Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Phép tính tích phân hàm một biến - Nguyễn Văn Tiến

17/04/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN CHƯƠNG 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: • Ví dụ:      , ,F x f x x a b        laø moät nguyeân haøm cuûa treân laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R. 2tan 1 tan \ 2 1 2 lnx x x x R n a a              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân bất định • Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu: • Được xác định như sau: • F(x) là một nguyên hàm của f(x). • C: hằng số tùy ý.  f x dx    f x dx F x C  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất                 ) ) . ) i f x dx f x ii k f x dx k f x dx iii f x g x dx f x dx g x dx                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức nguyên hàm cơ bản 1. 2. 3. 4. 5. 6.x x k dx x dx dx dx xx a dx e dx                Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các phương pháp tính • Phân tích, biến đổi • Đổi biến dạng 1 • Đổi biến dạng 2 • Tích phân từng phần 17/04/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp phân tích • Chia đa thức • Nhân liên hợp • Áp dụng các công thức biến đổi hàm số • Sử dụng công thức cơ bản Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau       2 1 22 2 0 1 2 1 . . 3 1 3 1 . . . lim 1 x x x x x a dx b e e dx x x x x c dx d x x dx x dt e t t                      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đổi biến số dạng 1 • Đặt t=u(x) • Ta đưa tích phân về dạng: • Phải tìm u’ hoặc biến đổi u’ xuất hiện trước. • Thường đặt u bằng căn thức, mũ của e, mẫu số hay biểu thức trong ngoặc       . u'f u x x dx f t dt  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau  3 4 2 5 . cos 2 . 2 1 . 1 . a x x dx b x dx c x x dx       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đổi biến số dạng 2 (tham khảo) • Đặt: x=u(t) • Biến đổi biểu thức tính tích phân về dạng:       .f x dx f u t u t dt  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau 2 1 2 2 0 0 1 2 2 2 0 2 ) 4 ) 1 ) ) 1 1 x a x dx b dx x dx dx c d x x x         17/04/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân từng phần • Đưa biểu thức tính tích phân về dạng: • Đặt: • Khi đó:      .f x dx h x g x dx          'du h xu h x dv g x dx v g x dx                  . .f x dx h x g x dx uv v du     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân từng phần • Đưa biểu thức về dạng tích • Chọn hàm để đặt u và dv • Chú ý: chọn sao cho việc tính đạo hàm và tích phân dễ tính. • Áp dụng công thức: .udv uv v du   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các dạng cần nhớ           . sin . cos . . n n ax n P x ax dx P x ax dx P x e dx          . ln . . arctan . . arcsin . n n n P x x dx P x x dx P x x dx    Luong giac nguoc garit thuc Lo Da Luong Mgiac u     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau   2 1 0 12 0 3 ) ln ) 2 1 sin ) cos ) arctan e a x xdx b x xdx c x xdx d x xdx        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Tanzalin • Tính tích phân sau:   6 2 . 3 2x x dx       6 7 82 1 2 . 3 2 3 2 3 2 21 252 x x x dx x x C      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Tanzalin • Tính tích phân sau: . sin .x x dx . sin . . cosx sinxx x dx x C    Đạo hàm Tích phân Dấu Tích x sinx 1 -cosx + -xcosx 0 -sinx - sinx 17/04/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Tanzalin • Tính tích phân bất định: • Đáp số: 2 1.x x dx Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm mũ • Công thức: • Ví dụ. Tính các tích phân sau:       1 x x ax b ax b u u i e dx e C ii e dx e C a iii e du e C            4 0 2 4 3 0 ) 3 ) 4 ) )D a . x x I x Tx a A e dx b B e x dx c C xe dx d e dx          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi qua điểm (1;0) và: • Đáp án: 3xdy e dx   3 22 xy e e  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Ví dụ. Một tòa nhà có cổng dạng parabol. Ta cần gắn kính cho cổng nhà. Hỏi diện tích kính cần gắn là bao nhiêu? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Ta chia hình cần tính thành nhiều hình chữ nhật nhỏ. • Cộng hết diện tích các hình chữ nhật nhỏ lại • Ta được diện tích tương đối của hình cần tính • Độ cao của mỗi hình chữ nhật được xác định thông qua giá trị của hàm số. Ví dụ. Tại điểm c thì hình chữ nhật có độ cao là f(c) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Tìm diện tích dưới đường cong y=1-x2 giữa x- 0,5 và x=1 • Sử dụng công thức tổng các diện tích hình chữ nhật để tính xấp xỉ (giả sử n=5) 17/04/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng mỗi hcn là: 0,1 • Ta tính tổng của 5 hcn sau: 5 1 0, 75.0,1 0, 64.0,1 0, 51.0,1 0.36.0,1 0,19.0,1 0, 245 i i A S          Cách 1. Xấp xỉ bằng tổng các hình chữ nhật ngoài Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng mỗi hcn là: 0,1 • Ta tính tổng của 5 hcn sau: 5 1 0, 64.0,1 0, 51.0,1 0, 36.0,1 0,19.0,1 0 0,1 0,17 i i A S           Cách 2. Xấp xỉ bằng tổng các hình chữ nhật trong Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Để có được giá trị xấp xỉ tốt hơn ta lấy giá trị trung bình của 2 cách tính trên • Ta được: 0, 245 0,17 0, 2075 2 A    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng mỗi hcn là: 0,1 • Ta tính tổng của 5 hcn sau:   5 1 0, 6975 0, 5775 0, 4375 0, 2775 0, 0975 .0,1 0, 20875 i i A S          Cách 3. Xấp xỉ bằng tổng các hình chữ nhật ở giữa Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhận xét • Nếu ta chia thành 10 hình chữ nhật với n=10 thì kết quả tìm được xấp xỉ tốt hơn • Tính theo cách 1 ta có kết quả sau: • Theo cách 2 ta có: • Theo cách 3 ta có: Trung bình cộng cách 1,2:   10 1 0, 75 0, 6975 ..... 0,19 0, 0975 .0, 05 0, 226875 i i A S           10 1 0, 6975 ..... 0,19 0, 0975 0 .0, 05 0,189375 i i A S         10 1 0, 208438 i i A S    10 1 0, 208125 i i A S    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].   3. Goïi laø caùc ñieåm maãu baát kyø trong nhöõng ñoaïn con * * * 1 2 * 1 , , ..., ; . n i i i x x x x x x       2. Giaû söû laø caùc ñieåm bieân nhöõng ñoaïn con Ta coù 0 1 2 , , , ..., . : . n i a x x x x b x a i x      1. Chia ñoaïn thaønh phaàn baèng nhau, coù chieàu roäng [ , ]a b n b a x n    17/04/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].   5 * 1 1 ; 5i i ii b a f x x x x x         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].  * 1 n i i f x x b a x n       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là: (nếu giới hạn này tồn tại). • Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].    * 1 lim b n in ia f x dx f x x     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa hình học • Cho hàm số () ≥ 0, liên tục trên [a;b] thì tích phân xác định của f(x) trên [a;b] là diện tích hình giới hạn bởi:  ; ;f x x a x b  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý             : daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân : caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp . Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo . Toång Riemann: * 1 , b a b b b a a a n i i f x a b dx x f x dx x f x dx f t dt f r dr f x x           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Công thức: • Trong đó F(x) là một nguyên hàm (tích phân bất định) của f(x).         b b a a f x dx F x F b F a          C; 'f x dx F x F x f x   17/04/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1- x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox. • Giải. • Ta có:   11 3 2 0,5 0,5 3 3 1 3 1 0, 5 1 0, 5 0, 208333 3 3 x S x dx x                              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox. • Giải. • Ta có:   44 3 2 0 0 3 3 1 3 4 0 76 4 0 3 3 3 x S x dx x                              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất • Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a;b]. Khi đó ta có: ) ( ) ( ) ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) b b a a b b b a a a b c b a a c a cf x dx c f x dx b f x g x dx f x dx g x dx c f x dx f x dx f x dx               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất d) Với a<b và g(x)≤f(x) trên [a;b] ta có: Hệ quả:          , , b b a a g x f x x a b g x dx f x dx          b b a a f x dx f x dx  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất • e) Nếu • thì:    , ,m f x M x a b          b a m b a f x dx M b a    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm đối xứng • Cho f liên tục trên [-a; a].               0 2 0 a a a a a f x dx f x dx f x dx f f x f x x x f             f) Neáu f laø haøm chaün thì: g) Neáu f laø haøm leû thì: 17/04/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Tìm chi phí khi biết chi phí cận biên • Tìm doanh thu khi biết doanh thu cận biên • Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là: • Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.   290 120 27MC Q Q Q   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là: • Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.   2 350 18 45 4MC Q Q Q Q    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là: • Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá theo sản lượng.   23 8 30MR Q Q Q   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là: • Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 (triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá.   3 24 3 24 15MR P P P P    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế • Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định là FC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả biến • Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định hàm tổng doanh thu. 17/04/2017 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư tiêu dùng & Thặng dư sản xuất Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của người mua. Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người bán. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư tiêu dùng • Consumer surplus (CS) • Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua trừ đi mức giá mà họ thực sự trả. • Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua sản phẩm. • Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ, Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dùng đường cầu để đo TDTD • Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng mà người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mức giá khác nhau. • Diện tích phía dưới đường cầu và trên mức giá chính là thặng dư tiêu dùng. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng Consumer surplus Quantity (a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1 Price 0 Demand P1 Q1 B A C Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Initial consumer surplus Quantity (b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2 Price 0 Demand A B C D E F P1 Q1 P2 Q2 Consumer surplus to new consumers Additional consumer surplus to initial consumers Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư sản xuất • Producer surplus (PS) • Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được trả trừ đi chi phí cho sản phẩm. • Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị trường. 17/04/2017 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dùng đường cung đo TDSX • Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu. • Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung. • Diện tích phía dưới mức giá và trên đường cung chính là thặng dư sản xuất. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất Producer surplus Quantity (a) Thặng dư sản xuất ở giá P1 Price 0 Supply B A C Q1 P1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Quantity (b) Thặng dư sản xuất ở giá P2 Price 0 P1 B C Supply A Initial producer surplus Q1 P2 Q2 Producer surplus to new producers Additional producer surplus to initial producers D E F Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PS và CS khi cân bằng thị trường 0 Quantity Equilibrium price Equilibrium quantity Producer surplus Consumer surplus Price Supply Demand A C B D E Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức chung • Tại mức giá cân bằng P0 và lượng cân bằng Q0 ta có: • Trong đó: D-1(Q) và S-1(Q) là hàm cầu đảo và hàm cung đảo. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) Q Q CS D Q dQ PQ PS PQ S Q dQ         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho các hàm cung và hàm cầu: • Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 2 ; 43 2.S DQ P Q P     17/04/2017 11 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Sản lượng cân bằng Q0 là nghiệm của pt: • Thặng dư của nhà sản xuất: • Thặng dư người tiêu dùng: 01 1 0 3 ( ) ( ) 18 Q D Q S Q p           3 2 0 18.3 1 2 27PS Q dQ        3 2 0 43 2 18.3CS Q dQ    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Xác định quỹ vốn • Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ vốn K là hàm theo biến thời gian t. • Ta có: I=I(t); K=K(t) • Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm đó) I(t)=K’(t) • Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ vốn như sau:      K t K t dt I t dt   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế • Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4 đến tháng 9