Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hàm nhiều biến - Nguyễn Văn Tiến

27/09/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm hai biến • Định nghĩa: Cho không gian: • Ánh xạ: • Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D • Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z • x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc     : , , f D R x y z f x y     2 2, : ,R x y x y R va D R   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tập xác định hàm hai biến • Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực. • Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:       2) , ) , ln 2 1 a f x y y x b f x y x y      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. • Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x. • Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x. • Ký hiệu: • Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y ' x z z hay x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. • Các đạo hàm riêng của z theo x,y: • Lấy đạo hàm riêng theo từng biến là đạo hàm của hàm một biến khi xem các biến còn lại như hằng số.             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , ' lim , , , ' lim x x x y y y f x y f x y f x yz z x x x x f x y f x y f x yz z y y y y                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số • Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số) • Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) 3 2 43z x xy y   3' 6 4 y z xy y  2 2' 3 3 x z x y  27/09/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa đạo hàm riêng Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân hàm nhiều biến • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng z’x; z’y • Khi đó biểu thức: • Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến đã cho. • Ý nghĩa: ' 'x ydz z dx z dy  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần • Ta có: • Ví dụ. Tính gần đúng:                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ' , ' , , , , x yf x y f x y f x y x x f x y y y f x y f x y df x y        3 31,02 1,97A   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số • Có vi phân toàn phần là 3 2z x y xy      23 2dz x y dx x y dy    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm hợp • Giả sử z=f(x,y) và x,y lại là các hàm theo biến t • Trong đó: x=x(t) và y=y(t) • Ta có: • Ví dụ. Tính dz/dt biết dz dz dx dz dy dt dx dt dy dt   2 3 ; cos ; sinx yz e x t y t   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm hợp • Giả sử z=f(x,y) và x,y lại là các hàm theo biến s, t • Trong đó: x=x(s,t) và y=y(s,t) • Ta có: • Ví dụ. Tính dz/ds và dz/dt biết ; dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy ds dx ds dy ds dt dx dt dy dt      , ; . ; s z f x y x s t y t    27/09/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm hợp • Cho: z=f(x,y,t) biết x=x(t) và y=y(t) • Tìm dz/dt=??? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm ẩn • Cho phương trình F(x,y)=0 • Nếu với mỗi giá trị của x ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị của y thỏa mãn phương trình trên thì F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y theo x. • Kí hiệu: y = , ∈ (; ) • Nếu giải được phương trình F(x,y)=0 để có thể biểu diễn y theo x bằng biểu thức thì ta có thể đưa y về dạng hàm tường minh. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho phương trình: • Giải phương trình này ta có được hàm của y theo x: • Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y theo x trong R.   3, 1 0F x y x y    3 1y x  3 1y x  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho phương trình: • Với mỗi giá trị của x ta có: • Ta nói phương trình x2+y2-1=0 không xác định hàm ẩn nào của y theo x.   2 2, 1 0F x y x y    21y x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ẩn • Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y)=0. Ta có: ' ' x y Fdy dx F   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình: • Đ/S:  2 22 1 0 0x y y    2 'x x y y   27/09/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ẩn • Giả sử z=f(x,y) là hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y,z)=0. Ta có: '' ' ' yx z z FFdz dz dx F dy F     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng z’x; z’y • Đây là các đạo hàm riêng cấp 1 • Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi là đạo hàm riêng cấp 2 • Các đạo hàm riêng cấp 2         2 2 '' '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' ' ' ' xx xyx x y yx yy yx y x x y y z z z z z z z z z z       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 • Các đạo hàm riêng cấp 2 còn được ký hiệu lần lượt là: • Ví dụ: Các đạo hàm riêng của: 2 2 2 2 2 2 ; ; ; z z z z x x y y x y           3 2z x y xy   2' 3 ' 2 " 6 " 1 " 1 " 2 x y xx xy yy z x y z y x z x z z z          yx Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 • Bài tập: Tính các đhr cấp 2 của hàm số: ) ) ) lny xy x a z x b z e c z y          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn • Trường hợp F(x,y)=0 và y=y(x) • Ta có: • Từ đây ta rút ra y”.     , 0 ' ' . ' 0 " " . ' " ".y' . ' ' . " 0yx x y xx xy yy y F x y F F y F F y F F y F y         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp 2 • Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z=f(x,y) là biểu thức có dạng: • Chú ý: 2 2 2 2 2" 2 " "xyx yd z z dx z dxdy z dy       2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' " " " " " 2 " " x y xx xy yx yy xyx y d z d dz d z dx z dy d z z dx z dxdy z dydx z dy d z z dx z dxdy z dy           27/09/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • VD1. Vi phân cấp 2 của hàm số: • là • VD2. Tính vi phân cấp 2 của hàm số:     2 2 2 3 3 2 2 ) ln ) ) z sin a z x y b z xy x y c x y       3 2z x y xy   2 2 26 2 2d z xdx dxdy dy   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm nhiều biến • Điểm dừng (critical point) • Ma trận Hessian • Cực trị hàm hai biến • Cực trị hàm ba biến • Cực trị có điều kiện (ràng buộc) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Fermat • Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị địa phương tại điểm (x0;y0) và có các đạo hàm riêng tại (x0;y0) thì: • Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 gọi là các điểm dừng của hàm số.    0 0 0 0' ; 0 ' ; 0x yf x y f x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điểm dừng • Nếu hàm số f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm thì • Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng. • Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. 1 2( , ,...., )nM x x x D 1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n i f x x x i n x      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận Hess • Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,,xn) có đạo hàm riêng cấp 2. Khi đó, ma trận vuông cấp n gọi là ma trận Hess của hàm số. Nếu hàm số f(x1,x2,,xn) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì ma trận Hess là ma trận đối xứng. 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f H f f f                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ma trận Hess của hàm 3 biến • là ma trận 2 4 5 2 3 5 2 4 4 2 3 5 3 2 5 3 3 4 2 4 4 3 3 4 3 4 3 6 12 15 12 12 20 15 20 20 x y z x y z x y z H x y z x y z x y z x y z x y z x y z            3 4 5( , , )f x y z x y z 27/09/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm 2 biến • Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục xung quanh M0(x0, y0) và điểm M0(x0, y0) là điểm dừng của hàm số. • Ta đặt: • Chú ý: Δ là gì? 2 2 0 0 0 02 2 2 0 02 ( ; y ) B ( ; y ) ( ;y ) f f A x x x x y A Bf C x AC B B Cy               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm 2 biến • i) Nếu A>0, ∆>0 thì M0 là điểm cực tiểu • ii) Nếu A0 thì M0 là điểm cực đại • iii) Nếu ∆<0 thì M0 không là điểm cực trị • iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các bước tìm cực trị hàm 2 biến • 1. Tìm tập xác định • 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 • 3. Giải hệ pt tìm điểm dừng • 4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng • 5. Xét dấu định thức cấp 2 • 6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có) ' 0 ' 0 x y z z    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số • Đ/S: cực tiểu tại M(1;1) 3 3( , ) 3f x y x y xy   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Khảo sát cực trị của các hàm số: • Đáp số: • A) Cực tiểu tại (-1;-1) và (1;1). Tại (0;0) ko đạt cực trị • B) Cực tiểu tại (2;1); Cực đại tại (-2;-1) • Không đạt cực trị tại (-1;-2) và (1;2) 4 4 2 2 3 2 ) 2 ) 3 15 12 a z x y x xy y b z x xy x y          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm nhiều biến • Tương tự như hàm hai biến • Xét dấu các định thức con chính của ma trận Hess • +, +, +, , +: cực tiểu • +, -, +, - : cực đại • Trường hợp khác 27/09/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điều kiện đủ để có cực trị • Ma trận Hess: • Xét các định thức con chính: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a H a a a                    11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 211 12 1 11 2 21 2 1 2 1 2 , , , , , k n k n k n k k kk n n nn a a a a a a a a a a a aa a D a D D D a a a a a a a a                     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn xét cực trị • i) Nếu D1>0, D2>0, , Dn>0 thì M là điểm cực tiểu của hàm số • ii) Nếu D10, , (-1) n Dn>0 thì M là điểm cực đại của hàm số • iii) Nếu Di≥0 (hay (-1) i Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phương của hàm số tại. • iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải là điểm cực trị. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số • Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2) 3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập • Tìm cực trị của hàm số: 4 4 2 2 5 5 2 2 3 3 ) 2 ) 5 8 ) ) 3 6 ) 6 a z x y x xy y b z xy x y x c z y d z x xy y x y x y e z x y xy                    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN • Khái niệm • Điều kiện cần • Điều kiện đủ • Trường hợp đặc biệt Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị có điều kiện • Xét hàm số z=f(x,y) với điều kiện ϕ(x,y)=0 • Hàm số đạt cực đại tại (x0;y0) với điều kiện (*) nếu (x0;y0) thỏa (*) và với mọi điểm (x,y) thỏa (*) khá gần (x0;y0) ta có: • Hàm số đạt cực tiểu có điều kiện??? • Hàm số đạt cực trị có điều kiện???    0 0; ;f x y f x y 27/09/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số: • Với điều kiện: • Cách 1. Đưa về cực trị hàm một biến • Cách 2. Dùng nhân tử Lagrange  , 2f x y xy x  8 4 120x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK cần • Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0 • Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho: • Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. • Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 f x y x y x x f x y x y y y x y                      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK cần • Ta viết lại phương trình đã cho dạng: • Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) • Giải phương trình ta có λ, x0,y0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 L x y x L x y y L x y          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK đủ • Ta xét giá trị của định thức • Hoặc • Tại các điểm dừng tìm được xx xy x yx yy y x y L L L D L L L L L L               0x y x y x xx xy x xx xy y yx yy y yx yy L L L D L L L L L L L L L L                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK đủ • Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm số. • Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số. • Nếu D=0 thì chưa có kết luận gì về điểm M(x0;y0) đang xét. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Sử dụng dấu vi phân cấp 2 • Xét vi phân cấp 2: • Trong đó dx, dy thỏa mãn: • Nếu d2L>0 với mọi giá trị có thể có của dx, dy z=f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện • Nếu d2L<0 thì là cực đại.      2 2 20 0 0 0 0 0; 2 ; ;xx xy yyd L L x y dx L x y dxdy L x y dy        0 0 0 0' ; ' ; 0x yx y dx x y dy   2 2 0dx dy  27/09/2017 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số • với điều kiện: • Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3) • Cực đại tại N(-4/3;-5/3) ( , ) 6 4 3f x y x y   2 2 1.x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện: 2. Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện:  , 5f x y x y   2 2 1x y   , 8 15 2f x y x y   2 22 3 107x y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa của nhân tử Lagrange Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến GTLN, GTNN (tham khảo) • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, bị chặn • Cho D là tập đóng, bị chặn trong miền có biên cho bởi phương trình ϕ(x1,x2,,xn)=0 • Giả sử f(x1,x2,,xn) là hàm số liên tục trên D. • Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên D. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến GTLN, GTNN (tham khảo) • B1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiện ϕ(x1,x2,,xn)=0. • B2. Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,,xn) thuộc D. • B3. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm tại các điểm tìm được ở trên. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm • trong miền • Đ/S: 2 2( , ) x 2f x y y x   2 2: 1D x y  1 1 1 3 9 min ,0 ; max , 2 4 2 2 4D D f f f f                 27/09/2017 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Miền D: 2 + 2 ≤ 1 • Biên của miền D là 2 + 2 = 1 • Bước 1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: • Bước 2. Tìm các điểm dừng thuộc D của hàm số • Bước 3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm tìm được và kết luận. 2 2 1 0x y   2 2( , ) 2f x y x y x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 1. • Hàm Lagrange: • Ta có hệ phương trình:    2 2 2 2, , 2 1L x y x y x x y             2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 10 2 1 2 0 0 0 4 2 0 2 0 2 1 00 1 0 1 0 x y x xL x x y L y y y x yL x y x y                                                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải tiếp hpt ta có 4 nghiệm • Như vậy có 4 điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: • Đặt 4 điểm như sau: 1/ 2 3 / 2 2 2 0 0 1/ 2 1 / 2 1 1 3 / 2 3 / 2 y y x x x x y y                                      2 2 1 0x y          1 2 3 41;0 ; 1;0 ; 1 / 2; 3 / 2 ; 1/ 2; 3 / 2M M M M   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 2. • Hệ phương trình tìm điểm dừng: • Ta nhận điểm này vì thuộc miền D do:  5 0 2 1 0 1 / 2 1/ 2;0 0 4 0 0 x y f x x M f y y                 2 2 1 10 1 4 4 x y     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 3. • Ta có: • Tương tự:     2 21 1;0 1 2.0 1 0f M f                   2 2 2 3 4 5 1;0 1 2.0 1 2 1 3 9 1 3 9 ; ; ; 2 2 4 2 2 4 1 1 ;0 2 4 f M f f M f f M f f M f                                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • So sánh giá trị hàm số tại M1, M2, M3, M4, M5 ta có:       5 3 4 1 1 min ,0 2 4 1 3 9 max , 2 2 4 D D f f M f f f M f M f                     27/09/2017 11 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm nhiều biến trong kinh tế • Hàm sản xuất • Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận • Hàm lợi ích • Hàm cung, hàm cầu Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm sản xuất • Hàm sản xuất là hàm dạng: Q=Q(K,L) • trong đó K là vốn, L là lao động. • Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng: • trong đó a, α, β là hằng số dương. ,Q aK L  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận • Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì: TC=WKK+WLL+C0 • trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định. • Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là giá thị trường của sản phẩm. • Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lợi ích • Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy nhất u=u(x,y,z) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cung, hàm cầu • Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng là P1, P2,,Pn. Khi đó • Hàm cung: • Hàm cầu: 1 2( , , , )iS i nQ S P P P  1 2( , , , )iD i nQ D P P P  27/09/2017 12 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng và giá trị cận biên • Xét mô hình hàm kinh tế: • trong đó xi là các biến số kinh tế. • Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M được gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó. • Biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi.  1 2, ,..., nw f x x x Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị cận biên_hàm sx • Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L) • Các đạo hàm riêng: • được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) tại điểm (K, L) ' ( , ); ' ( , )K L f f Q K L Q K L K L       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị cận biên_hàm sx • Đạo hàm riêng: • Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao động. • Đạo hàm riêng: • Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng tư bản. ' ( , )K f Q K L K    ' ( , )L f Q K L L    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: • trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị sản phẩm và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. 1 3 4 420Q K L Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị cận biên_hàm lợi í