Bài giảng Thống kê ứng dụng - Chương 5 Xác suất căn bản, biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Chương 5 XÁC SUẤT CĂN BẢN, BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Ths. Nguyễn Tiến Dũng Viện Kinh tế và Quản lý, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội Email: dung.nguyentien3@hust.edu.vn MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG ● Sau khi kết thúc chương này, người học có thể: ● Nắm được ý nghĩa và cách tính xác suất của một sự vật hiện tượng ● Phân biệt được biến ngẫu nhiên liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc ● Biết cách tra bảng Z để tìm xác suất khi biết giá trị của biến Z và ngược lại © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 2 CÁC NỘI DUNG CHÍNH 5.1 Xác suất căn bản 5.2 Biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối XS 5.3 Các phân phối lý thuyết quan trọng © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 3 5.1 XÁC SUẤT CĂN BẢN ● 5.1.1 Ý nghĩa của XS ● 5.1.2 Phép thử và biến cố ● 5.1.3 Tính XS theo các định nghĩa ● 5.1.4 Một vài tính chất của XS ● 5.1.5 Tính XS theo các quy tắc XS © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 4 5.1.1 Ý nghĩa của XS ● Quy luật ẩn sau trò chơi may rủi ● TD: tung đồng xu n lần, m lần xuất hiện mặt ngửa (mặt số) ● Khi n  , f = m/n tiến tới một giá trị ổn định © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 5 5.1.2 Phép thử và biến cố ● Phép thử: hoạt động nghiên cứu nhằm tìm hiểu quan hệ nhân quả, nếu - thì ● Biến cố: kết quả xuất hiện của một phép thử ● TD: Biến cố xuất hiện mặt số ● Kết cục = kết quả ● Phân loại biến cố ● Biến cố sơ cấp và biến cố thứ cấp ● Biến cố không thể và biến cố chắc chắn ● Biến cố ngẫu nhiên ● Biến cố độc lập và biến cố phụ thuộc ● Biến cố xung khắc từng đôi: A1, A2, An © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 6 5.1.3 Tính XS theo các định nghĩa về XS ● 5.1.3.1 Đ.nghĩa cổ điển về XS ● Trong một phép thử có n kết cục đồng khả năng và xung khắc, trong đó có m kết cục thuận cho biến cố A xuất hiện, thì XS của biến cố A là ● P(A) = m/n ● TD: XS rút trúng lá Át trong 1 bộ tú-lơ-khơ 52 lá bài © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 7 ● 5.1.3.2 Đ.nghĩa TK về XS (đ.nghĩa theo kết quả thực nghiệm) ● Thực hiện n lần thử, biến cố A xuất hiện m lần ● Tần suất của biến cố A là f(A) = m/n © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 8 Người thí nghiệm Số lần tung đồng xu (n) Số lần xuất hiện mặt số (m) Tần suất (m/n) Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 ( ) lim n m P A n  5.1.4 Một số tính chất của XS ● XS luôn nhận giá trị giữa 0 và 1 ● XS của biến cố chắc chắn bằng 1 ● XS của biến cố không thể bằng 0 ● Nếu A1, A2, , An là tập đầy đủ của các biến cố, thì XS của tổng n biến cố này phải bằng 1 © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 9 0 ( ) 1P A  ( ) 1P   ( ) 0P   1 ( ) ( ) 1 n i i P A P     5.1.5 Tính XS theo các quy tắc XS ● 5.1.5.1 Quy tắc cộng XS ● Quy tắc cộng XS đơn giản ● A và B là biến cố xung khắc của một phép thử ● P(A+B) = P(A) + P(B), hoặc ● P(AB) = P(A) + P(B) ● TD Trang 109 ● Quy tắc cộng XS tổng quát ● P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B), hoặc ● P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) ● TD Trang 110 © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 10 5.1.5.2 Quy tắc nhân XS ● Quy tắc nhân đơn giản ● A và B là 2 biến cố độc lập ● P(A.B) = P(A).P(B), hoặc ● P(AB) = P(A).P(B) ● TD Trang 111 ● Quy tắc nhân tổng quát ● XS có điều kiện P(A/B) ● P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) ● TD Trang 112 © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 11 5.1.5.3 Quy tắc XS đầy đủ ● Xét một phép thử có các kết cục H1, H2, ..., Hn, tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Biến cố A liên quan đến phép thử này. A có thể xảy ra đồng thời với chỉ một trong các biến cố H1, H2, ..., Hn. ● Xác suất xảy ra biến cố A được tính bằng công thức sau: © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 12   1 ( ) ( ) ( / ) n i i i P A P H P A H    ● TD Trang 113 5.1.5.4 Định lý Bayes (Bây-zơ) ● Xét một phép thử có các kết cục H1, H2, ..., Hn, tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Biến cố A liên quan đến phép thử này. A có thể xảy ra đồng thời với chỉ một trong các biến cố H1, H2, ..., Hn. ● Biến cố A đã xảy ra. XS của biến cố Hi với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức: © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 13 1 ( ). ( / ) ( / ) ( ). ( / ) i i i n i i i P H P A H P H A P H P A H    ● TD Trang 115 5.2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ● 5.2.1 Biến ngẫu nhiên (BNN) ● 5.2.2 Phân phối XS của BNN ● 5.2.3 Các đặc trưng cơ bản của BNN ● 5.2.4 Ứng dụng kỳ vọng vào việc ra quyết định KD © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 14 5.2.1 Biến ngẫu nhiên (BNN) ● Biến số mà giá trị của nó được xác định một cách ngẫu nhiên ● Ký hiệu biến ngẫu nhiên là chữ hoa: X ● Ký hiệu giá trị của BNN X là chữ thường: x1, x2, x ... ● Phân loại ● BNN rời rạc ● BNN liên tục © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 15 5.2.2 Phân phối XS của biến ngẫu nhiên ● 5.2.2.1 Phân phối XS của BNN rời rạc ● TD: Tung 2 đồng xu ● Lập hàm phân phối XS © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 16 X ( ) ( ) i i P x P X x  ● 5.2.2.2 Phân phối XS của biến liên tục ● Lập hàm mật độ XS 𝑓𝑋(𝑥) © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 17 ( ) ( ). b X a P a X b f x dx    5.2.3 Các đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên ● 5.2.3.1 Kỳ vọng E(X) ● 5.2.3.2 Phương sai V(X) ● 5.2.3.3 Độ lệch chuẩn X © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 18 5.2.4 Ứng dụng kỳ vọng vào việc ra quyết định kinh doanh ● 5.2.4.1 Khái niệm ra quyết định ● 5.2.4.2 Lập bảng kết toán và ra quyết định bằng phương pháp EMV ● Bảng kết toán: bảng 2 chiều liệt kê các biến có có thể xảy ra cho từng phương án hành động ● TD: Bảng 5.6 Trang 129 ● EMV (Expected Monetary Value):Giá trị tiền tệ kỳ vọng ● 5.2.4.3 Lập bảng tổn thất cơ hội và ra quyết định bằng phương pháp EOL ● EOL (Expected Opportunity Loss): Tổn thất cơ hội kỳ vọng © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 19 5.3 CÁC PHÂN PHỐI LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG ● 5.3.1 Phân phối LT cho biến rời rạc ● 5.3.1.1 Phân phối nhị thức ● 5.3.1.2 Phân phối Poisson ● 5.3.2 Phân phối LT cho biến liên tục ● 5.3.2.1 PP bình thường (normal distribution) ● 5.3.2.2 PP bình thường chuẩn hoá ● 5.3.2.3 Dùng PP bình thường xấp xỉ một số PP rời rạc ● 5.3.2.4 PP đều ● 5.3.2.5 PP mũ ● 5.3.2.6 Kiểm tra tính bình thường (normality) của PP © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 20 5.3.1.1 Phân phối nhị thức ● Phân phối nhị thức là phân phối của biến ngẫu nhiên X thoả mãn các điều kiện sau đây: ● Số quan sát n là cố định ● Mỗi quan sát là độc lập với các quan sát khác ● Mỗi quan sát có hai khả năng xảy ra: Thành công hoặc Thất bại. ● Xác suất thành công p là như nhau đối với mỗi kết cục. ● Khi thoả mãn các điều kiện trên, thì X sẽ có phân phối nhị thức với các tham số là n và p, viết tắt là B(n,p). © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 21 ● Công thức của phân phối nhị thức: ● Khả năng thành công x lần trong n lần thực hiện phép thử với xác suất thành công trong mỗi phép thử là như nhau và bằng p, là © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 22 ! ( ) (1 ) !( )! x n xn P X x p p x n x     ● TD Trang 136: ● XS sinh được đúng 2 con gái trong 3 lần sinh, biết XS sinh con gái là p = 0,48 ● P(X=2) = 0,36 ● Ứng dụng Excel: Hàm BINOMDIST(x,n,p,cumulative) 5.3.1.2 Phân phối Poisson (poa-xông) ● XS xảy ra một biến cố cụ thể trong một đơn vị thời gian hay không gian xác định (chẳng hạn như chiều dài hay diện tích bề mặt ...), tạm gọi là phân đoạn (thời gian hay không gian). ● Thí dụ: số lỗi trên một trang đánh máy, số khách hàng đến giao dịch trong mỗi phút vào giờ nghỉ ăn trưa. ● Xác suất để có đúng 2 lỗi trên mỗi trang đánh máy là bao nhiêu? ● Xác suất để nhận đúng 4 cuộc gọi trong 15 phút là bao nhiêu? © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 23 ● X = biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị là các số nguyên, đại diện cho kết cục thành công ● x = giá trị cụ thể của số lần thành công trong phân đoạn quan tâm ● t = trung bình của số lần thành công trong phân đoạn ● t = khoảng phân đoạn quan tâm (phải cùng đơn vị đo với ) ● e = 2,71828 (hằng số toán học) ● TD: Trang 142 ● Ứng dụng Excel: hàm POISSON(x,mean,cumulative) © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 24 ( ) ( ) ! t x e t P X x x     ● Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson ● µ = t ● 2 = t © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 25 Phân phối Poisson © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 26 5.3.2 Phân phối lý thuyết cho biến liên tục ● 5.3.2.1 Phân phối bình thường ● 5.3.2.2 Phân phối bình thường chuẩn hoá ● 5.3.2.3 Dùng phân phối bình thường xấp xỉ một số phân phối rời rạc ● 5.2.3.4 Phân phối đều ● 5.2.3.5 Phân phối mũ © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 27 5.3.2.1 Phân phối bình thường (Normal Distribution) © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 28 ● X ~ N(µ;2) 5.3.2.2 Phân phối bình thường chuẩn hoá (Standardized Normal Distribution) ● Phép biến đổi chuẩn hoá X  Z ● Z ~ N(0;12) © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 29 2 2 1 ( ) 2 z f z e    Bảng tra xác suất Z © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 30 5.3.2.3 Dùng phân phối bình thường xấp xỉ một số phân phối của biến rời rạc ● Xấp xỉ phân phối nhị thức ● Xấp xỉ phân phối Poisson © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 31 5.2.3.4 Phân phối đều © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 32 5.2.3.5 Phân phối mũ (Exponential Distribution) ● Hàm mật độ xác suất f(x) ● x ≥ 0 © 2013 Nguyễn Tiến Dũng 33 ( ) x f x e  