Bài giảng Toán 1 - Lê Thị Minh Hải

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.1. Hàm số một biến số 1. Định nghĩa hàm số Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương ứng f D E→: cho tương ứng mỗi phần tử x D∈ với duy nhất một phần tử y E∈ được gọi là hàm số một biến số thực. + Tập D được gọi là miền xác của f. + Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f. + x D∈ được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ). + f x x D∈( ), được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ). 2. Đồ thị của hàm số: ( ){ }fG x f x x A= ∈, ( ) | + Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng: Một đường cong trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm của x nếu và chỉ nếu đường thẳng song song với Oy cắt đương cong đó tại nhiều nhất một điểm. Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số 1.2 Giới hạn hàm số: 1. Ví dụ 1: Xét hàm số y f x x x= = − +2( ) 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm x gần x =0 2. Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Nhận thấy khi x tiến gần đến x =0 2 thì các giá trị các hàm số f x( ) tiến gần đến 4. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 4 khi x x→ =0 2 . 2. Định nghĩa giới hạn hàm số Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn L (hữu hạn) khi x x→ 0 và viết x x f x L → = 0 lim ( ) nếu với bất kỳ dãy { }nx mà nx x→ 0 thì nn f x L→∞ =lim ( ) . Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ ε− . x x f x L x x f x Lε δ δ ε → = ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − < 0 0lim ( ) 0, 0 : ( ) Chú ý + Nếu hàm f x( ) không thoả mãn định nghĩa, ta nói rằng f x( ) không có giới hạn khi x x→ 0 , hoặc x x f x → 0 lim ( ) không tồn tại. + Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0 ” chứ không phải xét khi x x= 0 . Do đó hàm số f x( ) có thể không xác định tại x x= 0 nhưng phải xác định tại các điểm thuộc lân cận của điểm đó. Ví dụ 2: Hàm số xf x x − = −2 1( ) 1 không xác định tại x =1. Ta lập bảng tính các giá trị của f x( ) khi x →1. Từ đó xem f x( ) dần đến giá trị nào. Nhận thấy khi x tiến gần đến x =0 1 thì các giá trị các hàm số f x( ) tiến gần đến 0,5. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x x→ =0 1. Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Cách mô tả này chủ yếu cho ta dáng điệu của f(x) khi x gần a, dự đoán giá trị của giới hạn, có lợi về trực giác và phù hợp với mục đích thực hành. Tuy nhiên không chặt chẽ. Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng x x x→ − = −21 1 1lim 1 2 . Thật vậy, cho trước ε> 0 , chọn δ ε= . Ta có: x δ− <1 thì x x x x x ε − − − = < − < − +2 1 1 1 1 1 2 1 ( với x trong lân cận của 1). Ví dụ 3: Tìm giới hạn x x→0 1limcos Giải: Đặt f x x = 1( ) cos . + Với x npi = 1 2 , n = 1, 2, 3…thì f x =( ) 1. + Với x n pi pi = + 1 2 2 , n = 1, 2, 3…thì f x =( ) 0 . Vậy x x→0 1limcos không tồn tại. 3. Giới hạn ở vô cực Định nghĩa: x f x L ε →+∞ + = ⇔ ∀ > lim ( ) 0 , N∃ > 0 đủ lớn, sao cho x N f x L ε∀ > ⇒ − <( ) . x f x L ε →−∞ + = ⇔ ∀ > lim ( ) 0 , N∃ > 0 đủ lớn, sao cho x N f x L ε∀ <− ⇒ − <( ) . Ví dụ 4: Chứng minh rằng x x→+∞ = 1 lim 0 . + Từ x x ε ε − 2 1 1 0 . + Ta có: ε∀ > 0 , chọn N ε = 2 1 . Khi đó x N f x ε∀ > ⇒ − <( ) 0 . 4. Các tính chất của giới hạn Định lí 1: Giả sử c là hằng số và x a x a f x L g x M → → = = lim ( ) , lim ( ) . Khi đó 1. [ ] x a f x g x L M → + = + lim ( ) ( ) 2. [ ] x a f x g x L M → − = − lim ( ) ( ) 3. x a c f x cL → = lim . ( ) 4. x a f x g x L M → = lim ( ). ( ) . 5. x a f x L g x M→ = ( ) lim ( ) nếu M ≠ 0 . Định lý 2: ( về giới hạn kẹp) Giả sử các hàm số f x g x h x( ), ( ), ( ) thoả mãn bất đẳng thức f x g x h x≤ ≤( ) ( ) ( ) trong lân cận của điểm a. Khi đó nếu x a x a f x h x L → → = = lim ( ) lim ( ) thì x a g x L → =lim ( ) . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Ví dụ 5: Chứng minh rằng x x x→∞ = sinlim 0 . Ta có: x x x ≤ ≤ sin 10 . Mà x x→∞ = 1lim 0 nên x x x→∞ = sinlim 0 , hay ta có đpcm. 5. Một số phương pháp khử dạng vô định: ∞∞ ∞−∞ ∞ 0 , , , 1 . 0 + Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân biểu thức liên hợp để khử dạng vô định. + Sử dụng giới hạn kẹp + Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau: x x x→ = 0 sinlim 1, x x a a x→ − = 0 1lim ln , x x x→ + = 0 ln( 1)lim 1, x a x a e x→∞   + =   lim 1 , ( )x x a a →+∞ = < <lim 0, 0 1 , … Ví dụ 6: Tìm m nx x x→ − −1 1lim 1 . Giải: + Dạng 0 0 . + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) m m m mm n n n n nx x x x x x x xx m x nx x x x x − − − − − − − −→ → → − + + + + + +− = = = − − + + + + + + 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 ... 1 ... 11lim lim lim 1 1 ... 1 ... 1 . Ví dụ 7: Tìm x x x x→ − − − − 3 2 1 2 3lim 2 + Dạng 0 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x xx x x x x x→ → → → − − − − − − − − −− − − = = − − − − − 3 33 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 2 3 11 2 3lim lim lim lim 2 2 2 2 + ( ) dang x x x→ − − = − 03 0 2 1 1 lim 2 + ( ) dang x x x→ − − = − 0 0 2 2 3 1 lim 2 . + Vậy x x x x→ − − − = + = − 3 2 1 2 3 1 4lim 1 2 3 3 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Ví dụ 8: Tìm x x x x→+∞ + + lim 1 Giải: Dạng ∞ ∞ . + x x x x→+∞ + = + lim 1 + KQ: 1. Ví dụ 9: Tìm ( ) x x x x →+∞ + −2lim + Dạng ∞−∞ + ( ) x x x x →+∞ + − =2lim . + KQ: ∞ . Ví dụ 10: Tìm x x x x x + →+∞  +     −  2 22 2 1lim 1 , + Dạng ∞1 + ( ) ( ) x x x x x x xx x x x x x e e x x →+∞ +  −  − ++      − →+∞ →+∞       +    = + = =       − −       2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 222 lim2 21 2 2 1 2lim lim 1 1 1 . Ví dụ 11: Tìm giới hạn sau x x x x→ − −0 1 cos .cos2lim 1 cos . + Dạng 0 0 . + ( ) x x x x xx x x x→ → − + −− = = − −0 0 1 cos cos2 1 cos21 cos .cos2lim lim 1 cos 1 cos = + KQ: 5. Ví dụ 12: Tìm giới hạn sau ( )x x x → 2 1 0 lim cos . + Dạng ∞1 + Ta có: ( ) xx x= − − = − 2cos 1 1 cos 1 2sin 2 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải + ( )x x x → =2 1 0 lim cos + KQ:e− 1 2 6. Giới hạn một phía a. Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x a x a→ , ) nếu tồn tại gọi là giới hạn trái ( hoặc giới hạn phải ). Ký hiệu x a x a f x f a f x f a − + − + → → = =lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) . Ký hiệu khác: x a x a f x f a f x f a → − → + = − = + 0 0 lim ( ) ( 0), lim ( ) ( 0) . b. Định lý: Tồn tại x a f x L → =lim ( ) khi và chỉ khi x a x a x a x a f x f x f x f x L − + − + → → → → ∃∃ = = lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) Ví dụ 13: Xét sự tồn tại của x x x→0 lim . Ta có: x x x x x x+ +→ → = = 0 0 lim lim 1, x x x x x x− −→ → − = =− 0 0 lim lim 1. Vậy x x x→0 lim không tồn tại. Ví dụ 14: Nếu x xf x x x  − >= − < 4, 4( ) 8 2 , 4 , Xác định sự tồn tại của ( ) 4 lim x f x → . GIẢI: Vì ( ) 4f x x= − với 4x > , chúng ta có: ( ) 4 4 lim lim 4 4 4 0 x x f x x + +→ → = − = − = Vì ( ) 8 2f x x= − với 4x < , chúng ta có : ( ) ( ) 4 4 lim lim 8 2 8 2.4 0 x x f x x − −→ → = − = − = Giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. Vì vậy, giới hạn tồn tại và ( ) 4 lim 0 x f x → = . Đồ thị của f được chỉ ra trong Hình 3. Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải HÌNH 3 7. Vô cùng lớn, vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x x→ 0 nếu x x f x → = 0 lim ( ) 0 . Hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x x→ 0 nếu x x f x → =+∞ 0 lim ( ) . Chú ý: + x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn. + x x x x f x f x→ → =∞⇔ = 0 0 1lim ( ) lim 0( ) . xf x x= + 1 ( ) (1 ) + Để so sánh tốc độ dần đến 0 của các VCB f(x), g(x) khi cùng x x→ 0 thì xét x x f x g x→ 0 ( )lim ( ) . Ta có các trường hợp sau: ♦ Nếu x x f x g x→ = 0 ( )lim 0( ) ta nói rằng f(x) bậc cao hơn g(x), kí hiệu f x o g x x x= → 0( ) ( ( )), . ♦ Nếu x x f x C g x→ = ≠ 0 ( )lim 0( ) ta nói rằng f(x) cùng bậc với g(x). ♦ Nếu x x f x g x→ = 0 ( )lim 1( ) ta nói rằng f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f x g x( ) ( )∼ . Một số VCB cùng bậc khi x → 0 : xx x x x e x+ −sin , ln(1 ) , 1∼ ∼ ∼ . ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v× x x x→ + = 0 ln(1 )lim 1 Định lý: Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x x→ 0 . Khi đó : x x x x f x f x g x g x→ → = 0 0 * * ( ) ( )lim lim( ) ( ) . Ví dụ 15: Tính x x e x→ − + 2 0 1lim ln(1 sin3 ) . Ta có: xe −2 1 ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0 Do đó : x x x e x x x→ → − = = + 2 0 0 1 2 2lim lim ln(1 sin3 ) 3 3 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải 1.3. Tính liên tục của hàm số 1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu x x f x f x → = 0 0lim ( ) ( ) . Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D. Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0 cần đến 3 điều kiện: 1. x0 thuộc tập xác định của hàm số. 2. Tồn tại x x f x → 0 lim ( ) . 3. x x f x f x → = 0 0lim ( ) ( ) Nhận xét: + Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là các hàm số liên tục trên miền xác định của nó. + Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên khoảng này (tức là không bị gãy, không bị đứt đoạn). Định nghĩa 2: Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu ( ) ( ) x x f x f x +→ = 0 0lim . Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu ( ) ( ) x x f x f x −→ = 0 0lim . Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại x0 . Ví dụ 16: Xét tính liên tục của hàm số ( ) x x xf x x x  − − ≠= − = 2 2 2 2 1 2 + Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 . + Xét tại x = 2. ( ) ( )( ) ( ) x x x x x xx xf x x f x x→ → → → − +− − = = = + = = − − 2 2 2 2 2 2 12lim lim lim lim 1 3, (2) 1 2 2 Nhưng ( ) ( ) x f x f → ≠ 2 lim 2 . Nên f không liên tục tại 2. Ví dụ 17: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R ax x x f x x ae x x  >= + − ≤ 2 sin2 0( ) 1 0 + Hàm số liên tục với mọi x ≠ 0 , để hàm số liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x = 0 . + Tại x = 0 ( ) x x xf x x+ +→ → = = 0 0 sin2lim lim 2 , ( ) ( )ax x x f x ae x a f − −→ → = + − = − =2 0 0 lim lim 1 1 (0) Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Để hàm số liên tục tại x = 0 thì f f f a a+ −= = ⇔ − = ⇔ =(0 ) (0 ) (0) 1 2 3 . Ví dụ 18: Hàm số f(x) không xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để hàm số f(x) liên tục tại x = 0 với : ( )xf x x= + 1 ( ) 1 2 Giải: Để hàm số liên tục tại x = 0 thì x x x f f x x e → → = = + = 1 2 0 0 (0) lim ( ) lim(1 2 ) . 2. Điểm gián đoạn của hàm số Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số không liên tục. Nếu tồn tại f a f a+ −( ), ( ) và f a f a+ −≠( ) ( ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn loại 1. Nếu f a f a+ −=( ) ( ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn khử được. Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2. Ví dụ 19: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau: a. x f x x =( ) b. x x f x e − = −1 1( ) 1 Giải: a. Xét tại x = 0 ( ) x f x +→ = 0 lim ( ) x f x −→ = 0 lim nên x = 0 là gián đoạn loại 1. b. ♦ Tại x = 1. ( ) ( ) x x f x f x + −→ → = = 1 1 lim lim nên x = 1 là gián đoạn loại 1. ♦ Tại x = 0. ( ) ( ) x x f x f x + −→ → = = 0 0 lim lim nên x = 0 là gián đoạn loại 2. Ví dụ 20: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn x x f x x x pi ≤=  − > cos 1 2( ) 1 1 (ĐS: x = - 1 là điểm gián đoạn loại 1) Bài tập về nhà: Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang 278 ( Bài 33 - 43). Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 2 Đạo hàm của hàm số một biến 2.1 Định nghĩa về đạo hàm 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f x= ( ) , đạo hàm f x'( ) của hàm số f x( ) là một hàm mới có giá trị tại điểm x được xác định bởi giới hạn sau (khi giới hạn tồn tại): x f x x f xf x x∆ → +∆ − = ∆0 ( ) ( ) '( ) lim . + Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại a. + Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó. y = f(x) P ∆x x + x0 ∆x0 x y Q f(x + x) - f(x )0 0∆ ● Chú ý : + f’(x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại P. + Có nhiều cách ký hiệu khác nhau của đạo hàm hàm số y f x= ( ) : f x'( ) , y’ , dy dx , df x dx ( ) , d f x dx ( ) . + Nếu y f x= ( ) thì dy dx còn được gọi là suất biến đổi của y theo x . + Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3, ta viết : x dy dx =      3 hoặc x dy dx =3 , hoặc f’(3) . + x x x∆ = − 0 nên x x x f x f xf x x f xf x x x x∆ → → −+∆ − = = ∆ −0 0 0 0 ( ) ( )( ) ( ) '( ) lim lim . 2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa: ● B
c 1. Tìm số gia f(x + ∆x) - f(x) và tiến hành rút gọn ● B
c 2. Thiết lập tỷ số: f x x f x x +∆ − ∆ 0 0( ) ( ) ● B
c 3. Tính giới hạn của tỷ số trên khi ∆x→0. Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó chính là đạo hàm của hàm số tại điểm cần tìm : Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải x f x x f xf x x∆ → +∆ − = ∆0 ( ) ( ) '( ) lim . Ví dụ 1. Tìm f’(x) nếu f(x) = x 1 Bước 1: x x x xf x x f x x x x x x x x x x − +∆ −∆ +∆ − = − = = +∆ +∆ +∆ 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) Bước 2. f x x f x x x x x +∆ − − = ∆ +∆ 0 0( ) ( ) 1 ( ) Bước 3. Kết luận x f x x x x x∆ → − = =− +∆ 20 1 1 '( ) lim ( ) Ví dụ 2 : Vẽ đồ thị hàm số y f x x x= =( ) và cho biết nó không khả vi tại điểm nào Giải : x xy f x x x x x  ≥= = =− ≤ 2 2 , 0( ) , 0 nên x xf x x x  >= − < 2 , 0 '( ) 2 , 0 Tại x = 0, ta có x x x x xf x f x x x∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆+∆ − = = ∆ = ∆ ∆0 0 0 (0 ) (0)lim lim lim 0 , hàm số khả vi tại x = 0. Vậy hàm số khả vi với mọi x. Ví dụ 3: Hàm số x x xf x x x  − + >= − ≤ ( -1)ln( 1) 1 1( ) 2 1 1 có khả vi tại x = 1 không. Giải: + x f x f x+→ − = −1 ( ) (1)lim 1 + x f x f x−→ − = −1 ( ) (1)lim 1 Vậy hàm số không khả vi tại x = 1. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu hàm f(x) có tính chất f x x≤ 2( ) với mọi x thì f(x) khả vi tại x = 0. Giải: Từ f x x≤ 2( ) , x∀ nên f f≤ ⇔ =(0) 0 (0) 0 . Ta có f x f f x x x x +∆ − ∆ ≤ = ≤ ∆ ∆ ∆ (0 ) (0) ( )0 , mà x x ∆ → ∆ = 0 lim 0 Nên x f x ff x∆ → +∆ − = = ∆0 (0 ) (0) '(0) lim 0 . Vậy hs khả vi tại x = 0.
Chú ý: + Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục tại điểm x thì : x y ∆ → ∆ = 0 lim 0 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải + Một hàm kh vi ti mt đim thì liên tc ti đim đó vì: x x x x y y dyy x x x x dx∆ → ∆ → ∆ → ∆ →  ∆ ∆   ∆ = ⋅∆ = ∆ = ⋅ =   ∆ ∆ 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 0 . + Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà không khả vi tại điểm đó. + Một hàm số không liên tc tại x0 thì sẽ không khả vi tại điểm đó. 2. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC 1. d c dx = 0 2. d duu u dx dx α αα −= 1 3. u ud dua a a dx dx = ln 4. d duu dx u dx = 1ln . 5. d duu u dx dx =sin cos . 6. d duu dx u dx = 2 1tan . cos 7. d duu u dx dx =−cos sin . 8. d du dvu v dx dx dx + = +( ) 9. d du dvuv v u dx dx dx = +( ) 10. d u u v v u dx v v − = 2 ' ' 11. dy dy du dx du dx = . (Quy tắc dây chuyền hay đạo hàm hàm hợp). Ví dụ 5. Tính y’ của hàm số a. y x= + +1 1 . b. ( )y x =  ln sin ln Giải: a. y =' + KQ: x x x+ + +2 22 1 . 1 1 . b. y =' Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải + KQ: ( )x x cot ln 2.2. Hàm ẩn và đạo hàm hàm ẩn a. Hàm ẩn Hầu hết các hàm ta gặp có dạng y f x= ( ) , trong đó y biểu diễn trực tiếp (hoặc tường minh) theo x. Ngoài ra y thường định nghĩa là hàm của x bằng phương trình F x y =( , ) 0 (1), không giải được đối với y, nhưng trong đó x và y có liên quan với nhau. Khi đó, ta nói phương trình (1) xác định y như là một (hoặc nhiều) hàm ẩn của x. Ví dụ 6. + P/trình xy =1 xác định một hàm ẩn của x mà ta có thể viết một cách tường minh là y x = 1 . + P/trình 2x2 - 2xy = 5 - y2 xác định hai hàm ẩn: y x x và y x x= + − = − −2 25 5 . b. Đạo hàm của hàm ẩn : Ví dụ 7 (i) Xét p/trình xy =1. Lấy đạo hàm hai vế theo x : dy x y dx + = 0 hoặc dy y dx x =− + Từ phương trình ta có y x = 1 nên: dy y y dx x x x x x =− =− =− ⋅ =− 2 1 1 1 1 . + Nếu đạo hàm trực tiếp y x = 1 , cũng có dy dx x =− 2 1 . (ii) Từ phương trình x2 + y2 = 25 đạo hàm 2 vế ta có : dy dy x xdx y dx dx y + = ⇔ =−2 2 0 . 2.3. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược 1. Đ nh nghĩa : Cho hàm số : f X Y x y f x → → = : ( ) Nếu tương ứng ngược : Y X→ sao cho y x y f x→ =| ( ) cũng là một hàm số thì ta nói rằng hàm số y f x= ( ) có hàm số ngược f Y X y x f y − − → → = 1 1 : ( ) Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Có hàm số ngược f x−1( ) Không có hàm số ngược 2. Công thc hàm s ng
c : Xét hàm số : f X Y x y f x→ → =: , ( ) Xét phương trình ẩn x : f x y=( ) (*) Nếu với mỗi y Y∈ phương trình (*) có duy nhất một nghiệm x X∈ thì hàm số y f x= ( ) có hàm số ngược: f Y X y x f y − − → → = 1 1 : ( ) trong đó x f y−= 1( ) chính là công thức nghiệm duy nhất của phương trình (*). 3 Điều kiện tồn tại hàm số ngược a. Khái niệm : Hàm số y f x= ( ) được gọi là hàm một – một nếu với x x≠1 2 thì ta có f x f x≠1 2( ) ( ) . Không là hàm 1-1 b. Điều kiện : Nếu y f x= ( ) là hàm một - một có TXĐ là X và MGT là Y . Khi đó tồn tại hàm ngược f −1 với TXĐ là Y và MGT là X , hơn nữa y f x x f y−= ⇔ = 1( ) ( ) . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Chú ý : : + Nếu y f x= ( ) có hàm ngược f −1 thì + ( )f f x x x X− = ∀ ∈1 ( ) , . + ( )f f y y y Y− = ∀ ∈1( ) , c. Đồ thị : Nếu y f x= ( ) có hàm số ngược y f x−= 1( ) thì đồ thị của hai hàm số đó sẽ đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất y x= . 4. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp a) Hàm số: f x y f x x + +→ = = : ( )    có hàm số ngược là y x= 2 . b) Hàm số ngược của hàm y x= sin : Nếu xét hàm số : [ ] [ ] x y x pi pi− → − → = sin : / 2, / 2 1,1 sin Khi đó tồn tại hàm số ngược : [ ] [ ] y x y pi pi− − − → − → = 1 1 sin : 1,1 / 2, / 2 sin Ký hiệu khác : x x− =1sin arcsin .  Chú ý : a b b−= =1sin arcsin chính là số đo góc mà a b=sin .  Ví dụ 8: pi pi −= ⇔ = =11 1 1sin sin arcsin 6 2 6 2 2 . c) Hàm ngược của hàm cosine : Tương tự, nếu xét [ ] [ ] x y x pi → − → = cos : 0, 1,1 cos Khi đó sẽ tồn tại hàm ngược : y x−= 1cos . d. Hàm ngược của hàm tang Xét hàm số : Hình 9.19 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải x y x pi pi − → −∞ ∞   → = tan : , ( , ) 2 2 tan khi đó tồn tại hàm số ngược pi pi−  −∞ +∞ → −    1tan : ( , ) , 2 2 Chú ý : a b−= 1tan chính là số đo của góc mà a b=tan . Đồ thị của hàm y = tg – 1x là đường đậm nét ở hình 9.19. e. Hàm ngược của hàm cotang : Khi xét ( ) x y x pi → −∞ ∞ → = cotan : 0, ( , ) cot Tương tự: Hàm ( )y x x−= = 1arccot cot ( ) 5. Đạo hàm hàm ngược a. Định lý : Cho hàm y f x= ( ) là hàm liên tục, một – một trên khoảng a b( , ) . Khi đó tồn tại hàm ngược x f y−= 1( ) xác định trong lân cận của y0 với y f x=0 0( ) . Giả sử y f x= ( ) có đạo hàm tại x0 và f x ≠0( ) 0 , thì hàm ngược x f y−= 1( ) sẽ có đạo hàm tại y0 và ( ) f y f x −  =   '1 0 0 1( ) ' . Ví dụ 9: Hàm số y f x x= =( ) có hàm ngược x f y y−= =1 2( ) Ta có : f x x x = ∀ > 1 '( ) , 0 2 ; f y y x x f x x −  = = = = ∀ >   '1 1 1( ) 2 2 , 01 '( ) 2 . b. Đạo hàm hàm lượng giác ngược Cho u là hàm khả vi của x, ta có : d du u dx dxu − = − 1 2