Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Giới hạn

1 GIỚI HẠN Lecture 2 Nguyen Van Thuy Nội dung  Review  Định nghĩa giới hạn  Giới hạn một phía  Định lý kẹp  Các dạng vô định  Các giới hạn cơ bản 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2 Review-Hàm số  Định nghĩa. Hàm số f là một quy tắc gán mỗi số thực x trong D với duy nhất một số thực, ký hiệu f(x), trong tập E Toan C1-Nguyen Van Thuy x f(x) D E f • • 10/31/2010 2-3 Review-Miền xác định–miền giá trị Toan C1-Nguyen Van Thuy Miền giá trị Miền xác định y x y = f(x) O 10/31/2010 2-4 Review-Đồ thị  Định nghĩa. Nếu hàm số f(x) có miền xác định là D thì đồ thị của hàm số là tập hợp Toan C1-Nguyen Van Thuy {( , ( )) | }x f x x D O y 1 2 x f(x) f(2) f(1) (x, f(x)) x 10/31/2010 2-5 Giới hạn khi x  Ví dụ. 1/x  0 khi x  , điều này ý nghĩa chính xác là gì? Toan C1-Nguyen Van Thuy x 1/x 100 0.001 1,000 0.001 8,000 0.000125 50,000 0.00002 200,000 0.000005 8,000,000 0.000000125 1,250,000,000 0.000000004 1 lim 0 x x  Note:  nghĩa là + 10/31/2010 2-6 2 Giới hạn khi x  Không phải là “1/x bằng 0 khi x = ”,  không phải là một số  f(x)  L khi x   nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ lớn, ký hiệu  f(x)  L khi x  - nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả các giá trị âm có giá trị tuyệt đối đủ lớn, ký hiệu Toan C1-Nguyen Van Thuy lim ( ) x f x L   lim ( ) x f x L   10/31/2010 2-7 Giới hạn khi xa hữu hạn  Ví dụ Toan C1-Nguyen Van Thuy sin ( ) , 0 x f x x x   x sinx/x 1.0 0.84147098 0.5 0.95885108 0.4 0.97354586 0.3 0.98506736 0.2 0.99334665 0.1 0.99833417 0.05 0.99958339 0.01 0.99998333 0.005 0.99999583 0.001 0.99999983 10/31/2010 2-8 0 sin lim 1 x x x  Giới hạn khi xa hữu hạn Toan C1-Nguyen Van Thuy 10/31/2010 2-9 Giới hạn khi xa hữu hạn  f(x)  L khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ gần a, ký hiệu  f(x)   khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất lớn (âm hoặc dương) khi x nhận tất cả các giá trị đủ gần a  Chú ý. “x rất gần a”  Xét cả 2 trường hợp xa  Không xét tại x = a, f(x) có thể không xác định tại a Toan C1-Nguyen Van Thuy lim ( ) x a f x L   10/31/2010 2-10 Giới hạn khi xa hữu hạn  Định lý (kẹp). Nếu khi x gần a và thì Toan C1-Nguyen Van Thuy ( ) ( ) ( )f x g x h x  lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x L     lim ( ) x a g x L    10/31/2010 2-11 Giới hạn khi xa hữu hạn  Ví dụ. Tìm nếu  Ví dụ. Chứng minh rằng Toan C1-Nguyen Van Thuy 4 lim ( ) x f x  24 9 ( ) 4 7, 0x f x x x x      4 0 2 lim cos 0 x x x  10/31/2010 2-12 3 Giới hạn bên trái  Ví dụ. Quan sát giá trị của khi cho x nhận những giá trị rất gần 1 và nhỏ hơn 1 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 1 ( ) | 1| x f x x    x<1 f(x) 0.5 -0.666667 0.9 -0.526316 0.99 -0.502513 0.999 -0.500250 0.9999 -0.500025 Nhận xét: f(x)  -0.5. Ta nói giới hạn bên trái của f(x) tại x=1 là -0.5, viết 2 1 1 lim 0.5 | 1|x x x     10/31/2010 2-13 Giới hạn bên trái 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-14 L f(x) a x x y O lim ( ) x a f x L   a x lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x L      Giới hạn bên phải  Ví dụ. Quan sát giá trị của khi cho x nhận những giá trị rất gần 1 và lớn hơn hơn 1 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 1 ( ) | 1| x f x x    x>1 f(x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 Nhận xét: f(x)  0.5. Ta nói giới hạn bên phải của f(x) tại x=1 là 0.5, ký hiệu 2 1 1 lim 0.5 | 1|x x x    10/31/2010 2-15 Giới hạn bên phải 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-16 x a lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x L      L f(x) x a x y O lim ( ) x a f x L   Giới hạn một phía  Giới hạn bên phải của f(x) bằng L khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ gần a và lớn hơn a, ký hiệu  Giới hạn bên trái của f(x) bằng L khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ gần a và nhỏ hơn a, ký hiệu Toan C1-Nguyen Van Thuy lim ( ) x a f x L   lim ( ) x a f x L   10/31/2010 2-17 Giới hạn một phía  Định lý  Ví dụ. , nhưng không tồn tại nên  Ví dụ. Tìm Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 lim 2 0 x x    2 lim 2 x x   lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x L f x L f x         2 lim 2 x x   1 1 lim | 1|x x x   10/31/2010 2-18 4 Ví dụ 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-19   3 ) lim 2 | 3 | x a L x x     6 2 12 ) lim | 6 |x x b L x    2 2 | | ) lim 2x x c L x    0 1 1 ) lim | |x d L x x        0 1 1 ) lim | |x e L x x        Chú ý  7 dạng vô định  Các giới hạn cơ bản Toan C1-Nguyen Van Thuy 0 0.0 0 , , , ,1 , 0 0,     0 1/ 0 0 1 sin 1 lim 1 , lim 1 ( ) lim(1 ) ( 0 )1 u u u u u u e u u u e                      10/31/2010 2-20 Ví dụ 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-21 0 sin3 ) lim tan5x x a L x  0 1 ) lim cot sinx b L x x        2 3 1 ) lim 1 x x x c L x            21/ 0 ) lim cos x x d L x   Ví dụ  Câu 26  Câu 47 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-22 0 1 cos lim sin 2 0 0x x L x x         1 1 1 ) 0 ) ) ) 3 2 4 a L b L c L d L      2 2 1 1 lim 1 x x x x L x x         2) ) 1 ) )a L b L c L e d L e    Ví dụ  Câu 48  Câu 49 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-23    cot 0 lim cos n 1si x x L x x     1 ) 1 ) ) )a L b L e c L d L e          3cot 2 0 lim cos2 1 x x L x x    1 ) 1 ) ) )a L b L e c L d L e      Bài tập  Câu hỏi trắc nghiệm toán A1-ĐHBD  Câu 1  câu 26  Câu 47  câu 52  Trang 7 13 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-24