Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân hàm một biến & ứng dụng - Nguyễn Văn Tiến

18/10/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: • Ví dụ:      , ,F x f x x a b        laø moät nguyeân haøm cuûa treân laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R. 2tan 1 tan \ 2 1 2 lnx x x x R n a a              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân bất định • Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu: • Được xác định như sau: • F(x) là một nguyên hàm của f(x). • C: hằng số tùy ý.  f x dx    f x dx F x C  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất                 ) ) . ) i f x dx f x ii k f x dx k f x dx iii f x g x dx f x dx g x dx                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức nguyên hàm cơ bản 1. 2. 3. 4. 5. 6.x x k dx x dx dx dx xx a dx e dx                Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau    2 1 2 2 1 . . 3 1 3 1 . x xxa dx b e e dx x x x x c dx x         18/10/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau  3 4 2 5 . cos 2 . 2 1 . 1 . a x x dx b x dx c x x dx       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau 2 1 2 2 0 0 1 2 2 2 0 2 ) 4 ) 1 ) ) 1 1 x a x dx b dx x dx dx c d x x x         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính các tích phân sau  ) ln ) 2 1 sin ) cos ) arctan a x xdx b x xdx c x xdx d x xdx     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm mũ • Công thức: • Ví dụ. Tính các tích phân sau:       1 x x ax b ax b u u i e dx e C ii e dx e C a iii e du e C            4 0 2 4 3 0 ) 3 ) 4 ) )D a . x x I x Tx a A e dx b B e x dx c C xe dx d e dx          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi qua điểm (1;0) và: • Đáp án: 3xdy e dx   3 22 xy e e  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm. 2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phí cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm. 18/10/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày. • Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày. • Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch. • Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến 41.000 người. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi: • Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp. • Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$ • Đáp số:   0,01' 0, 015 xp x e    0,011, 5 3, 44xp x e  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Tăng trưởng giới hạn • Tăng trưởng không giới hạn Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Khái niệm • Nghiệm của PTVP là hàm số??? 2 0,01 2 6 4 ' 400 " ' 5 2 xdy x x y e dx dy dy ky y xy x xy dx dx          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Bài toán lãi kép liên tục • Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu • A là số tiền có được sau thời gian t • Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời gian đó. • Ta có mô hình: • R: hằng số phù hợp  . 0 , 0dA r A A P A P dt    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Ta có mô hình: • Mặt khác: • Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r và t là thời gian đầu tư.   1 1 . 1 ln .rt C dA dA dA r A r dt rdt dt A dt A dt dA rt A rt C A t e e A                   00 . .r C rtA e e P A t P e    18/10/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Luật tăng trưởng theo hàm mũ • Định lý. Nếu = và (0) = 0 thì = 0 • Trong đó: • Q0: khối lượng tại t=0 • r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối • t: thời gian • Q: khối lượng tại thời điểm t • Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân rã phóng xạ • Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không đổi trong mô của nó. • Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238 • Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương (làm tròn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài toán tăng trưởng • Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010 (t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian. • A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởng của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% là tốc độ tăng trưởng lien tục. • B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030? • Đáp số: • a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài toán tăng trưởng • Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụng được cho dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăng trưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Nam tăng gấp đôi? • Đáp số: 0,69%. • Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi suất r (%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiền gửi tăng lên gấp đôi? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng giới hạn • Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy ) ta luôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thể đạt được M. • Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu của mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa M. • Ta có mô hình    0 0dy k M y y dt    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng giới hạn • Một cách tương tự ta có:  1 kty M e      ln . 0 0 kt C C kt C dy dy k M y kdt dt M y dy kdt M y kt C M y M y e M y e e y M e                              18/10/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện tập được xấp xỉ bởi: • Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là? • Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập  0,0450 1 ty e  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số mô hình tăng trưởng mũ Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng mũ Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng Tăng trưởng không giới hạn Tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với lượng hiện tại = , > 0; 0 = = . Tăng trưởng ngắn hạn (người, vi khuẩn) Tăng trưởng của tiền khi tính lãi liên tục Phân rã theo hàm mũ Tốc độ phân rã tỷ lệ với ượng hiện tại = − , > 0 0 = = . Cạn kiệt tài nguyên thiên nhiên Phân rã phóng xạ Hấp thụ ánh sáng (trong nước) Áp suất khí quyển (t là chiều cao) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng mũ Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng Tăng trưởng giới hạn Tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với hiệu của lượng hiện tại và một giá trị cố định = ( − ) , > 0; 0 = = (1 − ) Bán hàng thời trang Khấu hao thiết bị Tăng trưởng công ty Học tập Tăng trưởng Logistic Tốc độ phân rã tỷ lệ với lượng hiện tại và hiệu của lượng hiện tại và một giá trị cố định = ( − ) , > 0 0 = 1 + = 1 + Tăng trưởng dân số dài hạn Bán hàng mới Sự lan truyền của tin đồn Tăng trưởng công ty Bệnh dịch Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Sự lan truyền tin đồn • Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người. Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe được tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và: • Gọi t là thời gian tính theo phút. • A) Tìm công thức x(t) • B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn. • C) Tìm giới hạn:    0, 001 400 0 1dx x x x dt     lim t x t  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Sự lan truyền tin đồn • Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX nghe được tin đồn?       0,4 0, 001 400 0 1 400 1 399 t dx x x x dt x t e            0,4*5 0,4*20 400 5 7, 272889 1 399 400 20 352, 7805 1 399 lim 400 t x e x e x t           18/10/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Diện tích dưới đường cong • Diện tích phần hình được tô màu là bao nhiêu? • Tính xấp xỉ bằng tổng diện tích hình chữ nhật Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong • Tổng bên trái - Left Sum • Tổng bên phải – Right Sum • Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhận xét • Chia đoạn [1;5] thành 16 đoạn ta có: • Chia thành 100 đoạn ta có: 100 100 14, 214 14, 545L Area R    16 16 13, 59 15, 09L Area R    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đánh giá sai số • Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tế và giá trị xấp xỉ • Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánh giá được nó. • Ví dụ. Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16 thì sai số tối đa bao nhiêu? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý • Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b] • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau. • Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởi hàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b • Chặn trên của sai số là:        . .b af b f a f b f a x n      (Chênh lệch 2 đầu mút) * (Độ dài 1 khoảng chia) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số = 9 − 0,252 • Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đến x=5. • A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽ các hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6 • B) Tính L6; R6 và sai số khi xấp xỉ • C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tối thiểu là bao nhiêu? 18/10/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng tích phân • Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b] • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các điểm chia như sau: • Khi này: 0 1 2 ... n a x x x x b                      0 1 1 1 1 1 2 1 . . ... . . . . ... . . n n n k k n n n k k L f x x f x x f x x f x x R f x x f x x f x x f x x                         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng Riemann • Ta có: • ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk]        1 2 1 . . ... . . n n n k k S f c x f c x f c x f c x           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số tổng quan trọng            1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ) . ) ) ) 1 1 2 1 ) ) 2 6 1 ) 2 n n n i i i i i n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i n n i i n i a C n C b Ca C a c a b a b d a b a b n n n n n e i f i n n g i                                              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính tổng Riemann cho hàm số = 3 − 6 trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên phải của mỗi đoạn. • Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong trường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổng đó khi n∞ Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b] khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạn I khi ∞ • Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] • Ký hiệu:   b a I f x dx      1 lim b n kn ka f x dx f c x     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định   1 n k i f c x b a x n       18/10/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa hình học • Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là: (nếu giới hạn này tồn tại). • Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].     1 lim b n kn ia f x dx f c x     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý             : daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân : caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp . Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo . Toång Riemann: * 1 , b a b b b a a a n i i f x a b dx x f x dx x f x dx f t dt f r dr f x x           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính tích phân: • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau • Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải. • Ta có: b x a e dx b a x h n           2 . 1 1 . 1 . . . ... 1 . e 1 ... . 1 n n a h a h a n h k i i n h n ha h h a h h f c x f a i h h h e e e e S h e e e h e                               . . 1 1 a h b a h h S e e e     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho n tiến đến vô cùng ta có: • Như vậy:    0 . . 1 1 1 a h b a h n a b a b a h h S e e e S e e e e             b x b a a e dx e e  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạn dưới đây (không tính giới hạn) 10 1 1 2 2 ) lim 5 ) lim tan 4 4 n n i n n i i a n n i b n n               18/10/2017 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng Riemann. Không tính giới hạn   6 10 5 2 1 10 6 0 2 ) ) 4ln 1 ) sin 5 ) x a dx b x x dx x c xdx a x dx        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài b               10 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 4ln 9 9 9 9 9 1 . 1 . 4ln 1 9 9 9 9 9 1 . 1 . 4l . n 1 . 10 1n n n n n i i n n n i i n n n n i i i i x x dx R f x x f i i n n n n n L f x x f i i i n n n i R L S S f x x f x f f n x n                                                                                     1 1 1 9 9 9 9 9 9 9 9 1 . 1 . 4ln 1 . 2 2 2 9 n n i i n n n i i M f c x M f i i i n n n n n n n n n                                         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác định trên khoảng cho trước.       2 1 1 2 1 2 5 * * 1 ) lim ln 1 , 2; 6 cos ) lim , ; 2 ) lim 2 , 1; 8 ) lim 4 3 6 , 0; 2 n i in i n i n i i n i in i n i in i a x x x x b x x c c c x d x x x                                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất cơ bản Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó: • Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b] • Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]  ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất • Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b]. Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng khả tích trên các đoạn còn lại và: • Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một số hữu hạn điểm. ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có: Hệ quả:                       ) 0 ; 0 ) 0 ; 0 ) ; b a b a b b a a i f x x a b f x dx ii f x x a b f x dx iii f x g x x a b f x dx g x dx                        b b a a f x dx f x dx  18/10/2017 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất • Nếu • thì: • Ví dụ. Chứng minh rằng:    , ,m f x M x a b          b a m b a f x dx M b a    2 1 0 1 1xe dx e   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý giá trị trung bình • Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử: • Khi này tồn tại µ sao cho • Và: • Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc [a;b] sao cho: min maxm f M f  m M     . b a f x dx b a       . b a f x dx f c b a  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức đạo hàm theo cận trên • Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a<x<b đặt: • Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì: • Hàm () liên tục trên [a;b]     x a x f t dt      x f x  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chứng minh • Ta có: • Mặt khác: • Vậy:           x h x x h a a x x h x f t dt f t dt f t dt                   . ; x h x f t dt f c h h c h x x h                0 . h f c h hx h x f c h f x h h         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Newton - Leibnitz • Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: • Tại sao lại thế???         b b a a f x dx F b F a F x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Newton - Leibnitz • Ta có: • Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có: • Vậy:     1 1 lim b n k k kn ka f x dx f c x x            1 1 ' k k k k k k F x F x f c F c x x                 1 1 1 1 lim n n k k k k kn k k f c x x F x F x F b F a              18/10/2017 11 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Newton - Leibnitz • Do () là một nguyên hàm nên ta có: • Ta có: • Vậy:       x a x f t dt F x C         0a F a C C F a                 b a b f t dt F b C F b F a            b a f x dx F b F a  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1- x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox. • Giải. • Ta có:   11 3 2 0,5 0,5 3 3 1 3 1 0, 5 1 0, 5 0, 208333 3 3 x S x dx x                              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox. • Giải. • Ta có:   44 3 2 0 0 3 3 1 3 4 0 76 4 0 3 3 3 x S x dx x                              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm đối xứng • Cho f liên tục trên [-a; a].               i) Neáu f laø haøm chaün thì: ii) Neáu f laø haøm leû thì: 0 2 0 a a a a a f x dx f x dx f x f f x f x f x dx x             Bài giảng Toán Cao