Bài giảng Thông tin số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ VÀ TRUYỀN THÔNG ThS. HOÀNG QUANG TRUNG BÀI GIẢNG THÔNG TIN SỐ (Lưu hành nội bộ) THÁI NGUYÊN - 2011 Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 2 CHƯƠNG 1. T NG UAN VỀ THÔNG TIN SỐ 1.1. SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN THÔNG TIN SỐ - Telegraph: Là hệ thống thông tin liên lạc bằng điện tín, đánh dấu sự phát triển đầu tiên của hệ thống truyền thông điện. Đây là một hệ thống truyền thông số. Truyền thông điện báo được khởi xướng bởi Samuel Morse và được công bố vào năm 1837. Morse đã phát minh ra mã nhị phân có chiều dài thay đổi bằng cách sử dụng chuỗi các dấu chấm (∙) và dấu gạch (-) (gọi là các từ mã) để biểu diễn cho các mẫu tự alphabet của Tiếng Anh. Với mã này, các mẫu tự trong bản tin xuất hiện với tần xuất nhiều hơn sẽ được biểu diễn bằng các từ mã ngắn còn cac mẫu tự xuất hiện với tần xuất ít sẽ được biểu diễn bằng các từ mã dài hơn. Cũng chính vì thế mà mã Morse là tiền thân của các phương pháp mã hóa nguồn có chiều dài từ mã thay đổi. ảng 1.1: Minh họa về mã Morse ình 1.1. ệ thống thông tin Telegraph sử dụng dây dẫn Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 3 - Năm 1875: Gần 40 năm, sau thời kỳ của Morse, Emile audot đã đề xuất một loại mã dành cho truyền thông điện tín trong đó các mẫu tự trong bảng Alphabet Tiếng Anh được mã hóa bởi các từ mã nhị phân có chiều dài từ mã cố định bằng 5. Với mã audot, các thành phần của từ mã nhị phân này là các bit dấu “1” hoặc bit trống “0”. ảng 1.2: Minh họa mã audot: hư v y, Samuel Morse đã khởi xướng cho sự phát triển của hệ thống truyền thông số bằng điện đầu tiên là hệ thống điện tín (Telegraphy), cũng được xem như là truyền thông số hiện đại l c bấy giờ. - Năm 1924: yquist đã t p trung vào việc xác định tốc độ truyền tín hiệu tối đa có thể đạt được qua một kênh truyền điện tín với độ rộng băng kênh cho trước mà không có nhiễu liên ký hiệu (ISI). Ông đã đưa ra được mô hình toán học của một hệ thống truyền thông điện tín (Telegraph) trong đó tín hiệu phát đi có dạng tổng quát: đó na là chuỗi d liệu nhị phân  1 được truyền với tốc độ b1 T bit s . yquist đã xác định được dạng xung tối ưu có băng tần giới hạn tới đảm bảo tốc độ bit tối đa mà không gây ra nhiễu ký hiệu (ISI) tại các thời điểm lấy mẫu k T (trong đó 0, 1, 2,k    ). ghiên c u này đã đưa tới kết lu n rằng tốc độ truyền xung cực đại là 2W xung/giây và được gọi là tốc độ yquist. ơn n a, tốc độ này có thể đạt được khi sử dụng các xung    sin 2 2g t Wt Wt  , vì dạng xung này cho ph p khôi phục lại d liệu mà không có ISI tại các thời điểm lấy mẫu.    n n s t a g t nT  Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 4 ết quả nghiên c u của yquist là ph hợp với lý thuyết lấy mẫu đối với các tín hiệu hạn băng do Shannon đưa ra vào năm 1948. hư v y, có thể nói rằng các công trình nghiên c u của các tác giả nói trên đã đặt nền móng cho sự phát triển của các hệ thống thông tin số hiện đại ngày nay. 1.2. HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ 1.2.1. Hi u về thông tin số Trước hết ta cần hiểu khái niệm “số” (digital) ở đây có nghĩa là giá trị rời rạc và có hàm ý rằng tín hiệu có một biến giá trị nguyên độc l p. Thông tin số bao gồm các con số và các ký hiệu (ví dụ như các ký tự trên bàn phím). Máy tính dựa trên dạng thể hiện số (digital) của thông tin để xử lý. Các ký hiệu (symbols) không có giá trị số và mỗi ký hiệu được máy tính biểu diễn bởi một số duy nhất. Ví dụ như mã ASCII biểu diễn ký tự “a” tương ng với giá trị số   10 97 và ký tự “A” tương ng với giá trị số   10 65 . 1.2.2. H thống thông tin số Mô hình hệ thống thông tin số được mô tả như hình sau: ình 1.2. Các thành phần cơ bản của một hệ thống thông tin số Trong hình 1.2, đầu ra của nguồn phát tin cũng có thể là tín hiệu tương tự như tín hiệu audio hay video hoặc tín hiệu số chẳng hạn như đầu ra của máy điện báo đánh ch (teletype). Trong hệ thống thông tin số, các bản tin được tạo ra từ các nguồn phát tin được chuyển thành chuỗi ký hiệu nhị phân (binary digits). Một cách lý tưởng là ch ng ta mong muốn bản tin ở đầu ra nguồn phát tin là có ít hay không có thành phần dư thừa. Quá trình Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 5 chuyển đổi hiệu quả các bản tin đầu ra của nguồn phát tin tương tự hay số thành một chuỗi các ký hiệu nhị phân được gọi là mã hóa nguồn hay n n d liệu. Chuỗi ký hiệu nhị phân tạo ra bởi bộ mã hóa nguồn mà chúng ta còn gọi là chuỗi thông tin, được đưa qua bộ mã hóa kênh. Chuỗi nhị phân tại đầu ra của bộ mã hóa kênh lại được cho qua bộ điều chế số để tạo dạng thích hợp với kênh truyền thông. 1.2.3. C nh thông tin Kênh thông tin là môi trường để truyền tín hiệu từ máy phát đến máy thu. Với truyền dẫn vô tuyến, kênh có thể là áp suất khí quyển (khoảng không tự do). Với môi trường khác như các kênh thoại h u tuyến, thường là chất liệu v t lý như các dây dẫn kim loại, cáp sợi quang. a) nh s ng dây n (wireline) Mạng điện thoại sử dụng các đường dây dẫn để truyền tín hiệu thoại cũng như truyền dẫn d liệu và video. Đường dây điện thoại được sử dụng để nối từ tổng đài đến khách hàng, có độ rộng băng vào c vài trăm k . Trong khi đó thì cáp đồng trục có độ rộng băng khả dụng vào c vài M . ình 1.3. ải tần phân bổ cho các kênh sử dụng dây dẫn Tín hiệu truyền qua các dây dẫn có thể bị m o cả về biên độ và pha hơn n a còn chịu ảnh hưởng của ồn cộng tính. Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 6 b) nh s ng s i uang (Fiber Optic Channels) Sợi quang sử dụng chất liệu thủy tinh làm lớp l i để truyền tia sáng, dựa trên nguyên lý phản xạ của tia ánh sáng khi đi từ môi trường này sang môi trường khác. hi tia sáng đi từ môi trường có hệ số phản xạ cao hơn sang môi trường có hệ số phản xạ thấp hơn thì sẽ bị uốn về phía môi trường có hệ số phản xạ cao hơn, nên xung ánh sáng được truyền trong sợi quang. Sợi quang là v t liệu cách điện, ch truyền ánh sáng. Suy hao tín hiệu trong sợi quang là rất nh , c 0. d km và không chịu ảnh hưởng của giao thoa sóng điện từ. c) nh tu ến (Wireless Channels) ênh vô tuyến sử dụng sóng điện từ trường để mang thông tin trong không gian tự do. Có ba loại kênh vô tuyến điển hình là: kênh viba, kênh di động và kênh vệ tinh: - ênh viba: thường hoạt động ở dải tần từ 1 G đến 30 G trong tầm nhìn thẳng (LOS-Line Of Sight). Chất lượng đường truyền bị ảnh hưởng bởi điều kiện khí h u. - ênh di động: à kênh kết nối với người d ng di động. ênh dạng này chịu ảnh hưởng nhiều bởi hiệu ng đa đường. Đây là loại kênh khá ph c tạp trong thông tin vô tuyến. - ênh vệ tinh: Độ cao của vệ tinh địa tĩnh vào khoảng 30000 m. Tần số thường d ng cho tuyến lên là G và tuyến xuống là 4 G . Độ rộng băng tần của kênh truyền lớn, vào c 500 MHz. hi tia sóng lan truyền trong không gian, có thể đi theo các hướng khác nhau phụ thuộc vào điều kiện môi trường và tần số. Hình 1.3. Đường đi của sóng đất và sóng trời Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 7 Ngoài các kênh thông tin trên, trong thực tế còn có một số kênh thông tin như k nh t u ền t n hi u m thanh i n c (underwater acoustic channels), ví dụ như tín hiệu âm tần phát ra từ cá voi được lan truyền trong môi trường nước; nh u t (storage channels), ví dụ như thông tin có thể được lưu vào bộ nhớ (đia quang, đĩa từ, ) sau đó được v n chuyển, mang vác bởi các phương tiện v n tải. 1.3. TÍN HIỆU CƠ SỞ VÀ TÍN HIỆU BĂNG THÔNG DẢI 1.3.1. Tín hi u băng ơ sở Thu t ng băng cơ sở ch miền tần số của tín hi u bản tin và thường đó là tin hiệu băng thông thấp. Tín hiệu băng cơ sở có thể ở dạng số hay tương tự. Đối với tín hiệu tương tự: cả thời gian và biên độ là liên tục. Đối với tín hiệu số: Thời gian và biên độ (dạng sóng) đều rời rạc (ví dụ lối ra của máy tính có thể coi là tín hiệu số băng cơ sở). 1.3.2. Tín hi u băng thông dải Để truyền dẫn, tín hiệu bản tin phải được chuyển thành tín hi u phát có tính chất phù h p v i kênh truyền. Trong truyền dẫn băng cơ sở: ăng tần kênh hỗ trợ phù hợp với băng tần tín hiệu bản tin nên có thể truyền trực tiếp tín hiệu bản tin. Trong truyền dẫn băng thông dải: ăng tần của kênh có tần số trung tâm lớn hơn nhiều tần số cao nhất của tín hiệu bản tin. Khi đó tín hiệu được phát đi là tin hiệu băng thông dải (phù hợp với kênh truyền) mang thông tin của tín hiệu bản tin. Việc tạo ra tín hiệu băng thông dải này goi là điều chế. Khi nghiên c u tín hiệu băng thông dải, thường người ta dùng phương pháp đưa về tín hiệu băng cơ sở tương đương. Liên h nghịch đảo gi a thời gian và tần số: Theo nh ng tính chất của biến đổi Fourier trong lý thuyết xử lý tín hiệu có thể r t ra nh ng tính chất căn bản sau: - Mô tả miền thời gian của một tín hiệu thay đổi có chiều ngược với mô tả miền tần số của tín hiệu: ví dụ chu kỳ của tín hiệu tăng thì tần số của nó giảm, xung càng hẹp thì phổ càng rộng Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 8 - ếu tín hiệu là giới hạn trên miền tần số, thì mô tả trên miền thời gian sẽ là vô hạn d biên độ của nó ngày càng nh (xung sinc(t) là một ví dụ). gược lại nếu tín hiệu bị giới hạn trong miền thời gian thì phổ của nó rộng vô c ng. ( ch ý là không có tín hiệu đồng thời giới hạn cả về tần số lẫn thời gian song lại có thể có tín hiệu vô hạn cả về tần số lẫn thời gian). 1.4. ƯU, NHƯỢC ĐIỂM CỦA HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ 1.4.1. Những ưu đi m ủa thông tin số (1). Tăng được khả năng truyền dẫn d liệu ( ). Tăng khả năng tích hợp, độ ph c tạp và sự tin c y của các hệ thống điện tử số trong việc xử lý tín hiệu, đồng thời với giá thành giảm. (3). ễ dàng trong việc mã hóa để n n d liệu. (4). hả năng mã hóa kênh để tối thiểu hóa các ảnh hưởng của tạp và nhiễu. (5). ễ dàng cân đối công suất, thời gian và độ rộng dải thông để tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên có hạn này. ( ). ễ dàng chuẩn hóa các tín hiệu, bất kể kiểu, nguồn gốc và dịch vụ mà ch ng cung cấp dẫn tới việc thiết l p một mạng số liên kết đa dịch vụ. 1.4.2. Một số nhượ đi m ủa thông tin số (1). ệ thống thông tin số thường ph c tạp hơn một hệ thống tương tự tương đương. ( ). Chi phí lắp đặt lớn hơn so với thông tin tương tự do trong thông tin số bao gồm nhiều thành phần hơn. (3). Yêu cầu độ chính xác cao đặc biệt trong các hệ thống đồng bộ số. Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 9 CHƯƠNG 2. TRUYỀN TIN BĂNG CƠ SỞ 2.1. NHIỄU GIAO THOA KÝ HIỆU (ISI) 2.1.1. Hi n tượng nhiễu giao thoa ý hi u Với bất kỳ kênh thực tế nào, không thể tránh kh i hiện tượng trải rộng các ký hiệu d liệu riêng lẻ khi đi qua kênh. Với các ký hiệu liên tiếp nhau, một phần năng lượng ký hiệu chồng lấn sang các ký hiệu bên cạnh, hiện tượng này được gọi là nhiễu giao thoa gi a các ký hiệu (ISI- Intersymbol Interference). goài ra, quá trình lọc trong máy phát và máy thu cũng có thể tự làm suy giảm ISI. hi các bước thiết kế được thực hiện th n trọng thì ISI có thể suy giảm đáng kể, bộ tách d liệu có khả năng phân biệt được một chuỗi các ký hiệu riêng biệt từ một năng lượng hỗn hợp của các ký hiệu bên cạnh. Th m chí, nếu tạp âm không tham gia vào kênh thì có thể tách lỗi gọi là tỷ lệ lỗi tối giản và ở đó ít nhất sẽ giảm bớt tỷ số lỗi bit hay lỗi ký hiệu trong trường hợp có tạp âm. Hình 2.1. iện tượng ISI do bộ lọc kênh. ằng cách điều ch nh các đặc tính lọc của kênh (với bất kỳ quá trình thu hay phát thông tin), có thể điều khiển ISI để giảm tỷ lệ lỗi bit trên đường truyền. h ng kết quả này thu được bằng cách đảm bảo rằng hàm truyền đạt của bộ lọc kênh tổng thể có hệ số đáp ng tần số yquist. Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 10 Hình 2.2. Đáp ng tần số Nyquist Đáp ng xung yquist được đặc trưng bởi hàm truyền đạt có băng tần chuyển tiếp gi a dải thông và dải chặn là đối x ng tại tần số khoảng 10.5 sT  . Đối với loại đáp ng kênh này thì ký hiệu d liệu vẫn bị nhiễu nhưng dạng sóng đầu ra tiến dần tới 0 tại các bội số của chu kỳ ký hiệu. Hình 2.3. Mạch lọc yquist 2.1.2. Lo i b ISI nh d ng ung ủa bộ nh N uist Ít kênh truyền không có được đặc tính truyền đạt yquist, do đó thiết kế hệ thống cần phải đưa thêm bộ lọc b để thu được đáp ng mong muốn. ằng cách lấy mẫu luồng ký hiệu chính xác tại các điểm mà ISI tiến dần tới 0, năng lượng phổ của các xung bên cạnh không bị ảnh hưởng tới giá trị của các xung đang lấy mẫu tại điểm lấy mẫu. Điều đó ch ng t rằng thời gian ấ m u phải đ c t nh toán ch nh xác để giảm tối đa nhiễu giao thoa gi a các ký hi u ISI. hi thiết kế các hệ thống, cần quan tâm đặc biệt đến tạp âm hoặc suy giảm lớn của đường truyền để khôi phục chính xác thông tin định thời ký hiệu. Định thời ký hiệu không chính xác luôn dẫn đến trôi định thời. Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 11 Hình 2.4. oại b ISI nhờ bộ lọc kênh yquist Mạch lọc yquist được ng dụng trong nhiều lĩnh vực thông tin số, một thí dụ được nêu ra là thông tin vô tuyến số, kênh truyền dẫn tự nó không chịu ảnh hưởng của việc lọc qua độ rộng băng tần điều chế và việc lọc tín hiệu chủ yếu được thực hiện ở máy thu và máy phát. Quá trình lọc phần lớn được được thực hiện ở phía phát để điều chế ở độ rộng băng tần thích hợp. phía thu, quá trình lọc cần thiết cho việc chuyển vô số các tín hiệu khác nhau tới máy thu và tối thiểu hoá tạp âm rồi đưa vào bộ giải điều chế. Thông thường, đáp ng lọc yquist cần có hệ số ISI bằng 0 được chia đều cho cả hai hệ thống phát và thu bằng cách sử dụng một cặp bộ lọc cosin-tăng nghiệm (RRC-Root Raised Cosine). Hình 2.5. Sử dụng các bộ lọc RRC ở hai phía phát và thu T m i: Vấn đề ISI luôn tồn tại trong kênh băng tần hạn chế (vì nó cắt bớt tần số cao trong xung tin hiệu) làm các xung cạnh nhau ảnh hưởng lên nhau, song với kỹ thu t truyền tin số, điều này có thể đ c giải u ết hoàn hảo Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 12 nếu tại thời điểm ấ m u 1 ký hi u th các ảnh h ởng của ký hi u khác phải ao động cắt ze o, hoặc nếu khác ze o th phải xác định đ c giá t ị ảnh h ởng à bao nhi u. Điều này liên quan đến tạo dạng xung p(t) để theo đó ISI bị loại trừ. 2.1.3. Ti u huẩn N uist ho tru ền tin băng ơ sở Mô hình hệ thống truyền tin băng cơ sở có thể được mô tả như hình dưới đây: ình 2.6. ệ thống truyền d liệu nhị phân băng cơ sở Trên hình . , dãy d liệu nhị phân được vào bộ tạo xung để tạo ra dãy các xung (thường sử dụng báo hiệu cực) (2.1) ãy các xung này tiếp tục được đưa tới bộ lọc phát có đáp ng xung là g(t), tạo thành tín hiệu s(t), sau đó đưa vào kênh truyền. Tín hiệu s(t) có dạng: (2.2) Qua kênh truyền, tín hiệu bị suy hao và có sự đóng góp của ồn. Vì v y, lối ra của bộ lọc thu có thể viết là: (2.3) Trong đó  là hằng số, n(t) là thành phần ồn cộng tính. yquist đã tìm ra điều kiện để ISI bằng không. Thông thường hàm truyền của kênh và dạng xung của tín hiệu bản tin là được xác định trước, vấn đề tiếp đó là xác định hàm t u ền của bộ ọc phát à ọc thu thế nào để tạo lại được dãy d liệu nhị phân {bk} được chính xác. Việc tách tín hiệu Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 13 tại bộ thu là lấy mẫu tại các thời điểm t = iTb, việc giải mã đ ng yêu cầu không có đóng góp của các xung khác thông qua điều kiện của biểu th c akp(iTb-kTb) với k≠i (t c là không có ISI), điều này yêu cầu ta phải có được xung p(t) sao cho (2.4) c đó thì y(ti)=µai Đây chính là điều kiện thu hoàn hảo khi không có ồn. Phân tích điều kiện này bằng cách chuyển sang v ng tần số: Theo lý thuyết xử lý tín hiệu, phổ của tín hiệu lấy mẫu là chồng ch p các phiên bản dịch phổ của tín hiệu được lấy mẫu p(t), nhân với nhân tử tỷ lệ Rb=1/Tb. Các bước dịch là bội lần của tốc độ mẫu (2.5) đó Rb=1/Tb là tốc độ bit trên giây. Mặt khác Pδ(f) cũng có thể biểu diễn là biến đổi Fourier của dãy vô hạn các xung delta lặp lại với chu kỳ Tb, được trọng số bởi giá trị mẫu của p(t): (2.6) Đặt m = i-k (khi i = k, m = 0; khi i ≠ k, m ≠ 0) và dựa trên điều kiện lấy mẫu không có ISI của p(t) ta có: (2.7) ết hợp ( .5 và (2.7), điều kiện để loại b ISI (ISI=0) là phải th a mãn biểu th c: (2.8) Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 14 T c là tổng P(f) với các phiên bản dịch của nó là hằng số. Ch ý rằng P(f) à phổ của t n hi u sau cùng, sau khi đi ua h thống gồm: bộ ọc phát, k nh t u ền à bộ ọc thu. iểu th c (2.8) có thể được viết lại như sau:  b b n P n T      (2.9) Hình 2.7. (a) Phổ tín hiệu cơ sở (b) Phổ th a mãn phương trình ISI bằng không 1) Nghiệm lý tưởng: Cách đơn giản nhất th a mãn điều kiện ISI bằng không là hàm P(f) có dạng ch nh t (2.10) đó là độ rộng phổ của tín hiệu xung và cũng là yêu cầu tối thiểu hệ thống để truyền xung xác định bởi: =Rb/2=1/2Tb (dễ dàng thấy rằng phổ này và các phiên bản dịch, t c là đặt cạnh nhau sẽ cho tổng là hằng số). ạng sóng của xung truyền sẽ là hàm sinc: (2.11) Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 15 Hình 2.8. a) Đáp ng tần số lý tưởng. b) Dạng xung cơ sở lý tưởng Giá trị đặc biệt của tốc độ bit Rb= gọi là tốc độ yquist, gọi là độ rộng băng yquist. ệ truyền xung băng cơ sở mô tả như trên gọi là hệ có kênh yquist lý tưởng. Tuy nhiên dạng xung sinc không thực tế (xuất phát từ -∞) đồng thời p(t) giảm ch m theo 1 t khi t tăng (sự giảm này gây ảnh hưởng lên nhiều xung khác xung quanh). hi có lỗi đồng hồ (lỗi lấy mẫu) các phần cộng vào thêm của các xung lân c n vào mẫu chính có thể tạo thành chuỗi phân kỳ gây nên lỗi lớn. 2) Nghiệm thực tế-Phổ cosin tăng (Raised Cosine) Chúng ta có thể khắc phục nh ng nhược điểm của kênh yquist lý tưởng bằng cách mở rộng độ rộng băng tần kênh từ giá trị tối thiểu =Rb/2 đến một giá trị thích hợp gi a và để tạo nên dạng xung thực tế hơn trong miền thời gian Ta duy trì 3 số hạng trong phương trình (2.9) và hạn chế băng tần quan tâm trong khoảng [0,W], khi đó ( . ) trở thành:     b bP f P f 2w 1 2w T ; 0 f w R 2       (2.12) Hay:    b b bP P T ; 0     Ch ý là có thể tạo ra nhiều hàm số có phổ hạn chế th a mãn phương trình trên. Một dạng có nhiều ưu điểm mong muốn là dạng hàm phổ cosin tăng. Tính chất của nó là có một kh c bằng phẳng và một kh c cuộn cắt như hàm cosin Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 16 Hình 2.9. Phổ vết Đặt: bx 2    (2.13) Vì  P  là hàm thực nên ta có: (2.14) Phổ như trên được gọi là phổ vết (vestigial spectrum). Độ rộng băng của  P  là b x2   với bx 2   . Ta đặt: xx b x , r 2      thì: 0 r 1  . Khi đó độ rộng băng của  P  sẽ là: (2.15) Trong đó r được gọi là hệ số cuộn cắt (roll-off factor) và được tính theo phần trăm. hi r = 1 ta có cuộn cắt xoải, biên độ của đuôi p(t) dao động trở nên nh nhất, do đó lượng ISI gây lên do lỗi định thời mẫu sẽ giảm khi r tăng từ 0 đến 1. Một trong số họ phổ th a mãn tiêu chuẩn yquist là: Khoa Công nghệ Điện tử - Truyền thông 2011 Hoàng Quang Trung – Bộ môn Công nghệ Truyền thông Page 17 (2.16) ay có thể viết dưới dạng r t gọn hơn: (2.17) Đặc tích này của  P 