Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 - Nguyễn Đức Phương

Toán cao cấp A2, C2 ĐH Nguyễn Đức Phương TP. HCM, Ngày 21 tháng 5 năm 2014 B ài gi ản g Họ và tên: Mssv: Mục lục Chương 1 Ma trận, định thức 1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1 (Ma trận). Một bảng số thực hình chữ nhật có m dòng và n cột A D 0 BBB@ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: am1 am2


amn 1 CCCA được gọi là ma trận cấp m  n: Tập hợp tất cả ma trận cấp m  n trên R được ký hiệuMmn.R/: Chú ý.  A D aij
mn  aij là phần tử dòng i cột j . Ví dụ 1.1. Ma trận A D  2 1 8 0 6 5   Số dòng? số cột?  aij ? Định nghĩa 1.2 (Ma trận vuông). Ma trận có số dòng bằng với số cột (m D n) được gọi là ma trận vuông cấp n. Trang 2 Chương 1. Ma trận, định thức Ví dụ 1.2. Ma trận A D 0 @ 2 0 11 4 8 9 4 3 1 A là ma trận vuông cấp 3. Định nghĩa 1.3 (Đường chéo của ma trận vuông).  Đường chéo chứa a11; a22; : : : ; ann là đường chéo chính A D 0 BBB@ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: an1 an2


ann 1 CCCA  Đường chéo ngược lại là đường chéo phụ. A D 0 BBB@ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: an1 an2


ann 1 CCCA Định nghĩa 1.4 (Các ma trận vuông đặc biệt).  Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 được gọi làma trận chéo cấp n.  Ma trận chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được gọi làma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là In: Ví dụ 1.3. A D 0 @2 0 00 0 0 0 0 4 1 A gọi là ma trận đường chéo. I3 D 0 @1 0 00 1 0 0 0 1 1 A là ma trận đơn vị cấp 3. 1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 3 Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông có tất cả các phần tử trên (dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới (trên). Ví dụ 1.4. A D 0 @2 0 04 3 0 3 0 0 1 A B D 0 @2 3 00 3 6 0 0 1 1 A  A gọi là ma trận tam giác dưới.  B gọi là ma trận tam giác trên. Định nghĩa 1.6. Ma trận vuông có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij D aj i ) gọi là ma trận đối xứng Ví dụ 1.5. A D 0 @ 3 4 14 1 0 1 0 2 1 A là ma trận đối xứng. 1.2 Các phép toán trên ma trận Định nghĩa 1.7 (Phép chuyển vị). Ma trận AT có được từ việc chuyển tất cả các dòng của A thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A: Ví dụ 1.6. Ma trận A D  2 1 4 5 3 6  Tìm AT Tính chất 1.8. Cho A;B 2Mmn.R/: Khi đó i. AT
T D AI ii. AT D BT khi và chỉ khi A D B: Trang 4 Chương 1. Ma trận, định thức Định nghĩa 1.9 (Nhân vô hướng). Cho ma trận A D aij
mn và k 2 R, ta định nghĩa kA D kaij
mn Ví dụ 1.7. 2  2 1 2 2 4 2  D 4 2 4 4 8 4  Tính chất 1.10. Cho A;B 2Mmn.R/ và ˛; ˇ 2 R Khi đó i. .˛ˇ/A D ˛.ˇA/I ii. .˛A/T D ˛AT : Định nghĩa 1.11 (Phép cộng, trừ). Cho hai ma trận A D aij
mn và B D bij
mn cùng cấp, ta định nghĩa A˙B D aij ˙ bij
mn Ví dụ 1.8.  1 2 3 2 0 1  C  3 1 3 2 3 6  D  4 3 6 4 3 7   1 2 3 2 0 1   3 1 3 2 3 6  D 2 1 0 0 3 5  Tính chất 1.12. Cho A;B 2Mmn.R/ và ˛; ˇ 2 R: Khi đó i. ACB D BCAI ii. ˛.ACB/ D ˛AC ˛BI iii. .˛ C ˇ/A D ˛AC ˇA: Định nghĩa 1.13 (Nhân hai ma trận). Cho hai ma trận A D aij
mp và B D bij
pn (số cột của A bằng với số dòng của B), ta định nghĩa AB D .cij /mn trong đó cij D (dòng i của A/  (cột j của B/ Ví dụ 1.9. Cho A D  1 2 4 2 1 5  ; B D 0 @1 23 1 2 2 1 A Tính AB: 1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 5 Ví dụ 1.10. Cho hai ma trận A D 0 @0 1 12 2 0 3 0 3 1 A ; B D 0 @1 2 10 3 1 2 1 0 1 A Tính AB; BA và so sánh kết quả. Ví dụ 1.11. Cho ma trận A D 0 @1 2 30 5 2 2 4 6 1 A Tính AI3 và I3A và so sánh kết quả. Nhận xét. Tổng quát, phép nhân không có tính giao hoán nghĩa là AB ¤ BA: Tính chất 1.14. Cho A;B;C thỏa điều kiện nhân được i. .AB/C D A.BC/I ii. A.BCC/ D ABCACI iii. .AB/T D BTAT I Trang 6 Chương 1. Ma trận, định thức iv. AIn D InA D A: 1.3 Ma trận bậc thang Định nghĩa 1.15.  Trong một ma trận, một dòng có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là dòng không.  Trong một ma trận, phần tử khác không đầu tiên (trái sang phải) của dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng. Ví dụ 1.12. Ma trận A D 0 @1 3 20 0 0 3 1 5 1 A! dòng không Xác định phần tử cơ sở của A D 0 BB@ 1 3 2 0 0 3 0 0 0 0 2 5 1 CCA Định nghĩa 1.16 (Ma trận bậc thang). Ma trận thỏa hai điều sau được gọi là ma trận bậc thang:  Các dòng 0 nằm bên dưới các dòng khác.  Phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ phài nằm bên phải phần tử cơ sở các dòng trên nó. Ví dụ 1.13. Các ma trận sau là bậc thang: A D 0 @ 7 0 20 0 3 0 0 0 1 AIB D 0 @ 0 3 1 20 0 3 5 0 0 0 4 1 A Ví dụ 1.14. Các ma trận sau không là ma trận bậc thang A D 0 @ 0 2 30 3 5 0 0 6 1 A IB D 0 @ 0 0 00 2 3 0 0 5 1 A 1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Trang 7 Định nghĩa 1.17. Ma trận bậc thang rút gọn (đơn giản) là ma trận bậc thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó. Ví dụ 1.15. Ma trận nào sau đây là ma trận bậc thang rút gọn: A D 0 @1 2 0 30 0 1 1 0 0 0 0 1 A IB D 1 3 2 0 0 0  1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa 1.18 (Phép biến đổi sơ cấp trên dòng). Cho A D aij
mn : Ta gọi các phép biến đổi sau là phép biến đổi sơ cấp trên dòng i) Đổi vị trí hai dòng i và k: A di$dk! B: ii) Nhân dòng i với số thực  ¤ 0: A di!
di! B: iii) Thay dòng i bằng dòng i cộng  lần dòng k khác: A di!diC
dk! B: Chú ý.  Phép biến đổi ii) và iii) có thể được thay bằng A di!diC
dk! B: trong đó  ¤ 0:  Ma trận B nhận được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta nói A tương đương dòng với B; ký hiệu A  B: Định lý 1.19. Mọi ma trận đều có thể được đưa về ma trận bậc thang bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sớ cấp. Trang 8 Chương 1. Ma trận, định thức Ví dụ 1.16. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận sau về dạng ma trận bậc thang A D 0 @1 1 2 42 3 3 3 5 7 4 10 1 A IB D 0 @ 1 2 42 4 7 3 2 5 1 A 1.5 Hạng của ma trận Định nghĩa 1.20 (Hạng của ma trận). Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến A thành ma trận bậc thang QA:Hạng của A, ký hiệu r.A/ là số dòng khác không của QA Ví dụ 1.17. Tìm hạng của A D 0 @1 2 30 0 1 0 0 0 1 A có r.A/ D : : : 1.5 Hạng của ma trận Trang 9 Ví dụ 1.18. Cho A D 0 @1 2 12 0 3 4 4 1 1 A Tìm r.A/ Tính chất 1.21. i. r.A/ D r.AT /I ii. Nếu A D .aij /mn thì r.A/  minfmIngI iii. Nếu A là ma trận vuông có jAj ¤ 0 khi và chỉ khi r.A/ D n: Ví dụ 1.19. Cho ma trận A D 0 @mC 1 1 32 mC 2 0 2m 1 3 1 A Tìm m để r.A/ D 2 Trang 10 Chương 1. Ma trận, định thức Chú ý. Ta nên chuyển các cột không chứa tham số lên đầu. Ví dụ 1.20. Biện luận theo m số hạng của A D 0 BB@ 1 2 1 1 1 m 1 1 1 1 1 m 0 1 1 0 4 3 2 2 1 CCA 1.6 Định thức Trang 11 1.6 Định thức Cho A là ma trận vuông cấp n: Ký hiệu Mij là ma trận có được từ A bằng các xóa bỏ dòng i cột j cùa A: Ví dụ 1.21. Nếu A D 0 @1 2 34 5 6 7 8 9 1 A thì M23 D 0 @1 2 34 5 6 7 8 9 1 A D 1 2 7 8  Định nghĩa 1.22 (Định thức). Định thức của ma trận vuông A cấp n; ký hiệu detA hay jAj được định nghĩa quy nạp như sau:  Nếu n D 1 thì jAj D ja11j D a11:  Nếu n D 2 thì jAj D ˇˇˇ ˇa11 a12a21 a22 ˇˇˇ ˇ D a11a22 a12a21:  Nếu 3  n thì jAj D ai1Ai1 C ai2Ai2 C


C ainAin D a1jA1j C a2jA2j C


C anjAnj trong đó Aij D .1/iCj jMij j: Ví dụ 1.22. Tính định thức của các ma trận A D  3 2 1 4  I B D 0 @ 1 2 22 3 1 2 1 2 1 A Trang 12 Chương 1. Ma trận, định thức Chú ý. Quy tắc sáu đường chéo tính định thức ma trận cấp 3 jAj D ˇˇˇ ˇˇˇa11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ˇˇˇ ˇˇˇ a11 a12a21 a22 a31 a32 D.a11a22a33 C a12a23a31C a13a21a32/ .a11a22a33 C a12a23a31C a13a21a32/ Ví dụ 1.23. Tính định thức của ma trận B D 0 @ 1 2 22 3 1 2 1 2 1 A Ví dụ 1.24. Tính định thức của ma trận A D 0 BB@ 0 0 3 2 3 4 2 1 1 1 0 2 2 1 1 5 1 CCA 1.6 Định thức Trang 13 Tính chất 1.23. Nếu A di$dk! B thì jBj D jAj Ví dụ 1.25. Tính các định thức: jAj D ˇˇˇ ˇˇˇ1 2 02 1 1 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ I jBj D ˇˇˇ ˇˇˇ2 1 11 2 0 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ Tính chất 1.24. Nếu A di!di! ¤0 B thì jBj D jAj: Ví dụ 1.26. Tính các định thức: jAj D ˇˇˇ ˇˇˇ2 1 02 0 1 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ I jBj D ˇˇˇ ˇˇˇ6 3 02 0 1 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ và suy ra giá trị j3Aj: Trang 14 Chương 1. Ma trận, định thức Tính chất 1.25. Nếu A di!diCk! B thì jBj D jAj: Ví dụ 1.27. Tính định thức: jAj D ˇˇˇ ˇˇˇ 1 1 32 2 1 2 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ và định thức của ma trận B có được bằng phép biến đổi d2 D d2 2d1 từ ma trận A Nhận xét. Phép biến đổi trong tính chất ?? và ?? còn được viết chung dưới dạng di!diCdk! ¤0 Tính chất 1.26.ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ a11 C a=11 a12


a1n a21 C a=21 a22


a2n ::: :::


::: an1 C a=n1 an2


ann ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ D ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: an1 an2


ann ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇC ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ a = 11 a12


a1n a = 21 a22


a2n ::: :::


::: a = n1 an2


ann ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ Ví dụ 1.28. Tính định thức ˇˇˇ ˇˇˇx a xy b y C 3 z c z ˇˇˇ ˇˇˇ 1.7 Ma trận khả nghịch Trang 15 Chú ý. Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biến đổi trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột. Chú ý.Một số kết quả đặc biệt  Dạng chia khối: nếu A;C là hai ma trận vuông và O là ma trận không ˇˇˇ ˇA BO C ˇˇˇ ˇ D ˇˇˇ ˇA 0B C ˇˇˇ ˇ D jAjjCj  Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.  jABj D jAjjBj: 1.7 Ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.27. Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng cấp A1 sao cho AA1 D A1A D In:Ma trận A1 là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A: Ví dụ 1.29. Ma trận A D  2 5 1 3  và A1 D  3 5 1 2  là hai ma trận nghịch đảo của nhau. Trang 16 Chương 1. Ma trận, định thức 1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo Cho ma trận A vuông cấp n; ta tìm A1 nếu có như sau: Bước 1. Lập ma trận .AjIn/: Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa .AjIn/ về dạng .A0jB/; với A0 là ma trận bậc thang rút gọn. Bước 3. Nếu A0 D In thì A khả nghịch và A1 D B; ngược lại ta kết luận A không khả nghịch. Ví dụ 1.30. Tìm A1 nếu có của A D  1 2 2 4  : Ví dụ 1.31. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D 0 @1 1 11 0 1 2 1 1 1 A : 1.7 Ma trận khả nghịch Trang 17 Định lý 1.28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi jAj ¤ 0 Ví dụ 1.32. Tìm m để A D 0 @mC 1 1 32 mC 2 0 2m 1 3 1 A khả nghịch 1.7.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo Cho ma trận khả nghịch A; ma trận nghịch đảo của A được tính như sau: A1 D 1jAj 0 BBB@ A11 A12


A1n A21 A22


A2n ::: :::


::: An1 An2


Ann 1 CCCA T (1.1) Ví dụ 1.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D  2 3 1 4  : Trang 18 Chương 1. Ma trận, định thức Ví dụ 1.34. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D 0 @1 2 12 0 1 3 2 2 1 A : Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tổng quát Định nghĩa 2.1. Một hệ phương trình bậc nhất có n ẩn xj ; j D 1; : : : ; n:8ˆˆ ˆˆ< ˆˆˆˆ: a11x1 C a12x2 C


C a1nxn D b1 a21x1 C a22x2 C


C a2nxn D b1 ::: :::


::: ::: am1x1 C am2x2 C


C amnxn D b1 (2.1) trong đó aij ; bi là các hằng số thực, được gọi hệ phương trình tuyến tính. Nếu ta đặt: A D 0 BBB@ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: am1 am2


amn 1 CCCA IB D 0 BBB@ b1 b2 ::: bm 1 CCCA IX D 0 BBB@ x1 x2 ::: xn 1 CCCA Khi đó hệ ?? được viết dưới dạng ma trận AX D B: Ví dụ 2.1. Viết dạng ma trận8ˆ< :ˆ x1 x2 C 2x3 C 4x4 D 4 2x1 C x2 C 4x3 D 3 2x2 7x3 D 5 Trang 20 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.2 Hệ Cramer Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định thức ma trận hệ số khác không. Ví dụ 2.2. Kiểm xem hệ phương trình tuyến tính sau có phải là hệ Cramer: 8ˆ< :ˆ x C 2y C z D 4 x 3y C 6z D 4 5x y C z D 5 2.2.1 Quy tắc Cramer Định lý 2.3. Hệ Cramer có nghiệm duy nhất là xj D jAj j jAj ; j D 1; 2; : : : ; n (2.2) trong đó Aj nhận được bằng cách thay cột j của A bằng B: Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình 8ˆ< :ˆ x1 2x2 C x3 D 5 2x1 C 3x2 2x3 D 1 x1 C x2 C 2x3 D 1 2.2 Hệ Cramer Trang 21 2.2.2 Biện số nghiệm hệ n phương trình n ẩn Cho AX D B là hệ n phương trình n ẩn có chứa tham số m: Khi đó: Trường hợp 1. Nếu jAj ¤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất. Trường hợp 2. Nếu jAj D 0 và tồn tại jAj j ¤ 0 thì hệ vô nghiệm. Trường hợp 3. Nếu jAj D 0 và mọi jAj j D 0 thì hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Ví dụ 2.4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình( .mC 1/x C y D mC 2 x C .mC 1/y D 0 có nghiệm. Trang 22 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình8ˆ< :ˆ 2x C 3y z D 1 4x C .mC 5/y C .m 3/z D mC 1 8x C 12y C .m 4/z D mC 4 2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 23 2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Phương pháp Gauss giải hệp phương trình có 3 bước: Bước 1. Đặt ma trận mở rộng NA D .AjB/ D 0 BBB@ a11 a12


a1n b1 a21 a22


a2n b2 ::: :::


::: ::: am1 am2


amn bm 1 CCCA Bước 2. Đưa NA về ma trận bậc thang QA Bước 3. Viết lại hệ và giải ngược lại từ dưới lên trên. Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss8ˆ< :ˆ x C y C z D 6 2x C 3y z D 1 x C 4y C z D 10 Trang 24 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Định lý 2.4 (Kronecker-Capelli). Hệ phương trình tuyến tính AX D B có nghiệm khi và chỉ khi r.A/ D r. NA/: Nhận xét. i. r.A/  r. NA/: ii. Nếu r.A/ < r. NA/ thì hệ vô nghiệm. iii. Nếu r.A/ D r. NA/ D n thì hệ có nghiệm duy nhất. iv. Nếu r.A/ D r. NA/ < n thì hệ có vô số nghiệm. Ví dụ 2.7. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss8ˆ< :ˆ 3x C 7y D 5 2x C 3y z D 1 x C y C 2z D 2 2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 25 Ví dụ 2.8. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss 8ˆ< :ˆ x C y z D 2 2x C y 4z D 3 3x C y 7z D 4 Trang 26 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.4 Hệ phương trình thuần nhất Định nghĩa 2.5. Hệ phương trình tuyến tính8ˆˆ ˆˆ< ˆˆˆˆ: a11x1 C a12x2 C


C a1nxn D 0 a21x1 C a22x2 C


C a2nxn D 0 ::: :::


::: ::: am1x1 C am2x2 C


C amnxn D 0 (2.3) được gọi là thuần nhất. Dạng ma trận của hệ thuần nhất trên là AX D O; trong đó O là ma trận không. Nhận xét.  Do r.A/ D r. NA/ nên hệ ?? luôn có nghiệm.  X D .0I 0I : : : I 0/ luôn là nghiệm của ?? và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Ví dụ 2.9. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm tầm thường 8ˆ< :ˆ 3x C m2y C .m 5/z D 0 .mC 2/y C z D 0 4y C .mC 2/z D 0 2.4 Hệ phương trình thuần nhất Trang 27 Ví dụ 2.10. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm8ˆ< :ˆ x C y C .1 m/z D 0 .mC 1/x y C 2z D 0 2x my C 3z D 0 Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình8ˆ< :ˆ x1 C 2x2 C 2x3 C 2x4 D 0 2x1 C 3x2 C 4x3 C x4 D 0 x1 C x2 C 2x3 x4 D 0 Chỉ ra nghiệm tổng quát, nghiệm cơ bản. Trang 28 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Chương 3 Không gian vector 3.1 Không gian vector, không gian vector con Định nghĩa 3.1. Cho tập V khác rỗng, hai phép toan cộng và nhân vô hướng V  V ! V .x; y/ 7! x C y I R  V ! V .; y/ 7! x ta nói V cùng hai phép toán trên là không gian vector trên R nếu thỏa 8 điều sau: i. .x C y/C z D x C .y C z/; 8x; y; z 2 RI ii. 9 2 V W x C  D  C x D x; 8x 2 V I iii. 8x 2 V; 9 x 2 V W x C x D  I iv. x C y D y C x; 8x; y 2 V I v. .x C y/ D x C y;8x; y 2 V; 8 2 RI vi. .C /x D x C x;8; 2 R; 8x 2 V I vii. ./x D .x/; ;  2 R;8x 2 V I viii. 1x D 1; x 2 V: Chú ý.Mỗi x 2 V gọi là một vector và mỗi  2 R gọi là một vô hướng. Tính chất 3.2. Không gian vector có các tính chất : i. 0x D ; 8x 2 V I ii. x D 1x; 8x 2 V I iii.  D ; 8 2 RI iv. x D  khi và chỉ khi  D 0 hoặc x D  I Trang 30 Chương 3. Không gian vector v. Nếu x D x; x ¤ 0 thì  D I vi. Nếu x D y;  ¤ 0 thì x D y: Ví dụ 3.1. Tập hợp Rn D fx D .x1Ix2I : : : Ixn/jxi 2 Rg với hai phép toán: x C y D .x1 C y1Ix2 C y2I : : : Ixn C yn/ x D .x1Ix2I : : : Ixn/ với vector  D .0I 0I : : : I 0/ 2 Rn là không gian vector. Định nghĩa 3.3 (Không gian vector con). Cho không gian vector V; W  V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là không gian vector. Định lý 3.4. Cho không gian vector V; W  V là không gian vector khi và chỉ khi x C y 2 W; 8x; y 2 W I 2 R (3.1) Ví dụ 3.2. Tập W D f.˛I 0I 0/j˛ 2 Rg là không gian vector con của R3: 3.1 Không gian vector, không gian vector con Trang 31 Ví dụ 3.3. Tập nghiệm của hệ 8ˆ< :ˆ x C y C z D 0 x C 2y C z D 0 x C 3y C z D 0 là không gian vector con của R3 (còn được gọi là không gian nghiệm). Trang 32 Chương 3. Không gian vector 3.2 Độc lập, phụ thuộc tuyến tính 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa 3.5. Cho hệ n vector U D fu1; u2; : : : ; ung trong V: Vector u D ˛2u2 C ˛2u2 C


C ˛nun; ˛i 2 R (3.2) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ n vector U: Cho trước vector u và bộ vector U: Nếu tồn tại ˛i để thỏa ?? thì ta gọi u biểu diễn được theo bộ vector U: Ví dụ 3.4. Tìm biểu diễn của u theo hệ hai vector u1 D .1I 3I 2/ và u2 D .2I 1I 4/: Trong đó: a. u D .4I 7I 8/: b. u D .5I 7I 8/: 3.2 Độc lập, phụ thuộc tuyến tính Trang 33 3.2.2 Độc lập tuyến tính Định nghĩa 3.6. Hệ n vector U D fu1; u2; : : : ; ung trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛nun D  thì ˛i D 0;8i D 1; 2; : : : ; n (3.3) Hệ U không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 3.5. Trong R2; xét sự độc lập tuyến tính của hệ U D fu1 D .1I 2/; u2 D .3I 1/g Ví dụ 3.6. Trong R3; xét sự độc lập tuyến tính của U D fu1 D .1I 2I 3/Iu2 D .1I 2I 5/Iu3 D .2I 0I 2/g Trang 34 Chương 3. Không gian vector Định lý 3.7. Hệ n vector là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại trong hệ 1 vector là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại. Ví dụ 3.7. Hệ U D fu1 D .1I 2I 3/Iu2 D .2I 4I 6/Iu3 D .2I 0I 2/g là phụ thuộc tuyến tính vì sao? Nhận xét. Trong Rn để xét sự độc lập tuyến tính của hệ U gồmm vector ta thực hiện các bước:  Lập ma trận A có dòng i là vector ui :  Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r.A/ D m: Ngược lại, hệ U là phụ thuôc tuyến tính khi và chỉ khi r.A/ < m: Ví dụ 3.8. Trong R3; xét sự độc lập tuyến tính của U D fu1 D .2I 1I 3/; u2 D .1I 2I 2/; u3 D .3I 4I 4/g 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 35 Chú ý. Trong Rn; hệ U có n vector độc lập tuyến tính khi và chỉ khi jAj ¤ 0: Ví dụ 3.9. Trong R3; biện luận theo m sự độc lập tuyến tính của U D fu1 D .mI 1I 1/; u2 D .1ImI 1/; u3 D .1I 1Im/g 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector 3.3.1 Không gian sinh Định nghĩa 3.8 (Không gian sinh bởi hệ vector U ). Trong không gian vector V cho hệ m vector. Tập hU i D fu D ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛nunI˛i 2 Rg (3.4) gọi là không gian sinh bởi U: Nếu hU i D V thì ta gọi V được sinh bởi U; hay U là hệ sinh của S: Trang 36 Chương 3. Không gian vector Ví dụ 3.10. Trong R2; U D fu1 D .1I 2/Iu2 D .0I 1/g là hệ sinh của R3: Ví dụ 3.11. Trong không gian vector R3; hệ U D fu1 D .1I 1I 1/Iu2 D .0I 1I 1/g không là hệ sinh của R3: 3.3.2 Số chiều và cơ sở Định nghĩa 3.9 (Số chiều). Không gian vector V nếu có nhiều nhất m vector độc lập tuyến tính thì ta gọi số chiều của không gian V là m; ký hiệu dimV D m: Ví dụ 3.12. Tìm số chiều của không gian R3: 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 37 Định nghĩa 3.10 (Cơ sở). Hệ U gồm n vector độc lập tuyến tính trong không gian V có n chiều được gọi là không gian vector. Ví dụ 3.13. Chứng tỏ U D fu1 D .1I 0I 1/; u2 D .1I 2I 1/; u3 D .0I 2I 1/g là cơ sở của R2: Chú ý. Trong Rn hệ các vector E D fe1 D .1I 0I 0I : : : I 0/; e2 D .0I 1I 0I : : : I 0/; : : : ; en D .0I 0I 0I : : : I 1/g là cơ sở chính tắc của Rn: Ví dụ 3.14. Hệ vector E D fe1 D .1I 0I 0/; e2 D .0I 1I 0/; e3 D .0I 0I 1/g là