Bài giảng Toán B1 - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2015 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nội dung 1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu. 1.2. Ma trận vuông. 1.3. Các phép toán ma trận. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa Một ma trận loại m× n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu aij là hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A (hệ số này còn được ký hiệu là Aij). Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận loại m× n trên R. Ví dụ A = ( 1 2 3 0 1 2 ) ∈ M2×3(R); B = 1 20 1 2 3  ∈ M3×2(R). Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ma trận có các hệ số bằng 0, được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Ví dụ 03×4 = 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0  Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa Ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n× n, (số dòng bằng số cột). Ký hiệu Mn(R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n. Ví dụ A ∈ M3(R) = 1 2 34 5 6 7 8 9 , 03×3 = 0 0 00 0 0 0 0 0  Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A = (aij) ∈ Mn×n(R) thì đường chứa các phần tử a11, a22, ..., ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A. A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann  Ví dụ A = 1 2 34 5 6 7 8 9  Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa Một ma trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả các hệ số nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Nếu A là một ma trận chéo cấp n, ta ký hiệu A = diag(a11, a22, ..., ann). Ví dụ A = diag(1, 5, 9) = 1 0 00 5 0 0 0 9  Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In hay I, là ma trận chéo cấp n mà tất cả các hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Ví dụ I3 = 1 0 00 1 0 0 0 1  Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa Ma trận tam giác trên (tương ứng ma trận tam giác dưới) là một ma trận vuông mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (tương ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy, • A = (aij)n×n là ma trận tam giác trên khi và chỉ khi aij = 0,∀1 ≤ j < i ≤ n. • B = (bij)n×n là ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi bij = 0,∀1 ≤ i < j ≤ n. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.2. Ma trận vuông Nhận xét Ma trận vuông A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi A vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới. Ví dụ A = 1 2 30 5 6 0 0 9 , B = 1 0 04 5 0 7 8 9  Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Định nghĩa (so sánh hai ma trận) Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)m×n và B = (bij)m×n. Ta nói A bằng B, ký hiệu A = B, nếu aij = bij,∀i ∈ 1,m, j ∈ 1,n. Ví dụ Tìm x, y, z để ( x + 1 1 2x− 1 z ) = ( 3y− 4 1 y− 1 2z + 2 ) Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Định nghĩa (phép lấy chuyển vị) Cho A = (aij) là một ma trận loại m× n. Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT, là ma trận loại n×m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là nếu A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  thì AT =  a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 . . . . . . . . . . . . a1n a2n . . . amn . Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Nếu AT = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Tính chất Cho A,B ∈ Mm×n(R). Khi đó • (AT)T = A; • AT = BT ⇔ A = B. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Ví dụ Với A =  1 −1 4 56 −8 0 1 0 4 −3 6  ta có AT =  1 6 0 −1 −8 4 4 0 −3 5 1 6  B =  1 2 −22 4 5 −2 5 6  là ma trận đối xứng. C =  0 −2 12 0 −3 −1 3 0  là ma trận phản xứng. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Định nghĩa (Phép nhân vô hướng với ma trận) Cho ma trận A = (aij) và số thực α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là αA = (αaij) Ma trận (−1)A được ký hiệu là −A, được gọi là ma trận đối của A. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Ví dụ Cho A = ( 3 4 1 0 1 −3 ) , ta có 2A = ( 6 8 2 0 2 −6 ) , −A = ( −3 −4 −1 0 −1 3 ) . Tính chất Với A = (aij) và α, β ∈ R, ta có • (αβ)A = α(βA); • (αA)T = αAT; • 0.A = 0 và 1.A = A. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Định nghĩa (Phép cộng ma trận) Cho A,B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B, là ma trận được xác định bởi: A + B = (aij + bij)m×n. Ký hiệu A− B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ Cho A = ( 3 4 1 0 1 −3 ) , B = ( 2 3 0 1 2 −3 ) Tính A + B và A− B. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Tính chất Với A,B,C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i. A + B = B + A; ii. (A + B) + C = A + (B + C); iii. 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv. A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v. (A + B)T = AT + BT; vi. α(A + B) = αA + αB; vii. (α+ β)A = αA + βA; viii. (−α)A = α(−A) = −(αA). Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Định nghĩa (phép nhân ma trận) Cho hai ma trận A = (aij) loại m× n và B = (bij) loại n× p. Ta định nghĩa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB, là ma trận định bởi: • AB có loại m× p. • AB có hệ số ở dòng i, cột j được tính bởi công thức (AB)ij = n∑ k=1 aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Ví dụ Với A = ( 1 2 −1 3 1 2 ) , B =  1 32 1 3 −1 , tìm tích AB =? AB = ( 2 6 11 8 ) Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n(R), B,B1,B2 ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có • ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. • 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A = Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. • (AB)T = BTAT. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận • Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nghĩa là (AB)C = A(BC). • Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng , nghĩa là A(B1 + B2) = AB1 + AB2; (D1 + D2)A = D1A + D2A. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận 1.3. Các phép toán ma trận Chú ý 1. Phép nhân ma trận không có tính giao hoán, nghĩa là thông thường ta có AB 6= BA. 2. Nhiều tính chất quen thuộc của phép nhân giữa các số thực không còn đúng đối với phép nhân ma trận, chẳng hạn: Với A = ( 0 1 0 0 ) ; B = ( 0 1 0 0 ) ; C = 0 = ( 0 0 0 0 ) ta có A2 = 0; AB = AC, nhưng A,B đều khác 0 và B 6= C. Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Bài giản