Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm một biến số

1 Hàm một biến số Định nghĩa và các phép toán Lecture 1 Nguyen Van Thuy Hàm số  Định nghĩa. Hàm số f là một quy tắc gán mỗi số thực x trong D với duy nhất một số thực, ký hiệu f(x), trong tập E 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-2 x f(x) D E f • • Ví dụ 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-3 1 3 5 6 0 5 1 8 2 3 • 2 1 9 3 2 7 • Quan hệ nào là hàm số? Cách xác định một hàm số  Công thức  Đồ thị  Bảng giá trị  Sơ đồ 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-4 Miền xác định – miền giá trị  Câu hỏi: “những giá trị nào được chấp nhận cho các biến số?”  Với hàm ta phải có  Định nghĩa. Miền xác định của một hàm là tập hợp tất cả các số thực được chấp nhận của biến số của nó. Miền giá trị của một hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-5 2( ) 1f x x  1 1x   Miền xác định – miền giá trị 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-6 Miền giá trị Miền xác định y x y = f(x) 2 Miền xác định – miền giá trị  Ví dụ. Tìm miền xác định, miền giá trị các hàm số a) b) c) d) 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-7 2 1/2( ) (1 )f x x   ( ) sinf   ( ) tanf x x 1, 0 ( ) 1, 0 x f x x      Ví dụ y 1 O 1 x 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-8 Cho hàm f có đồ thị như hình vẽ a) Tìm f(2) và f(5) b) Tìm miền xác định, miền giá trị của hàm f Đồ thị  Định nghĩa. Nếu hàm số f(x) có miền xác định là D thì đồ thị của hàm số là tập hợp 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-9 {( , ( )) | }x f x x D O y 1 2 x f(x) f(2) f(1) (x, f(x)) x Đồ thị  Chú ý. Một đường cong là đồ thị của hàm số khi và chỉ khi mỗi đường thẳng song song với trục tung cắt đường cong tại nhiều nhất một điểm 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-10 y x (a, b) x=a a y x (a, c) x=a a (a, b) Ví dụ  Cho hàm f xác định bởi Tính f(0), f(1), f(2) và vẽ đồ thị  Vẽ đồ thị hàm số 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-11 2 1 , 1 ( ) , 1 x x f x x x      ( ) | |f x x Ví dụ  Tìm công thức của hàm f có đồ thị cho bởi 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-12 y 1 O 1 x 3 Ví dụ  Tìm miền xác định và vẽ đồ thị các hàm số a) b) c) d)  Tìm công thức của hàm số có đồ thị là nửa trên của đường tròn 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-13 ( ) 3f x  2( ) 6g t t t  24 ( ) 2 t H t t    3 | | ( ) x x G x x   2 2( 2) 4x y   Các phép toán về hàm số  Cho 2 hàm 𝑓, 𝑔  𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)  𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)  𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥  Phép lấy hàm hợp (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-14 Các phép toán về hàm số  Ví dụ. Cho 2 hàm 𝑓, 𝑔 với 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑔 𝑥 = 𝑥2  Xác định các hàm 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔, 𝑓 𝑔 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-15 Hàm hợp  Định nghĩa  Ví dụ. Dùng bảng, tính các biểu thức sau a) f(g(1)) b) g(f(1)) c) f(f(1)) d) g(g(1)) e) (gf)(3) f) (fg)(6) 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-16 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 3 1 4 2 2 5 g(x) 6 3 2 1 2 3 ( )( ) ( ( ))f g x f g x Song ánh  f: AB là một song ánh nếu với mỗi giá trị yB, tìm được duy nhất một giá trị của xA sao cho f(x)=y  Ví dụ 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-17 5 1 8 2 3 2 1 9 3 2 7 Hàm ngược  Định nghĩa. Cho f là song ánh từ A vào B. Hàm ngược của f ký hiệu là f-1 từ B vào A và được xác định bởi 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-18 1( ) ( )f y x f x y    2 1 9 3 2 7 A B f 2 1 9 3 2 7 A B f -1 4 Hàm lượng giác ngược  Chú ý  Miền xác định của f-1 = miền giá trị của f  Miền giá trị của f-1 = miền xác định của f  Các hàm lượng giác ngược  arcsin hay sin-1 : [-1,1]  [-/2, /2]  arccos hay cos-1: [-1,1]  [0,]  arctan hay tan-1:   (-/2, /2)  arccot hay cot-1:   (0, ) 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-19 Ví dụ  Tính các biểu thức sau 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-20 ) arcsin( 3 / 2) )arccos( 1) )arctan(1/ 3) ) cot( 3) a b c d arc   ) arccos( 1/ 2) )arctan( 1) )arcsin(sin(7 / 3)) )sin(2arcsin(3 / 5)) e f g h    Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm lũy thừa  Hàm mũ  Hàm logarithm  Hàm lượng giác  Hàm lượng giác ngược  Hàm sơ cấp  Nhận được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách dùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-21 Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm lũy thừa 𝑓 𝑥 = 𝑥𝛼  =2: f(x)=x2, D=, T=[0,+∞)  =-1/2 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-22 1/2 1( ) (0, ), (0, ) f x x x D T       Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm mũ 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-23 4 2 2 4 2 4 6 8 10 12 4 2 2 4 2 4 6 8 10 01 Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm logarithm 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-24 1 1 2 3 4 5 2 2 4 1 1 2 3 4 5 6 4 2 2 0<a<1 a>1 5 Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm lượng giác  f(x)=sinx  f(x)=cosx  f(x)=tanx  f(x)=cotx 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-25 Hàm sơ cấp cơ bản  Hàm lượng giác ngược  f(x)=arcsinx  f(x)=arccosx  f(x)=arctanx  f(x)=arccotx 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-26 Hàm sơ cấp  Hàm sơ cấp  Hàm không sơ cấp 10/31/2010 Giai tich-Nguyen Van Thuy 1-27 ( ) 1, 2 ( ) 0, 2 xf x x x x g x x       2 sin(ln ) ( ) arctan x x x f x x e   