Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Vô cùng bé - Hàm liên tục
Hàm liên tục Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền xác định Hàm đa thức Hàm phân thức hữu tỷ Hàm căn thức Hàm mũ Hàm logarithm Hàm lượng giác Hàm lượng giác ngược
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Vô cùng bé - Hàm liên tục, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
VÔ CÙNG BÉ-HÀM LIÊN TỤC
Lecture 3
Nguyen Van Thuy
Nội dung
Review
Vô cùng bé
Ứng dụng tìm giới hạn
Hàm liên tục
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2
Review-Giới hạn bên trái
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-3
L
f(x)
a x
x
y
O
lim ( )
x a
f x L
a x
lim ( ) lim ( )
x a x a
x a
f x f x L
Review-Giới hạn bên phải
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-4
x a
lim ( ) lim ( )
x a x a
x a
f x f x L
L
f(x)
x a
x
y
O
lim ( )
x a
f x L
Review
Định lý (kẹp). Nếu khi
x gần a và
thì
Định lý
Toan C1-Nguyen Van Thuy
( ) ( ) ( )f x g x h x
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L
lim ( )
x a
g x L
10/31/2010 2-5
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x L f x L f x
Review
7 dạng vô định
Các giới hạn cơ bản
Toan C1-Nguyen Van Thuy
0 0.0
0
, , , ,1 ,
0
0,
0
1/
0
0
1
sin 1
lim 1 , lim 1 ( )
lim(1 ) (
0
)1
u
u u
u
u
u
e
u u
u e
10/31/2010 2-6
2
Vô cùng bé
Định nghĩa. Nếu thì (x)
được gọi là vô cùng bé khi xa
Ký hiệu: (x): VCB(xa)
Ví dụ
1-cosx, x2
là các vô cùng bé khi x0
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-7
lim ( ) 0
x a
x
2
0 0
lim(1 cos ) 0, lim 0
x x
x x
So sánh các vô cùng bé
Định nghĩa. Giả sử (x), (x) là các VCB khi xa
và giả sử
Nếu L=0 thì (x) được gọi là VCB cấp cao hơn
(x), ký hiệu (x)=O((x))
Nếu L= thì (x) được gọi là VCB cấp thấp hơn
(x)
Nếu L0 và hữu hạn thì (x) và (x) được gọi là
hai VCB cùng cấp
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-8
( )
lim
( )x a
x
L
x
Vô cùng bé tương đương
Nếu L=1 nghĩa là thì (x),
(x) được gọi là hai VCB tương đương, ký
hiệu (x)(x)
Ví dụ. sinx và x là các VCB khi x0 và
nên
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-9
( )
lim 1
( )x a
x
x
0
sin
lim 1
x
x
x
sin x x
Các VCB tương đương cơ bản
Khi u0 thì
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-10
2
sin
1 cos
2
tan
1u
u u
u
u
u u
e u
ln(1 )
arcsin
arctan
1
1 1n
u u
u u
u u
u u
n
Tính chất của VCB tương đương
(x)(x) (tính phản xạ)
(x)(x), (x)(x) (x)(x) (tính bắc cầu)
Nếu (x)=O((x)) (x)+(x)(x)
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-11
1
1 1
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x
x x x x
x x
1 1
1 1
( ) ( ) ( )( )
lim lim
( ) ( ) ( ) ( )x a x a
x x xx
x x x x
Ứng dụng tính giới hạn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao. Khi tính giới
hạn tỷ số 2 VCB mà tử và mẫu là tổng các
VCB khác cấp thì ta chỉ giữ lại các VCB cấp
thấp nhất ở tử và mẫu
Ví dụ. Câu 28
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-12
3 2
3 20
arcsin 2arcsin 3arcsin
lim
2
) 0 ) 1 ) 2 ) 3
x
x x x
L
x x x
a L b L c L d L
3
Ví dụ
Câu 29
Câu 37
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-13
2
20
(1 cos )
lim
sin tan
1 1
) 0 ) 1 ) )
2 4
x
x
L
x x x
a L b L c L d L
2 3
20
1 cos ln(1 tan 2 ) 2arcsin
lim
1 cos sin
) 0 ) 1 ) 2 ) 3
x
x x x
L
x x
a L b L c L d L
Hàm liên tục
Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a
nếu
f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a
f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng đó
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) ( )
x a
x a x a
f x f a
f x f x f a
10/31/2010 2-14
Hàm liên tục
Chú ý. Hàm f liên tục tại a phải thỏa 3 điều
kiện
f(a) xác định (nghĩa là aDf)
tồn tại
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( )
x a
f x
lim ( ) ( )
x a
f x f a
10/31/2010 2-15
Hàm liên tục
Ví dụ. Đồ thị của hàm f như hình vẽ sau. Tại
những điểm nào hàm số không liên tục? Tại
sao?
Toan C1-Nguyen Van Thuy 10/31/2010 2-16
Hàm liên tục
Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên
miền xác định
Hàm đa thức
Hàm phân thức hữu tỷ
Hàm căn thức
Hàm mũ
Hàm logarithm
Hàm lượng giác
Hàm lượng giác ngược
Toan C1-Nguyen Van Thuy 10/31/2010 2-17
Hàm liên tục
Ví dụ
gián đoạn tại t=1 và liên tục tại tất cả
các điểm còn lại
g()=tan gián đoạn tại , n và liên
tục tại tất cả các điểm còn lại
liên tục trên , vì
Toan C1-Nguyen Van Thuy
( )
1
t
f t
t
1
( )
2
n
sin
, 0
( )
1, 0
x
x
f x x
x
0
sin
lim 1 (0)
x
x
f
x
10/31/2010 2-18
4
Hàm liên tục
Ví dụ. Với giá trị nào của c thì hàm số sau liên tục
trên ?
Ví dụ. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2
3
2 , 2
( )
, 2
cx x x
f x
x cx x
2
2
4
, 2
2
( ) 3,2 3
2 , 3
x
x
x
f x ax bx x
x a b x
10/31/2010 2-19
