7. Các phương pháp tính tích phân y2(x) y1(x)a b Khi x chạy từ a đến b thì y chạy từ hàm y1(x) đến y2(x).      2 1 y xb a y x dy dx            Chú ý: có thể đảo vai trò x, y (hàm ngược) 16 7. Các phương pháp tính tích phân r2 r1 α β Khi θ chạy từ α đến β thì r chạy từ hàm r1 đến r2.      2 1 r r dr d                Chú ý: có thể đảo vai trò θ, r. 17 7. Các phương pháp tính tích phân c d   d c dy  x1(y) x2(y) 18 7. Các phương pháp tính tích phân a b y1(x) y2(x)   b a dx  19 7. Các phương pháp tính tích phân  d     20 8. Mômen tĩnh – trọng tâm một số hình phẳng cơ bản 2 2 ; ; ; 2 2 ; 2 2 x y bh hb A bh Q Q b h x y      2 2 ; ; ; 2 6 6 ; 3 3 x y bh bh hb A Q Q b h x y      Mo men tinh - VD1.jpg Mo men tinh - VD2.jpg 11/04/2020 21 8. Mômen tĩnh – trọng tâm một số hình phẳng cơ bản  2 ; ; ; 2 6 6 ; 3 3 x y bh a bbh bh A Q Q a b h x y        2 3 3 ; ; ; 4 3 3 4 3 x y R R R A Q Q R x y        Mo men tinh - VD3.jpg Mo men tinh - VD4.jpg 11/04/2020 22 8. Mômen tĩnh – trọng tâm một số hình phẳng cơ bản ; ; ; ; x yA Q Q x y      ; ; ; ; x yA Q Q x y      23 8. Mômen tĩnh – trọng tâm một số hình phẳng cơ bản   32 31 cos sin ; ; ; 2 3 3 2 sin 2 1 cos ; 3 3 x y RR R A Q Q R R x y                Mo men tinh - VD7.jpg 24 9. Mômen tĩnh – ví dụ 1 Yêu cầu sử dụng 3 phương pháp tích phân 1, 2, 3 để thành thạo chúng. Mo men tinh - VD10_PP1.jpg Mo men tinh - VD10_PP2.jpg Mo men tinh - VD10_PP3.jpg 25 9. Mômen tĩnh – ví dụ 2 Mo men tinh - VD11.jpg Mo men tinh - VD12.jpg 11/04/2020 26 10. Mômen tĩnh – Chuyển trục song song Nếu trục càng tiến về gần mặt cắt thì mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục ấy càng giảm. ' ' x x x y y y Q Q d A Q Q d A        '' '' x x x y y y Q Q d A Q Q d A        Nếu trục càng tiến đi xa mặt cắt thì mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục ấy càng tăng. Chung minh CT momen tinh - CTSS.jpg 11/04/2020 27 11. Mômen tĩnh – Công thức xoay trục cos sin sin cos u x v y                      cos sin sin cos T xu yv QQ QQ                    Chung minh cong thuc xoay truc momen tinh.jpg 11/04/2020 28 12. Mômen quán tính của mặt cắt Xét tấm bản chịu áp lực p [N/m2] của dòng nước tỉ lệ tuyến tính với độ sâu y [m]. Trọng lượng riêng của γ [N/m3]     2 x x x x A I dF p dA y dA dM ydF y y dA M y dA I                Ix – mômen quán tính đối với trục x 2 x A I y dA  11/04/2020 29 12. Mômen quán tính của mặt cắt 2 2 x A y A I y dA I x dA     30 12. Mômen quán tính của mặt cắt 11/04/2020 31 12. Mômen quán tính của mặt cắt 32 12. Mômen quán tính của mặt cắt 11/04/2020 33 13. Tính chất của mômen quán tính [ Chieudai4 ]: m4, cm4, mm4, in4, ft4, v.v Mômen quán tính luôn mang dấu dương (>0) 2 2 x y I A y I A x     11/04/2020 34 13. Tính chất của mômen quán tính – ví dụ 1 3 3 12 12 x y bh I hb I       3 ' 3 ' 3 3 x y bh I hb I       Momen quan tinh_VD1.jpg 11/04/2020 35 13. Tính chất của mômen quán tính Mômen quán tính của 1 mặt cắt ghép-khoét phức hợp đối với 1 trục bằng tổng đại số các mômen quán tính của từng mặt cắt thành phần đối với trục ấy. Thành phần ghép có mômen quán tính dương, thành phần khoét có mômen quán tính âm. Tương tự đối với Iy 36 13. Tính chất của mômen quán tính 11/04/2020 37 13. Tính chất của mômen quán tính – ví dụ 2   33 3 3 x b t tth I      33 3 3 y h t ttb I    38 13. Tính chất của mômen quán tính – ví dụ 3 39 14. Mômen quán tính ly tâm [ Chieudai4 ]: m4, cm4, mm4, in4, ft4, v.v 11/04/2020 40 15. Tính chất của mômen quán tính ly tâm Mômen quán tính ly tâm có thể âm (<0), dương (>0), hoặc bằng 0 phụ thuộc vào vị trí và cách bố trí hệ trục tọa độ. 41 16. Hệ trục quán tính chính Hệ trục quán tính chính của mặt cắt là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm mặt cắt đối với nó bằng 0. Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với nó cũng lập thành một hệ trục quán tính chính của mặt cắt ấy. 0xyI    2 2 0xy A AA I xydA xydA x y dA       42 17. Hệ trục quán tính chính trung tâm Hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt là hệ trục quán tính chính có gốc tọa độ trùng với trọng tâm C của mặt cắt. Hệ trục tọa độ xy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Các hệ trục tọa độ như x1y, x2y, , xny là các hệ trục quán tính chính. 43 18. Mômen quán tính – Chuyển trục song song 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 2 2 x x x x x y y y y y O O x x y y I I A d Q d I I A d Q d I I A d Q d Q d                  2 2 2 ' ' y x x y x x d y y d d d d        “+” khi trục rời xa mặt cắt (rời xa C) “-” khi trục tiến gần mặt cắt (tiến gần C) Mo men quan tinh-chuyen truc song song.jpg 11/04/2020 44 18. Mômen quán tính – Chuyển trục song song Trục x rời xa, trục y rời xa: x’ = x + dy; y’ = y + dx ' 'x y xy y x x y x yI I Q d Q d d d A        Trục x rời xa, trục y tiến gần: x’ = x + dy; y’ = y - dx ' 'x y xy y x x y x yI I Q d Q d d d A        Trục x tiến gần, trục y tiến gần: x’ = x - dy; y’ = y - dx ' 'x y xy y x x y x yI I Q d Q d d d A        Trục x tiến gần, trục y rời xa: x’ = x - dy; y’ = y + dx ' 'x y xy y x x y x yI I Q d Q d d d A        Mo men quan tinh-chuyen truc song song_2.jpg 11/04/2020 45 19. Mômen quán tính – Chuyển trục trung tâm x’y’ song song ra khỏi trọng tâm 2 ' 2 ' 2 ' ' ' ' x x y y O C xy x y x x x y y y I I A y I I A x I I A r I I A x y                  46 19. Mômen quán tính – Chuyển trục trung tâm x’y’ song song ra khỏi trọng tâm 11/04/2020 47 19. Mômen quán tính – Chuyển trục trung tâm x’y’ song song ra khỏi trọng tâm Hệ quả: Trong tất cả các trục a song song với nhau, mômen quán tính của mặt cắt đối với trục trung tâm (trục đi qua trọng tâm C) sẽ có giá trị nhỏ nhất. 11/04/2020 48 19. Mômen quán tính – Chuyển trục trung tâm x’y’ song song ra khỏi trọng tâm Cho mặt cắt có trọng tâm C với diện tích 2000 mm2. Mô men quán tính mặt cắt với trục x là Ix = 40.106 mm4. Tính mô men quá tính đối với trục u. CTTTSSKTT_VD1.jpg 4920. Mômen quán tính – Xoay trục cos sin sin cos u x v y                      Momen quan tinh-xoay truc.jpg 2 2 2 2 cos sin sin 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 2 cos2 2 2 u x v y uv xy I I I I I I                                      50 21. Xác định vị trí hệ trục quán tính chính Ban đầu ta có mặt cắt với hệ trục x, y. Các mômen quán tính Ix, Iy, Ixy. Ta xoay hệ trục xy để có hệ uv. Sẽ phải có 1 vị trí của hệ trục uv sao cho IUV = 0. Khi ấy uv sẽ là hệ trục quán tính chính.   0 sin 2 cos2 2 2 tan 2 uv x y xy xy x y I I I I I I I               Có 2 nghiệm: θ0 và (θ0 + π/2) 11/04/2020 51 22. Mômen quán tính cực trị Ban đầu ta có mặt cắt với hệ trục x, y. Các mômen quán tính Ix, Iy, Ixy. Ta xoay hệ trục xy để có hệ uv. Sẽ phải có 1 vị trí của hệ trục uv sao cho Iu và Iv đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.     sin 2 2 cos2 0 2 tan 2 u x y xy xy x y dI I I I d I I I              Có 2 nghiệm: θ0 và (θ0 + π/2) Mômen quán tính trong hệ trục quán tính chính là cực trị. 11/04/2020 52 22. Mômen quán tính cực trị 1,2 1,22 2 2 2 2 2 max,min cos ;sin 2 2 2 2 2 x y xy x y x y xy xy x y x y xy I I I I I I I I I I I I I I I                               M ô m en q u á n tí n h ly tâ m 2 2 2 x y xy I I R I        53 23. Mômen quán tính một số mặt cắt 54 23. Mômen quán tính một số mặt cắt 11/04/2020 55 23. Mômen quán tính một số mặt cắt 56 23. Mômen quán tính một số mặt cắt 57 23. Mômen quán tính một số mặt cắt 11/04/2020 58 23. Mômen quán tính một số mặt cắt 59 24. Ý nghĩa của mômen quán tính Ix, Iy Mô men quán tính Ix, Iy đặc trưng cho quán tính xoay của vật quanh trục x và y. Đối với sức bền vật liệu, Ix, Iy đặc trưng cho độ cứng của thanh khi chịu uốn.   1 2 x xI I Trong hình trên dầm có mặt cắt bên trái sẽ “mềm” hơn dầm có mặt cắt bên phải khi chịu uốn theo phương thẳng đứng y (bị uốn quanh trục x nhiều hơn) 60 24. Ý nghĩa của mômen quán tính Ix, Iy 61 25. Ý nghĩa của mômen quán tính độc cực IO Mômen quán tính độc cực IO đặc trưng cho quán tính xoay của vật quanh trục z. Đối với sức bền vật liệu mômen quán tính độc cực IO đặc trưng cho độ cứng của thanh khi chịu xoắn. 62 25. Ý nghĩa của mômen quán tính độc cực IO 63 26. Ý nghĩa của mômen quán tính ly tâm Ixy Mô men quán tính ly tâm Ixy đặc trưng cho tính đối xứng của mặt cắt Với những mặt cắt đối xứng thì có ít nhất 1 trục đối xứng và mômen quán tính ly tâm của mặt cắt đối với hệ trục có ít nhất 1 trục đối xứng ấy Ixy = 0. Với những mặt cắt không đối xứng thì không có trục đối xứng. 11/04/2020 64 27. Bán kính quán tính kx, ky kx – bán kính quán tính của mặt cắt đối với trục x ky – bán kính quán tính của mặt cắt đối với trục y kO – bán kính quán tính độc cực của mặt cắt đối với tâm O 65 28. Ý nghĩa của bán kính quán tính Nếu tiết diện hình chữ nhật hxb được cán dẹt thành 1 dải mỏng thì nó phải nằm cách trục x một khoảng kx để có được mômen quán tính Ix như ở hình CN 66 29. Các dạng thép cán Chep chu C Thep chu I Thep goc canh deu Thep goc canh khong deu 11/04/2020 67 29. Các dạng thép cán – ví dụ Hình ghép hai chữ I, một chữ I và hình ghép 2 chữ C có cùng diện tích A = 62 cm2. Tính mô men quán tính của các mặt cắt đối với trục nằm ngang và so sánh chúng (a) (b) (c) 11/04/2020 68 30. Bài tập – bài 1 Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ 11/04/2020 69 30. Bài tập – bài 2 Cho mặt cắt có hình như hình vẽ. Tọa độ trên hình vẽ có đơn vị [cm].Yêu cầu: 1) Xác định tọa độ trọng tâm và trục trung tâm của mặt cắt. 2) Xác định mô men quán tính Ix, Iy, Ixy, Iρ của mặt cắt đối với hệ trục trung tâm của mặt cắt. 3) Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt, xác định các giá trị mômen quán tính cực đại và cực tiểu. Bai 3.02.pdf 11/04/2020 70 30. Bài tập – bài 3 Cho mặt cắt phức tạp không đối xứng nhiều thành phần như hình vẽ với kích thước được cho trong bảng phía dưới. 1) Xác định trọng tâm của mặt cắt (xC, yC). 2) Xác định giá trị các mômen quán tính đối với các trục trung tâm (IxC, IyC). 3) Xác định giá trị mômen quán tính ly tâm đối với các trục trung tâm (IxyC). 4) Xác định vị trí các trục quán tính chính trung tâm (θ0). 5) Xác định các mômen quán tính chính trung tâm (Imax, Imin). 6) Dựng vòng tròn quán tính và bằng phương pháp hình học xác định giá trị các mô men quán tính chính và hướng của các trục chính trung tâm. Bai 3.04 - 3.06.pdf Bài tập 1: Tính mômen quán tính chính trung tâm của các hình sau, đơn vị tính bằng cm.     3 3 4 x 3 3 4 y 12.20 4.12 I = 2. 6848 12 12 12.4 4.12 I = 2. 1216 12 12 cm cm     Bài giải: Vì hình này có hai trục đối là x và y, nên hệ trục quán tính chính trung tâm của hình trên là trục x, y như hình vẽ 31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 2: Tính mômen quán tính chính trung tâm của các hình sau, đơn vị tính bằng cm.     4 3 4 x 4 3 4 y .12 6.3 I = 1003,8 64 12 .12 3.6 I = 963,36 64 12 cm cm       Bài giải: Vì hình này có hai trục đối là x và y, nên hệ trục quán tính chính trung tâm của hình trên là trục x, y như hình vẽ 31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 3: Tính mômen quán tính chính trung tâm của các hình sau, đơn vị tính bằng cm.  C 18.24.12 10.6.6 y = 12,96 18.24 10.6 cm    Bài giải: Hình trên có một trục đối xứng là y, nên trục đối xứng này là một trục quán tính chính. Trục quán tính chính còn lại sẽ vuông góc với trục y này và đi qua trọng tâm của tiết diện. Xác định trọng tâm của tiết diện: Trọng tâm của tiết diện sẽ nằm trên trục y và cách mép trên của tiết diện một đoạn là yC: 31. Bài tập tham khảo cách giải Dùng công thức chuyển trục song song ta tính được:         3 2 x 3 2 4 3 3 4 y 18.24 I = 18.24. 0,96 12 10.6 10.6. 6,96 18047,63 12 24.18 6.10 I = 11164 12 12 cm cm                 31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 4: Tìm khoảng cách c của mặt cắt ngang gồm hai thép chữ U30 được bố trí như hình vẽ bên dưới để có Ix = Iy Bài giải: Các thông số về thép hình cán nóng U30: h = 30 (cm); b =10 (cm); zo = 2,52 (cm) Ix = 5810 (cm 4); Iy = 327 (cm 4) ; A = 40,5 (cm2) 31. Bài tập tham khảo cách giải Ta thấy trục x0 của từng thanh chữ U trùng với trục X của cả tiết diện. Do đó:         4 x x1 2 4 y x 2 I =2I 2.5810 11620 a I =2. 327 40,5 2,52 I =11620 2 20,5a 204,12a 1168,38=11620 a 18,14 a 28,1 cm cm cm cm                        Chọn Loại 31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 5: Tìm khoảng cách c của mặt cắt ngang gồm hai thép chữ U30 được bố trí như hình vẽ bên dưới để có Ix = Iy Bài giải: Các thông số về thép hình cán nóng U30: h = 30 (cm); b =10 (cm); zo = 2,52 (cm) Ix = 5810 (cm 4); Iy = 327 (cm 4) ; A = 40,5 (cm2) 31. Bài tập tham khảo cách giải Ta thấy trục x0 của từng thanh chữ U trùng với trục X của cả tiết diện. Do đó:         4 x x1 2 4 y x 2 I =2I 2.5810 11620 a I =2. 327 40,5 10 2,52 I =11620 2 20,5a 605,88a 5185,98=11620 a 8,31 a 38,23 cm cm cm cm                         Chọn Loại 31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 6: Hãy tính mômen quán tính chính trung tâm cho các hình sau: Bài giải: Thông số về thép hình cán nóng I20: h = 20 (cm); b =10 (cm); AI = 26,8 (cm 2) Ix = 1840 (cm 4); Iy = 115 (cm 4) ; Thông số về thép hình cán nóng U24: h = 24 (cm); b = 9 (cm); zo = 2,42 (cm) Ix = 2900 (cm 4); Iy = 208 (cm 4) ; AU = 30,6 (cm 2) Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm: Trọng tâm C sẽ cách mép dưới của tiết diện chữ I một đoạn là yC:    C 26,8.10 30,6. 20 2,42 y = 16,62 26,8 30,6 cm     Mômen quán tính chính trung tâm:       2 x 2 4 4 y yI xU I 1840 26,8.6,62 208 30,6. 3,38 2,42 4262,06 I = I +I 115 2900 = 3015 cm cm              31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 7: Hãy tính mômen quán tính chính trung tâm cho các hình sau: Bài giải: Thông số về L100x63x7: B = 10 (cm); b = 6,3 (cm); AL = 11,1 (cm 2) xo = 1,46 (cm); yo = 3,28 (cm) Ix = 113 (cm 4); Iy = 35 (cm 4) ; Thông số về thép hình cán nóng U24: h = 24 (cm); b = 9 (cm); zo = 2,42 (cm) Ix = 2900 (cm 4); Iy = 208 (cm 4) ; AU = 30,6 (cm 2) 31. Bài tập tham khảo cách giải Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm: Trọng tâm C sẽ cách mép dưới của tiết diện chữ I một đoạn là yC:      C 24.1. 9 6,3 0,5 2.11,1. 9 6,3 1,46 30,6.2,42 y = 9,9 24 2.11,1 30,6 cm           Mômen quán tính chính trung tâm:             2 x 2 3 2 4 3 2 4 y I 208 30,6 9,9 2,42 2. 35 11,1. 6,4 1 1,46 24.1 24. 6,4 0,5 3172,15 12 1.24 I = 2900 2. 113 11,1. 12 3,28 = 5966,05 12 cm cm                              31. Bài tập tham khảo cách giải Bài tập 8: Xác định mômen quán tính chính trung tâm và hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng sau: Bài giải: Xác định trọng tâm của tiết diện: Gọi C(xC,yC) là trọng tâm của tiết diện. Với xC là khoảng cách từ C đến mép trái của tiết diện và yC là khoảng cách từ C đến mép trên của tiết diện.     y C x C S 4.2.2 4.1.0,5 x = 1,5 A 4.2 4.1 S 4.2.1 4.1.4 y = 2 A 4.2 4.1 cm cm         31. Bài tập tham khảo cách giải Dựng hệ trục oxy đi qua trọng tâm của tiết diện như hình vẽ: Tính mômen quán tính đối với hệ trục oxy:                   3 3 2 2 4 x 3 3 2 2 4 y 4 xy 4.2 1.4 I 4.2. 1 1.4. 2 32 12 12 2.4 4.1 I = 2.4. 0,5 4.1. 1 = 17 12 12 I =2.4.0,5. 1 1.4. 1 .2 = 12 cm cm cm                                   Gọi 0XY là hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục 0XY sẽ có góc tọa độ đặt tại trọng tâm C của tiết diện hợp với trục x một góc α, được xác định qua công thức:   oxy o 0-1 0 0 o x y 0-2 2I 2 12 α =29 tg2α = = = 1,6 2α 58 kπ I I 32 17 α =119            31. Bài tập tham khảo cách giải Tính mômen quán tính chính trung tâm:     2 x y x y 2 max xy 2 2 4 2 x y x y 2 min xy 2 2 4 I I I I I = + I 2 2 32 17 32 17 = + 12 38,65 2 2 I I I I I = I 2 2 32 17 32 17 = 12 10,35 2 2 cm cm                                 31. Bài tập tham khảo cách giải 86 32. Ôn tập thi giữa kỳ Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ. Các kích thước cho trong đơn vị mm. 87 32. Ôn tập thi giữa kỳ Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ. Các kích thước cho trong đơn vị mm.