Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

10/11/2019 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 2 10/10/2019 1 NỘI DUNG  Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss  Giải và biện luận hệ Cramer Hệ phương trình thuần nhất Ứng dụng 10/10/2019 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát aij gọi là các hệ số bj: hệ số tự do 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ............................................... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 10/10/2019 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b A X B 10/10/2019 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận Ma trận A gọi là ma trận hệ số. X: ma trận cột các ẩn số B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do Nghiệm của phương trình là một bộ số: Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa mãn. A X B 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n x x x c c c 10/10/2019 5 MỘT SỐ KHÁI NIỆM  Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0  Hệ Crammer  Nếu hệ số tự do triệt tiêu  Hệ thuần nhất  Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2                  n n m m mn m a a a b a a a b A A B a a a b Augmented matrix 10/10/2019 6 10/11/2019 2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM     11 12 1 1 21 22 2 2 1 2                    n n m m mn m a a a b a a a b A A B r A r A a a a b     11 12 1 1 21 22 2 2 0 0 0 0               n n a a a b a a a b r A r A b 10/10/2019 7 VÍ DỤ Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không? 2 3 1 2 3 4 1 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 4 2 ) 2 ) 2 1 2 2 2 1 7 4 11 5 2 2 2 4 1 ) 3 4 0 2 4 1 x x x x x x a x x b x x x x x x x x x x x x x x x x x c x x x x x x 10/10/2019 8 VÍ DỤ 2  10/10/2019 9 HỆ CRAMER Phương pháp ma trận nghịch đảo Phương pháp định thức 1. .AX B X A B Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do. det det i i i A D x A D 10/10/2019 10 HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC 11 12 1 1 12 1 21 22 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ... ... ; ...................... ... ...................... ... ... n n n n n n nn n n nnn b b b a a a b a a a a a b a a A B A a a a b a a 1 2 12 1 22 2 1 1 2 ... ... det .................... ... n n n n nn b b b a a a a D A a a 10/10/2019 11 HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Do đó: Ta có: 1. .AX B X A B 10/10/2019 12 10/11/2019 3 VÍ DỤ 3 Giải hệ phương trình sau: Giải. Cách 1. Ta có: Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Nghiệm của hệ (1,1,-2) 10/10/2019 13 VÍ DỤ 3 Cách 2. Ta có: Ta tính được: Vậy nghiệm của hệ là: 1 3 3 0 5 18 1 1 1 12 18 12 1 18 1 18 18 12 6 6 5 36 2 X A B                                          10/10/2019 14 VÍ DỤ 4 Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm của hệ trong trường hợp này. 10/10/2019 15 SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn. Trong trường hợp ii) hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n- r(A) tham số. i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm iii) Heä pt voâ nghieäm iv) Heä pt coù nghieäm r A r A n r A r A n r A r A r A r A 10/10/2019 16 PP KHỬ GAUSS - JORDAN - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang. - Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay không và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn. Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng? - - - 10/10/2019 17 PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN  bdsc hang r r A A B A A B 10/10/2019 18 10/11/2019 4 VÍ DỤ 5  10/10/2019 19 VÍ DỤ 6 Giải và biện luận hệ phương trình: Giải. Ma trận hệ số bổ sung: 10/10/2019 20 VÍ DỤ 6 Biện luận. 10/10/2019 21 BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma trận vuông. Ñaët: Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát: Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm. Neáu thì heä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp 1 1 1 det ; det ; ...; det ) 0 ) 0 0 ) ... 0 n n i i i n D A D A D A i D D x D ii D D ii D D D baèng phöông phaùp Gauss. 10/10/2019 22 VÍ DỤ 6 Ta có: Sinh viên tự làm tiếp 1 1 2 1 3 3 1 1 1 1 1 det 1 1 detA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 detA 1 1 1 det 1 1 1 1 1 1 1 m D A m D m m m m m D D A m m 10/10/2019 23 VÍ DỤ 7 Giải và biện luận hệ phương trình sau 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 4 ) ) 8 2 4 mx x x ax y z a x mx x m b x by z x by zx x mx m 10/10/2019 24 10/11/2019 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Hệ thuần nhất có dạng: Hoặc dạng ma trận: Ma trận mở rộng: Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x                 . 0A X       | 0A A r A r A   10/10/2019 25 TÍNH CHẤT 1. Hệ phương trình thuần nhất luôn luôn có nghiệm. 2. (0,0,,0) luôn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm thường. 3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất cũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm. Q. Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vô số nghiệm? A. 10/10/2019 26 VÍ DỤ 8 Giải hệ phương trình Giải. Xét ma trận hệ số của phương trình. 10/10/2019 27 VÍ DỤ 8 Hệ đã cho tương đương với hệ: Tập nghiệm của hệ là: Nghiệm cơ sở (basic solutions):    8, 6,1,0 ; 7,5,0,1  10/10/2019 28 BÀI 1 Cho hai ma trận: Tìm ma trận nghịch đảo của A. Tìm X biết: X.A=3B 1 2 3 1 2 1 3 2 4 3 1 0 2 1 0 2 1 1 A B                        10/10/2019 29 BÀI 2 Giải các phương trình sau 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 0 2 2 1 3 2 5 ) 2 3 6 1 ) 5 4 7 7 3 10 x x x x x x x x x x x a x x x b x x x x x x m x x x x 10/10/2019 30 10/11/2019 6 BÀI 3 Giải các hệ phương trình sau 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 9 6 ) 3 5 4 ) 2 3 4 21 4 7 5 7 3 6 2 2 4 4 3 2 6 ) 8 5 3 4 12 3 3 11 5 6 x y z x y z a x y z b x y z x y z x y z x x x x x x x x c x x x x x x x x 10/10/2019 31 BÀI 4 Tìm m để ma trận sau khả nghịch 1 1 1 1 1 1 1 m A m m m            10/10/2019 32 BÀI 5 Cho hệ phương trình tuyến tính. A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m 1 ( 1) ( 1) x y mz x my z a x m y m z b 10/10/2019 33 BÀI 6 Giải và biện luận theo m   1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 ) 2 2 2 4 3 3 3 ) 2 ( 1) ( 1) 1 1 x x mx m a m x x m x x x x m m mx y z m b x m y m z m x y mz                               10/10/2019 34 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ chuyên bán xe Dream II và xe môtô. Doanh số bán hàng trong tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau: a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi loại xe. b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9. c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận được trong tháng 9. Tháng 8 Dream II Môtô Đại lý X $ 18,000 $ 36,000 Đại lý Y $ 36,000 $ 0 Tháng 9 Dream II Môtô Đại lý X $ 72,000 $ 144,000 Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000 10/10/2019 35 GIẢI Ta có: 90000 180000 ) 126000 108000 54000 108000 ) 54000 108000 3600 7200 )5%. 4500 5400 X a A B Y X b B A Y X c B Y                        10/10/2019 36 10/11/2019 7 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau: Tiền lương tính theo giờ: 0.6 0.6 0.2 1.0 0.9 0.3 1.5 1.2 0.4 cut assemble package product A M product B product C          Factory Factory I II 6 7 8 10 3 4 cut assemble package N          10/10/2019 37 VÍ DỤ  a/ Kích thước của M, N và M*N  b/ Tính M*N và giải thích kết quả.  Giải.  A)  B) Ta có:  a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I.  Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy. 9 11 . 14.1 17.2 19.8 24.1 product A M N product B product C           11 6 0.6 0.6 0.2 8 9$ 3 a            10/10/2019 38 BÀI 1 A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm B) Tìm ma trận nghịch đảo: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 3 x x x x ax x x x ax            1 2 3 2 5 3 1 0 8 A            10/10/2019 39 BÀI 2 A) Giải phương trình: B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 23 2 2 1 2 3 4 0 3 2 2 2 9 2 3 18 x x x       1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 m B m           10/10/2019 40