Bài giảng toán 3 Nhập môn đại số tuyến tính

Bài Giảng Toán 3NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tuần 2: MA TRẬN Khái niệm ma trận Các phép toán ma trận và tính chất Ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Các câu lệnh trong Matlab ứng dụng vào bài học 1. Khái niệm ma trận Một bảng số gồm mn số thực được xếp thành m hàng và n cột được gọi là một ma trận mn: . Dùng những chữ cái A, B, C,...để đặt tên cho ma trận. aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j. Với ma trận A, ký hiệu phần tử nằm ở hàng i và cột j là (A)ij hoặc A(i, j). Là cột thứ j 2. Các phép toán ma trận >> A=[3 4; 1 2] A = 3 4 1 2 >> >> B=[1 2; 4 5; 3 6] B = 1 2 4 5 3 6 >> A*B ??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. >> B*A ans = 5 8 17 26 15 24 Lấy hàng 1 của M nhân cột 1 của N ta có chi phí nguyên liệu thô trong mùa hè là 1870 $. 2. Ma trận nghịch đảo Vì >> A=[1 2;3 4] A = 1 2 3 4 >> B=[5 6; 7 8] B = 5 6 7 8 >> inv(B)*inv(A) ans = 12.5000 -5.5000 -10.7500 4.7500 >> inv(A*B) ans = 12.5000 -5.5000 -10.7500 4.7500 >> inv(A)*inv(B) ans = 11.5000 -8.5000 -7.7500 5.7500 2) Giả sử tồn tại x khác vectơ không sao cho Ax = 0. Khi đó A không khả nghịch >> A=[1 2; 1 2] A = 1 2 1 2 >> inv(A) Warning: Matrix is singular to working precision. ans = Inf Inf Inf Inf 3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng pp Gauss-Jordan Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận >> A=[1 1 1; 0 1 1; 0 0 1] A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 >> inv(A) ans = 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 4. Phép khử dùng ma trận Định nghĩa Ma trận khử (ma trận sơ cấp) Eij là ma trận mà ta thay vị trí hàng i cột j của ma trận đơn vị bằng một số -l nào đó. Ví dụ: là một ma trận khử Ma trận hoán vị Pij là ma trận mà ta đổi vị trí của hai hàng i và j của ma trận đơn vị. Ví dụ: là một ma trận hoán vị. Đổi chỗ hàng 1 và hàng 2 của ma trận đơn vị Thay -2 vào vị trí (2,1) của ma trận đơn vị có được bằng cách đổi chỗ h2 và h3 của ma trận đơn vị Ví dụ 2 5. Ma trận chuyển vị Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn. Ma trận chuyển vị của A được ký hiệu là AT, là ma trận có cột thứ j là hàng thứ j của ma trận A. (j = 1, 2, …m) >> A=[2 3; 3 4; 4 5] A = 2 3 3 4 4 5 >> B=[2 1; 1 0] B = 2 1 1 0 >> (A*B)' ans = 7 10 13 2 3 4 >> B'*A' ans = 7 10 13 2 3 4 >> A'*B' ??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. Định nghĩa: Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu A = AT. Ví dụ: Hai ma trận sau là hai ma trận đối xứng Nhận xét: Ma trận A là đối xứng khi và chỉ khi nó là ma trận vuông và (A)ij =(AT)ji với mọi i, j 6. Một số câu lệnh trong Matlab ứng dụng vào bài học Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: inv(A) Giải hệ phương trình có dạng ma trận A.x = b x = inv(A) * b Hoặc x = A\b Tìm ma trận chuyển vị của ma trận A A’ Tổng, hiệu, tích của hai ma trận A+B; A-B; A*B >> A=[1 0; 2 3] A = 1 0 2 3 >> b=[1;5] b = 1 5 >> inv(A) ans = 1.0000 0 -0.6667 0.3333 >> A\b ans = 1 1 >> A' ans = 1 2 0 3 Tổng kết các ý chính trong tuần 2 1. Khái niệm ma trận, các phép toán ma trận và tính chất. 2. Ma trận nghịch đảo. Phương pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo. 3. Ma trận khử, ma trận hoán vị. 4. Ma trận chuyển vị.