Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Toán cho tài chính - Nguyễn Văn Tiến

14/09/2017 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến TOÁN CHO TÀI CHÍNH CHƯƠNG 1 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự nhiên khác 0. • Ta thường ký hiệu dãy số là (un). • un gọi là số hạng thứ n của dãy.   *:u N R n u n   2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Cho dãy số: • Ta có: • Hỏi: • Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?   1 2 1 n u n n    1 2 3 1 4 2; 1; ;... 2. 1 5 1 1 u u u       100 999 9999999 ? ? ?u u u   3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • 10 giá trị đầu của dãy: n un 1 2 2 1 3 0.8 4 0.714285714 5 0.666666667 6 0.636363636 7 0.615384615 8 0.6 9 0.588235294 10 0.578947368 • Các giá trị tiếp theo: n un 100 0.507537688 101 0.507462687 9999 0.500075011 10000 0.500075004 10000000 0.500000075 100000000 0.500000008 1000000000 0.50000000110^9 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Nhận xét: • Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5. • Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5 càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10- 9). • Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn. • Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.   1 2 1 n u n n    5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa giới hạn dãy số • Dãy số (un) có giới hạn là a nếu: • Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. • Ký hiệu: 0 0 0 .0, : n nn u an        lim lim n n nn n u a hay u a hay u a      nhỏ tùy ý Chênh lệchn đủ lớn 6 14/09/2017 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Chứng minh: • Bước 1. Lấy >0 • Bước 2. Lập hiệu: • Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có) 1 1 lim 0,5 2 1 2n n n     n u a n u a   7 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa và kết luận. • Giải. • Với mọi >0. Ta có:  n n u a n n n n                       1 1 3 2 1 2 2 2 1 3 3 1 2 1 2 4 2 8 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Chọn • Ta có: Vậy theo định nghĩa: 0 3 1 2 2 n         0 0 3 1 1 0, : 2 2 2n n n n u                 1 lim 2nn u   9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ quả • Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu: • Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0 để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn . • Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a không thể nhỏ tùy ý. 1 0 1 0 0, 0 : à . n n n n v u a         10 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giới hạn vô cực của dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi: • (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ lớn. • Ký hiệu: 0 0 0, 0 : . n A n n n u A       lim nn u   11 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giới hạn vô cực của dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi: • (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ lớn. • Ký hiệu: 0 0 0, 0 : . n A n n n u A       lim nn u    12 14/09/2017 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất • 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. • 2. Cho tồn tại hữu hạn. Khi đó:lim ; lim n nn n u v                        ) lim lim lim ) lim . lim . lim lim ) lim , lim 0 lim ) lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n nn n n nn n nn n a u v u v b u v u v uu c v v v d u u                          13 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất • Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa: • Nếu:   lim ) lim lim , lim 0 ) lim 0 lim 0 n n n vv n n nn n n n nn n e u u u f u u             0n n nu v z n n   lim lim n nn n u z a     lim nn v a  thì 14 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Minh họa  0n n nu v z n n   a 15 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm giới hạn dãy số: • Ta có: • Vậy: 2 sin 5 ) ) 1 n n n n n a u b v n n    2 2 sin 1 0 0 1 1n n u n n       lim 0 lim 0 n nn n u u      16 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cấp số nhân • Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện: • • với q không đổi. • q được gọi là công bội của cấp số nhân. • |q|<1cấp số nhân lùi vô hạn. 1 , 1,2,3... n nx x q n    17 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cấp số nhân • Ta có: • Khi |q|<1 thì . 1 1 1 1 2 (1 ) 1 n n n n n x x q x q S x x x q         1lim 1 n n x S q   18 14/09/2017 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chuỗi số • Cho {an} là một dãy số vô hạn. • Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số: • Ký hiệu chuỗi số: 1 2 ... .....na a a    1 n n a    19 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chuỗi số • Tổng riêng thứ n của dãy: • Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi số (a1+a2+a3+) là hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi số, ký hiệu. • Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phân kỳ. 1 2 ...n nS a a a    1 i i S a    20 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Cho dãy số: • Ta có chuỗi số: • Tổng riêng thứ n: • Do nên chuỗi hội tụ và có tổng bằng 1 1 2 n n a  1 2 0 1 1 ... 1 ... 2 4 n n a a a          1 1 1 1 ... 1 2 4 2 2 n n n S             lim 1n n S   21 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Xét chuỗi số có dạng • Đây là tổng của cấp số nhân có công bội q • Tổng riêng thứ n: 2 3 0 1 ... ...n n n q q q q q           1 1 1 ... 1 1 n n n q S q q q q         22 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Nếu |q|<1 thì chuỗi hội tụ và: • Nếu |q|>1 thì chuỗi số phân kỳ • Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ • Nếu q=-1 thì Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân kỳ 1 1 S q   0 1n n chan S n le    23 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến LÃI ĐƠN, LÃI GỘP 24 14/09/2017 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi suất • Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong thời gian đó. • Ví dụ. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu được 112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhà đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là 12%/năm. ã ấ = ã ộ đơ ị ờ ố ố ờ đó . % 25 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi đơn • Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời hạn vay. Nói khác đi, số lãi tính theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn. Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãi không sinh lợi. • Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính ngắn han. • Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương lai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư. Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thu được. 26 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức tính lãi đơn • V0 là vốn gốc • Vn là giá trị cuối tính đến thời điểm n • i là lãi suất • Lãi thu về:  0 1 .nV V n i  0. .I V n i 27 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xác định giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6 tháng? • b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời 118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tư bao lâu? • c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6 tháng (tính theo lãi đơn)? 28 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm n không đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi để chúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng công thức. • Ví dụ. • a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng thu được tổng số tiền là 105,6 triệu. Hỏi lãi suất đầu tư là bao nhiêu? • b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau một thời gian rút hết ra thu được 106 triệu. Hỏi thời gian đầu tư mất bao lâu? 29 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi suất ngang giá (tương đương) • Hai lãi suất i và ik tương ứng với 2 chu kỳ khác nhau được gọi là tương đương nhau khi cùng một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãi như nhau (giá trị đạt được bằng nhau). • Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và ik (chu kỳ 1/k của năm)    0 01 . 1 . . .n k k k i V V i n V i n k i i k i k         30 14/09/2017 6 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ví dụ. Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi suất 12%/năm theo phương thức lãi đơn. Kết thúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là: • Theo lãi suất hàng tháng: • Theo lãi suất hàng năm:  20. 1 9.1% 21,8nV    9 20. 1 .12% 21,8 12 nV         = 12 = 1% 31 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tỷ suất lợi tức bình quân • Tỷ suất lợi tức bình quân trong lãi đơn được tính theo phương pháp bình quân có trọng số. • Trong đó: • ij là các mức lãi suất khác nhau trong các khoảng thời gian nj khác nhau. 1 1 . k j j j k j j n i i n      32 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu đồng với lãi suất thay đổi như sau: 8%/năm trong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếp theo và 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng. • Tính: • a) Lãi suất trung bình của số vốn vay. • b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đáo hạn 33 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép • Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãi kép. • Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn. 34 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép • Công thức cơ bản: • Trong đó: – i: mức lãi suất – V0: vốn gốc – n: thời gian đầu tư (tương ứng với i) – Vn: giá trị đạt được sau đầu tư  0 1 n nV V i  35 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ quả • Vốn đầu tư ban đầu: • Thời gian đầu tư: • Lãi suất đầu tư:    0 01 1 n n n nV V i V V i             0 0 log / 1 log 1 n n n V V V V i n i       0 0 1 1 n n nn V V V i i V      36 14/09/2017 7 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm. Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu? • b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi thời gian đầu tư là bao lâu? • c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là 214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu? 37 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi suất ngang giá (tương đương) • Hai lãi suất i và ik tương ứng với hai chu kỳ khác nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được). • Giả sử lãi suất i tính theo năm, lãi suất ik tương ứng với chu kỳ 1/k của năm (1 quý, 6 tháng ) là tương đương nhau thì:           0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 k nk nkn n k n k k k k i i V V i V i i i i i                  38 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 6%/6 tháng. Ông B cũng gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12,36%/năm. Hãy tính số tiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1 năm gửi. Cho nhận xét. • Giải • Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng và 12,36%/1 năm là tương đương nhau.     2 100 1 0,06 100 12,36 100 1 0,1236 100 12,36 A B I I         39 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi suất bình quân trong lãi kép. • Ví dụ. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi kép với lãi suất lũy tiến. • 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên; • 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo; • 11%/năm trong vòng 4 năm cuối. • a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu? • b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu? 40 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi suất bình quân trong lãi kép. Ta có: Với là tổng thời gian đầu tư. ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk.      1 21 21 1 ... 1 knn nn ki i i i    = + +. . . +      1 21 21 1 ... 1 1 knn nn ki i i i     41 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến So sánh lãi đơn và lãi kép. • Lãi đơn: Lãi kép: • Ta có:  0 1 .nV V n i   0 1 n nV V i  ) ) = 1 ⇒ = ) > 1 ⇒ < ã đơ ã kép 10 42 14/09/2017 8 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến So sánh lãi đơn và lãi kép. • Ví dụ. Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực 12%/năm. Hãy tính : a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm. b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm c) Vẽ đồ thị của các lãi suất. 43 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép liên tục • Ví dụ. Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất 8%/năm, tính theo lãi kép. Hãy tính lãi thu được nếu ghép lãi theo: • a) Năm b) Nửa năm • c) Quý d)Tháng 44 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép liên tục • Đáp số: • Nhận xét. 45                   5 0 10 0 20 0 20 0 ) 1 1000. 1 0,08 1.469,33 $ 0,08 ) 1 1000. 1 1.480,24 $ 2 0,08 ) 1 1000. 1 1.485,95 $ 4 0,08 ) 1 1000. 1 1.485,95 $ 4 n n n n n n n n a V V i b V V i c V V i d V V i                                    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép liên tục • Tính lãi không kỳ hạn • Nếu số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạn thì: 46   .i/i 0 1 lim lim 1 ??? / i n t n t t V V t                   .. . / . / 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 / / n i n t n t r r t i n n i V V i V V V t t i t i                             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép liên tục • Ta có: • Trong ví dụ trên nếu tính lãi liên tục thì: 47   .i/i .i 0 0 1 lim lim 1 . / i n t n n t t V V V e t               . 5.0,08 0 1000. 1.491,8247 $ n i nV V e e   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ví dụ 1. Tính giá trị tương lai của số tiền 5000$ đầu tư 2 năm với mức lãi suất 8%/năm theo phương thức lãi kép và thời gian ghép lãi: a) Theo ngày b) Liên tục • Đáp số: a) 5.867,45 ($) b) 5.867,55 ($) • Ví dụ 2. Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếc xe hơi sau 5 năm. Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãi suất hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gian ghép lãi: a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục • Đáp số: a) 4.882,17 b) 4.852,25 48 14/09/2017 9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị thời gian của tiền tệ • Giá trị hiện tại PV • Giá trị tương lai FV • Giá trị hiện tại ròng NPV • Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ IRR 49 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền • Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại một thời điểm nhất định trong tương lai của một khoản đầu tư ở hiện tại với một mức lãi suất cho trước. • Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi về thời điểm hiện tại của dòng tiền tệ tương lai. 50 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của tiền tệ 1.Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn 2.Giá trị tương lai của dòng tiền 2.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều 2.2. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều 51 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của khoản tiền đơn • Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn (khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền này ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó sinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại cho đến một thời điểm trong tương lai. i 52 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của khoản tiền đơn • Tính theo lãi đơn • Tính theo lãi kép  1 .FV PV i n   1 n FV PV i  53 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị hiện tại của khoản tiền đơn • Tính theo lãi đơn • Tính theo lãi kép  1 . FV PV i n    1 n FV PV i   54 14/09/2017 10 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm 5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngày đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền vào đại học. Lãi suất hàng năm là 6%. Vậy số tiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đại học là bao nhiêu? (tính theo lãi kép) • Đ/S:     18 5.000.000 1 6% 14.271.6951 n FV PV i   55 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một người muốn để dành tiền cho tuổi già bằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất ngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền ở thời điểm hiện tại, để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ? (tính theo lãi kép)     20 20.000.000 1.736.000 1 1 0,13 n FV PV i      56 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến NGUYÊN TẮC 72 Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, thì kết quả là một ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con số ban đầu tăng gấp đôi. 72/6 = 12 khoảng 2028 thì thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam sẽ đạt 4.430 đô-la (từ mức 2.215 đô-la hiện nay). 72 chia cho 8 được 9.  sẽ mất 9 năm để tăng gấp đôi số tiền của bạn với lãi suất hằng năm là 8%. 57 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dòng tiền (chuỗi tiền tệ) • Dòng tiền tệ (gọi tắt là dòng tiền) là một chuỗi các khoản tiền (thu nhập hoặc chi trả) xảy ra qua một số thời kỳ nhất định • Phân loại: • - Dòng tiền đều • - Dòng tiền không đều 58 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dòng tiền đều • Khái niệm. Dòng tiền đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền bằng nhau được phân bố đều đặn theo thời gian. 3 loại dòng tiền đều : • Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy ra vào cuối kỳ • Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu kỳ • Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ và không bao giờ chấm dứt 59 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dòng tiền không đều Dòng tiền không đều (mixed cash flows) Dòng tiền không đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền không bằng nhau phát sinh qua một số thời kỳ nhất định. 60 14/09/2017 11 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của dòng tiền • Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n năm. 61 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của dòng tiền • Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n năm. • FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai của dòng tiền thông thường • FVAD : Giá trị tương lai của dòng tiền đầu kỳ • CF (Cash Flow) : Dòng tiền (các khoản tiền cấu thành) • i : lãi suất yêu cầu • n: kỳ hạn (thường là năm) 62 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dòng tiền đều • Trường hợp cuối kỳ  1CF i   11 nCF i    2 1 n CF i     3 1 n CF i    1 1 n i FVA CF i          63 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USD